2022年全国中考数学真题 锐角三角函数

2022年全国中考数学真题汇编锐角三角函数

一、单选题（共4题；共8分）

1.（2022•沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q

两点距离为m米，乙PQT=α,则河宽PT的长度是（）

A.msinaB.mcosaC.mtanaD.∑I—an—a

【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：根据题意可得：

PT

tana=西，

PT=PQ-tana=mtana,

故答案为：C.

【分析】先求出tana=奇，再求解即可。

2.（2022・济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得

最高点A的仰角为22。，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58。，点C,D,B在同一直

线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m.参考数据：sin220≈0.37,tan220≈

0.40,sin58o≈0.85,tan58o≈1.60）

A.28mB.34mC.37mD.46m

【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：在RtAABD中，tan∕ADB=第，

UD

・CnABAB54c

--DB=-t-an5rʒ8u0≈τ1^.6z=8oAB

在Rt∆ABC中，tan∕ACB=券，

CD

ΔD

・tan22o=-ɪ—≈0.4

•∙70+⅛O4B'

解得：AB=^~≈37m,

故答案为：C.

【分析】先求出DB=二空运。梨=氧B,再求出tan22。=水可”04,最后求解即可。

tan58o1.6870+g48

3.（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的

变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,4D垂直地面，垂足为点D,BCLAD,垂足为点

C.设乙ABC=α,下列关系式正确的是（）

毁D∙BC「.ABAC

A.Sina=β∙sma=ABc∙SIna=品Dn-SIna=而

【答案】D

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】∙.∙BC±AC,

ABC是直角三角形，

,.∙ZABC=α,

..AC

-sma=而，

故答案为：D

【分析】利用正弦的定义求解即可。

4.（2022・贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树Cn的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45。，

在点B处测得树顶C的仰角为60。，且A,B,D三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树Co的

高度是（）

C

A.8(3-√3)mB.8(3+√3)mC.6(3-√3)mD.6(3+√3)m

【答案】A

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：设CD=x,在RtAADC中，ZA=450,

ΛCD=AD=X,

ΛBD=16-x,

在Rt△BCD中，NB=60。，

∙・.t∙anB-C=D而’

解得X=8（3—V3）∙

故答案为：A.

【分析】设CD=x,则CD=AD=X,BD=16-x,然后根据三角函数的概念就可求出X.

二、填空题（共7题；共7分）

5.（2022•巴中）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30。方向

航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67。方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海

里.（参考数据：sin37o≈cos37°≈⅛>tan37o≈7）

ɔɔzr

【答案】50

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】解：如图所示标注字母，

根据题意得，ZCAP=ZEPA=60o,ZCAB=30o,PA=30,

二ZPAB=90o,ZAPB=180o-67o-60o=53o,

ΛZB=37o,APAB为直角三角形，

∙"∙sinZ.β=⅛θ>

λP

30

T-50

5

故答案为：50.

【分析】对图形进行点标注，根据题意得/CAP=NEPA=60。，ZCAB=30o,PA=30,则

ZPAB=90o,ZAPB=53o,根据三角函数的概念可得BP.

6.（2022・黄石）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m,当无

人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30。，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为

60°,则旗杆的高度约为m∙（参考数据：√3≈1.732.结果按四舍五八保留一位小数）

【答案】12.7

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：设旗杆底部为点C,顶部为点D,延长CD交直线AB于点E,依题意则

DE±AB,

则CE=30m,AB=20m,NEAD=30。，ZEBD=60o,

设DE=xm,

在Rt∆BDE中，tan60。=器=ɪ=V3

解得BE=卓X

..deX√3

在RtAADE中，tanq3π°o=^=­ɪ=ɪ,

乙UI3

解得X=10√3≈17.3m,

.,.CD=CE-DE=12,7m.

故答案为：12.7.

【分析】设旗杆底部为点C,顶部为点D,延长CD交直线AB于点E,设DE=Xm,利用解直角三

角形表示出BE的长，同时可表示出AE的长；在RtZiADE中，利用解直角三角形可得到关于X的

方程，解方程求出X的值，然后求出CD的长.

7.（2022•宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，

某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角NCDE=45。，降落伞底面圆A点处的仰角NADE=

46012,.已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面

的高度CE约为_________米（精确到1米）.（参考数据：sin46o12,≈0.72,cos46°12,≈0.69,

tan46o12,≈1.04）

B1JFE

【答案】1614

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：在RtAAOB中，由勾股定理得,

OB=y∕AB2-OA2=√502-142=48（米），

.∙.AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE,

"乙CDE=45°,乙DEC=90°,

Λ∆CDE是等腰直角三角形，

∙∙∙DE=CE,

设。E=CE=X米，

则AF=（50+X）米，DF=（X-14）米，

•••∆ADE=46o12,.

.,..,.AF50+xT..

zfr，

•∙tan4612=7D7F?=—X-τ1^4τ—LO4

解得无≈1614,

.∙.CE=1614米，

故答案为：1614.

【分析】利用勾股定理求出Bo的长，由此可表示出AF的长；再证明ACDE是等腰直角三角形，

利用等腰直角三角形的性质可证得DE=CE,设DE=CE=X,可表示出AF的长；然后利用解直角三角

形建立关于X的方程，解方程求出X的值，可得到CE的长.

8.（2022・南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为Iom,在B处放置Im高的测角

仪BD,测得树顶A的仰角为60。，则树高AC为m（结果保留根号）.

【答案】10√3+1

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：如图，

A

：DE，AC于点E,

.∙.ZAED=90o,四边形DBCE是矩形,

.∙.CE=BD=lm,BC=ED=IOm,

•.♦树顶A的仰角为60。,

10

AE-DE-CanNTlDE==10tan60o=10√3

tan60o

AC=AE+CE=l+10y∕3.

故答案为：10百+1.

【分析】利用垂直的定义可证得NADE=90。，同时可得到四边形DBCE是矩形，利用矩形的性质可

求出CE,DE的长；再利用解直角三角形求出AE的长，根据AC=AE+CE,代入计算求出AC的长.

9.（2022・绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船

在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15。方向上，观测点C位于北偏东45。方向上，航行半个小

时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45。方向上，若CD与AB平行，则CD=

海里（计算结果不取近似值）.

【答案】（5国一5）

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】解：过点D作DELAC于点E,

由题意得

ZFAD=15o,ZFAC=45o,ZCBA=45o,AB=∣×20=10,

ΛZCAB=ZCBA=45o,

.∖NACB=90。，ZDAE=ZFAC-ZFAD=45o-15o=30o,

ΛAC=BC

Λ2AC2=AB2=100

解之：AC=5-∖∕2;

VDC/7AB,

JNCAB=NDCE=45。，

设DE=EC=X,

在Rt∆ADE中

ΔP—__2^_—_-_o———ʌ/ɜr

A匕-tan∆DAE-tan30一芯一VJ匕

ɪ

VAE+EC=AC,

∙*∙X+y∏x=5Λ∕2

解之：X_（5」-5勾,

X-2

.（576-572）

∙∙CE='——2——L

-'-DC=√2FC=√2×5乃（5夜=5√3-5∙

故答案为：5遮—5∙

【分析】过点D作DEJ_AC于点E,利用垂直的定义可证得/DEA=/DEC=90。，利用方位角的定

义可得NFAD=I5。，ZFAC=45o,ZCBA=45o,同时可求出AB的长，可证得NCAB=NCBA=45。；

再利用勾股定理求出AC的长，利用平行线的性质可知NCAB=NDCE=45。，设DE=EC=x,利用解

直角三角形表示出AE的长，根据AE+EC=AC,可得到关于X的方程，解方程求出X的值；然后利

用解直角三角形求出CD的长.

10∙（2022∙湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运

用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述

的：在AABC中，ZA./B、NC所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外

两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2÷b2-2abcosC

现已知在AABC中，AB=3,AC=4,ZA=60°,则BC=.

【答案】√13

【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：：在△ABC中，AB=3,AC=4,ZA=60o,

二BC2=AC2+AB2-2AC∙ABcosZA=16+9-2×3×4cos60o,

BC2=25-12

解之：BC=√13.

故答案为：V13.

222

【分析】由题意可知利用余弦定理：BC=AC+AB-2AC-ABcosZA;然后代入计算求出结果.

11.（2022・黔西）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80。方向的B岛直

线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50。方向，在B岛的北偏西40。方向.A,B之间的距离为

80nmile,则C岛到航线AB的最短距离是nmile.（参考数据：√2≈1.4,√3≈1.7,保留

整数结果）

【答案】34

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】解：过点C作CF,AB于F,设CF=Xnmile,

：计划从A岛向北偏东8()。方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50。方向，在B岛的北

偏西40。方向，

ΛZDAC=50o,ZDAB=80o,ZEBC=40o,AD/7BE,

ΛZCAB=ZDAB-ZDAC=30o,

VAD√BE,

ΛZDAB+ZABE=180°,

ZABE=180o-NDAB=I80o-80o=100°,

.*.ZABC=ZABE-ZCBE=100o-40o=60o;

在Rt△ACF中，NCAF=8O°-5O°=30°,则NACF=60。，

.∙.AF=CFtanZACF=CFtan60o=√3x；

在Rt∆CFB中，∙/NFBC=60°,

ΛZBCF=90o-60o=30o,

.'BF=CFtan/BCF=CFtan30。=%

VAF+BF=AB,

∙'∙V3x+苧久=80，

解之：X=20√3≈34

.∙.C岛到航线AB的最短距离约为34nmile.

故答案为：34.

【分析】过点C作CF,AB于F,设CF=Xnmile,利用方位角的定义，由题意可知NDAC=50。，

ZDAB=80o,ZEBC=40o,AD〃BE,可求出NCAB的度数，利用平行线的性质求出NABE的度

数，即可求出/ABC的度数；在RtAACF和RtACFB中，利用三角形的内角和定理分别求出

NACF,NBCF的度数，利用解直角三角形分别表示出AF,BF的长；然后根据AF+BF=AB,可建

立关于X的方程，解方程求出X的值，利用垂线段最短可得到C岛到航线AB的最短距离.

三、解答题(共19题；共95分)

12.（2022∙淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间

的距离，经测量得：NBaC=37。，NABC=58。，AC=80米，求力、B两点之间的距离.（参考数

据：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan370≈0.75,sin58o≈0.85,cos58o≈0.53,tan580≈

【答案】解：如图，过点C作CDl垂足为点。,

在RtZiACD中，

'.'∆DAC=37o,AC=80米，

..CDAD

•∙sιnNZMC=衣，CoSN/MC—次，

：.CD=AC-sin37o≈80×0.60=48（米）,

AD=AC-cos37°≈80×0.80=64（米）,

在RtZiBCO中,

VzCBD=58o,CD=48米,

•∙tanZ-CFD=

・•・ccCD48CC（米）,

BD=~t~an~5p8ʒzo≈V1.T6n0=30

：.AB=/D+BD=64+30=94（米）.

答：4、B两点之间的距离约为94米.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】过C作CD_LAB于D,在RtAACD中，用三角函数定义得CD=ACXSin37。，

AD=AC×cos37o,在RtaBCD中，用三角函数定义得BD=百蕊，代入求值可分别算出CD、

AD,BD的长，最后根据AB=AD+BD算出答案.

13.（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,坡角NQCN=

30°.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，小明

测得直立于地面长60Cm的木杆的影长为90Cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

A

【答案】解：延长AD交BN于点E,过点D作DFLBN于点F,

在RtACDF中，ZCFD=90o,ZDCF=30o,

则DF=2CD=90(cm),CF=CD∙cosZDCF=180×2^=90√3(cm),

由题意得：瞿嚼，即黑嚼，

DrVUcrVU

解得:EF=135,

.*.BE=BC+CF+EF=120+90√3+135=(255+90√3)cm,

则WT

255+90√390

解得：AB=170+60√3,

答：立柱AB的高度为(170+60√3)cm.

【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；平行投影

【解析】【分析】延长AD交BN于点E,过点D作DF_LBN于点F,根据含30度直角三角形的性质

得DF,根据余弦函数的定义求出CF,由题意可得黑=嚣=瑞，求解即可.

14.（2022∙西藏）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度.如图，测量仪在A处测

得树顶D的仰角为45。，C处测得树顶D的仰角为37。（点A,B,C在一条水平直线上），已知测量

仪高度AE=CF=1.6米，AC=28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位.参考数据：

sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75）.

【答案】解：连接EF,交BD于点M,

则EF_LBD,AE=BM=CF=1.6米，

在Rt∆DEM中，ZDEM=45°,

ΛEM=DM,

设DM=X米，则EM=AB=X米，FM=BC=AC-AB=（28-x）米,

在Rt∆DFM中，tan37°=空，

FM

即总。乃，

解得X=12,

经检验，X=12是原方程的根，

即DM=I2米，

ΛDB=12+1.6=13.6（米），

答：树BD的高度为13.6米.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】连接EF,交BD于点M,则EF_LBD,AE=BM=CF=1.6米，EM=DM,设DM

=X米，则EM=AB=X米，FM=BC=(28-x)米，根据正切三角函数的概念可得X的值，然后根据

DB=DM+BM进行计算.

15.(2022•襄阳)位于晚山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役''中牺牲的

革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数

学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°,烈

士塔底部点C的俯角为61。，无人机与烈士塔的水平距离AD为Iom,求烈士塔的高度.(结果保留

整数.参考数据：sin61o≈0.87,cos61o≈0.48,tan61o≈1.80)

B

C

【答案】解：由题意得，ZBAD=450,NDAC=61。，

在RtZiABD中，ZBAD=450,AD=IOm,

/.BD=AD=IOm,

在RtAACD中，ZDAC=61o,

tan61。噬=彩1.80,

解得CD≈18,

ΛBC=BD+CD=1()+18=28(m).

.∙.烈士塔的高度约为28m.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】利用已知条件可得到NBAD=45。，NDAC=61。，在RtAABD中，利用等腰直角三

角形的性质可得到BD的长，在RtaACD中，利用正切三角函数的概念可求出CD的长，然后根据

BC=BD+CD,代入计算求出BC的长.

16.(2022・兰州)如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的

测角仪DE测得^ADC=31°,然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角

仪FG测得∆AFC=42°.求凉亭AB的高度.(A,C,B三点共线，ABLBE,ACLCD,

CD=BE,BC=DE.结果精确到(Hm)(参考数据：sin310≈0.52,cos31°≈0.86,

tan310≈0.60,sin42o≈0.67,cos42o≈0.74,tan420≈0.90)

【答案】解：由题意得:

BC=FG=DE=1.5,DF=GE=3,ZACF=90°,

设CF=x,

.∙.CD=CF+DF=(x+3),

在RtAACF中，ZAFC=42°,

ΛAC=CF∙tan42o≈0.9x(m),

在RtAACD中，ZADC=31o,

々AC八,

..tan31io=K^=—0.9—x≈0.6,

CDx÷3

∙∖x=6,

经检验：x=6是原方程的根，

ΛAB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),

.∙.凉亭AB的高约为6.9m.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】由题意得BC=FG=DE=I.5,DF=GE=3,∕ACF=90。，设CF=x,则CD=

x+3,根据三角函数的概念可得AC、x,然后根据AB=AC+BC进行计算.

17.(2022•枣庄)为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城.某校“综合与实

践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼(如图①)高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报

告.

测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告

活动

测量台儿庄古城城门楼高度

课题

活动

运用三角函数知识解决实际问题

目的

活动

测角仪、皮尺等测量工具

工具

如图②

⑴利用测角仪站在B处测

得城门楼最高点P的仰角

*为39。；

F测

方案r⑵前进了10米到达A处

量

示意（选择测点A,B与O在

步

图1同一水平线上，A,B两

AB骤

图①图②点之间的距离可直接测

得，测角仪高度忽略不

计），在A处测得P点的

仰角为56。.

参考

sin39o≈0.6,cos39o≈0.8,tan39°≈0.8,sin56o≈0.8,cos56o≈0.6,tan56°≈1.5.

数据

计算

城门

楼

PO

的高

度

（结

果保

留整

数）

【答案】解：设OA=X米，则OB=(x+10)米，

在Rt∆AOP中，tanN0AP=累=tan56°≈1.5,

ΛOP≈1.5OA=1.5x米，

在Rt∆BOP中，tan/OBP=黑=tan39°≈0.8,

UD

ΛOP≈O.8OB=O.8(x+10)米，

，1.5x=0.8(x+10),

解得：X=鄂

ΛOP≈1.5x=1.5×^≈17米，

答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。

18.(2022・丹东)如图，我国某海域有A,B,C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile

(nmile是单位“海里”的符号)处，A港口在B港口北偏西50。方向且距离B港口40nmile处，在A

港口北偏东53。方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离.(参

考数据：sin50o≈0.77,cos50o≈0.64,tan50o≈1.19,sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33.)

【答案】解：过点A作AE_LCD,垂足为E,过点B作BFJ_AE,垂足为F,

由题意得：

EF=BC=33.2海里，AG/7DC,

ΛZGAD=ZADC=530,

在RtAABF中，NABF=50。，AB=40海里，

.∙.AF=AB∙sin50o≈40×0.77=30.8（海里），

.,.AE=AF+EF=64（海里）,

在Rt∆ADE中，AD=S倦产冷80（海里），

.∙.货船与A港口之间的距离约为80海里.

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】先求出ZGAD=ZADC=53o,再求出AE=AF+EF=64（海里），最后利用锐角三

角函数计算求解即可。

19.（2022•鄂尔多斯）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆ABLCD于点B.某

一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD=

1.2m,DE=1.4m.同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的Irn高的标杆影长为0.25m（标杆影子在

坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5。，求旗杆AB的高度.（参考数据：

sin80.5o≈0.98,cos80.5o≈0.17,tan80.5o≈6）

【答案】解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的Im高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m,

作DFCD交AE于点F,作FHj_AB于点H,

VDF∣∣MN,

.MN_ME

"'~DF~~DE,

•1_0.25

"DF~T4,

ΛDF=5.6,

ΛBH=DF=5.6,

在RtAAHF中，ZAFH=80.5o,

tan∕AFH=第，

.∙.tan8O.5°=辔6,

ΛAH≈7.2,

二旗杆AB的高度为5.6+72=12.8(m).

所以，旗杆AB的高度为12.8m.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

20.(2022•荷泽)荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的

37。减至30。，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD,点B延伸至点D,求BD

的长.(结果精确到0.1米.参考数据：sin37°*0,60,cos37°≈⅛0.80,tan37o≈0,75,√3≈

1.73)

【答案】解：在RtAABC中，AB=8米，ZABC=37o,

则AC=AB∙sinNABC≈8χ0.60=4.8（米），

BC=AB∙cosZABC≈8×0.80=6.40（米），

在Rt∆ADC中，ZADC=3O°,

AC4.84.8

则CD=tan∑ADC-tan30o—√3≈8.3O（米），

T

ΛBD=CD-BC=8.30-6.40≈l.9（米），

答：BD的长约为1.9米.

【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

21.（2022•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号

隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾

模型的外围测得如下数据，BC=8,CD=2,ND=I35。，ZC=60。，且ABilCD,求出垂尾模型

ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）

图1图2

【答案】解：过D作DE垂直AB的延长线于E,交BC于点F.

9JAB//CD,

DE1CD,

LFEB=乙FDC=90°,

在RtZkCDF中，CD=2,4C=60。，

：.Z.CFD=30o,CF=4,DF=2√3,

VBC=8,

：.BF=4,

:・BF=CF.

∖Z-FEB=乙FDC

在AFEB和△尸De中，∖∆CFD=∆BFE,

.BF=CF

：.2FEB=LFDC{AAS).

：.BE=CD=2,DF=EF=2√3,

VzD=135o,∆FDC=90°,

：.∆ADE=45°,

Λi4F=DE=4√3,

,∙SABCD=S&AED=NA?∙DE=^x4√5×4√3=24∙

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质和三角形的面积公式计算求解即可。

22.（2022・河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行

测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33。，测得点B的俯角为45。，已知观测点到地面的高度

CD=36m,求居民楼AB的高度（结果保留整数.参考数据：sin33%0.55,cos33%0.84,

tan33o≈0.65).

□

□

□

□

□

DB

【答案】解：如图，过点C作CE,AB于点E,则NAEC=NBEC=90。,

A

由题意可知ZCDB=ZDBE=90o,

，四边形BECD是矩形，

.∙.BE=CD=36m,

由题意得，CD=36m,ZBCE=450,ZACE=330,

在Rt∆BCE中,NBCE=45°,

.∙.NEBC=90。-NBCE=45。，

ΛZEBC=ZBCE,

.∙.BE=CE=CD=36m,

在Rt∆ACE中，NACE=33°,CE=36m,

ΛAE=CE∙tan33o≈23.4m,

.∙.AB=AE+BE=23.4+36=59.4≈59（m）.

答：居民楼AB的高度约为59m.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】过点C作CE±AB于点E,易得四边形BECD是矩形，根据矩形的性质得

BE=CD=36m,由题意得：CD=36m,ZBCE=45o,NACE=33°,贝IJBE=CE=CD=36m,根据三角

函数的概念可得AE,然后根据AB=AE+BE进行计算.

23.（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m,背水坡BC的坡度为i1=1.∙1.

为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=

1.∙√3,求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73.结果精

确到0.1m)

C

【答案】解：在RtΔBCD中，；背水坡BC的坡度iι=l∙∙1,

.CD1

•,前=1'

：.BD=CD=20(m).

在RtΔACD中，Y背水坡AC的坡度i2=I,.√3,

.CD_J_

•,而=再’

-'-AD=√3CZ)=20√3(m)，

^AB=AD-BD=20√3-20≈14.6(m).

答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m.

【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【分析】根据背水坡BC的坡度可得BD=CD=20m,根据背水坡AC的坡度可得

AD=√3CD=20√3m,然后根据AB=AD-BD进行计算.

24.(2022•通辽)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后

一位，√3≈1.7),

【答案】解：如图，延长BA交CE的垂线DG于点凡AC,DF交于点G,则四边形DFBE是矩形,

V乙FDB=45o,

ʌDF=FB,

・・・四边形DFBE是正方形，

：,BF=EB=14,

oo

•・・乙DCG=90°-60=30,AF||CD,

・・・∆FAG=∆DCG=30°,

Rt∆CDGψ,DG=tanzDCG∙CD=ɪ×20=

：，GF=DF-DG=14-驾

PGFG14-当巨r

RtUFG中，^=^z^=^θ5=-r^=14√3-20.

T

.∙.AB=BF-AF=14-14√3+20=34-14√3≈9.8米.

【知识点】解直角三角形

【解析】【分析】在RtACDG中，求出DG的值，在Rt△?!FG中，得出AF的值，由此得解。

25.（2022・盘锦）某数学小组要测量学校路灯P-M-N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角

仅进行测量，测量结果如下：

测量项目测量数据

从A处测得路灯顶部P的仰角αa=58°

从D处测得路灯顶部P的仰角。β=31°

测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m

两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m

计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据；cos31°≈

0.86,tan310≈0.60,cos58o≈0.53,tan58o≈1.60)

【答案】解：如图：延长DA,交PE于点F,则DF_LPE,

^AB=DC=1.6,AB//DC

・・・四边形ABCD是平行四边形，

VABlBC,

・•・四边形ABCD是矩形，

同理：四边形CDFE是矩形；

：.AD=BC=2,EF=CD=1.6,

在直角△PDF中，有PF=DF∙tan3=(AD+AF)∙tan0,

在直角△PAF中，有PF=AF∙tana,

Λ(AD+AF)y∙tan£=AF∙tana,

即(2+4F)Xtan31o=AF×tan58o,

Λ(2÷λF)×0.6=½F×1.6,

解得：AF=1.2；

：.PF=1.2X1.6≈1.9；

：.PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；

.∙.路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

26.（2022・聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称

为“宋塔唐槐”（如图①）.数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位

于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端

A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6。和76。（点B,H,D三点在同一直线上）.已知塔高为39

米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）.（参考数据：

sin26.6o≈0.45,cos26.6o≈0.89,tan26.6o≈0.50,sin76o≈0.97,cos76o≈0.24,tan760≈

4.01)

【答案】解：过点A作AM±EH于M,过点C作CNlEH于N,

由题意知，AM=BH,CN=DH,AB=MH,

在Rt中，ZEAM=26.6o,

•-,.>.LJIVI

・∙tanZ∙ER√4M=‘

._EM_EH-MH〜45-39_

.,一tan∆EAM—tan26.6o~0.5—

ABH=AM=I2米，

VBD=20,

.'DH=BD-BH=8米，

.∙.CN=8米，

在RtAENC中，ZECN=760,

.ɪ,,.EN

••tan乙ErCzNr—>

：.EN=CN-tanZ.EC/V≈8×4.01=32.08米,

：.CD=NH=EH—EN=12.92≈13（米），

即古槐的高度约为13米.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】过点A作AMLEH于M,过点C作CNJ_EH于N,由题意知，AM=BH,

CN=DH,AB=MH,在RtZkAME中，ZEAM=26.6o,得出tan∕E4M=瑞，得出AM、BH的值，在

RtAENC中,ZECN=760,得出tα必ECN=翳，推出EN的值，从而得出CD的值。

27.（2022∙鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆.为

弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8僧的励志条幅（即GF=8巾）.小亮同学想知道条

幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点4处测

得条幅顶端G的仰角为37。，然后向教学楼条幅方向前行12τn到达点。处（楼底部点E与点8,。在一

条直线上），在点。正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45。，若AB,CD均为1.65m（即四边形

/1BDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度.（结果精确到0.1m,参考数

据:sin37o≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75）

BDE

【答案】解：设AC与GE相交于点H,

由题意得：

AB=CD=HE=I.65米，AC=BD=12米，ZAHG=90°,

设CH=X米，

.∙.AH=AC+CH=(12+x)米,

在RtACHF中，ZFCH=45°,

ΛFH=CH∙tan45o=x(米)，

YGF=8米，

.∙.GH=GF+FH=(8+x)米,

在Rt∆AHG中，ZGAH=370,

；而37。=器=程≈0∙75,

解得：x=4,

经检验：x=4是原方程的根，

ΛFE=FH+HE=5.65≈5.7(米E

.∙.条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米.

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】设CH=X米，则AH=(12+x)米，GH=(8+x)米，再结合tan37。=铝=黑。

AnL∆~rX

0.75,求出X的值，最后利用线段的和差求出EF的长即可。

28.(2022•锦州)如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测得码

头C在北偏东60。方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30。方向继

续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70。方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行

的距离（结果精确到0.1海里.参考数据:sin50o≈0.766,cos50o≈0.643,tan50o≈1.192）.

【答案】解：过B作BD±AC于D,

A,.

由题意可知/ABE=30。，NBAC=30。，则NC=I80°-30°-30°-70°=50°,

在Rt∆BCD中，ZC=50o,BC=20（海里），

BD=BCsin50°≈20χ0.766=15.32（海里），

在RtAABD中,ZBAD=30o,BD=15.32（海里），

二AB=2BD=30.64≈30.6（海里）,

答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里.

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】先利用解直角三角形求出BD的长，再利用含30。角的直角三角形的性质可得AB的

长。

29.（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通

途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B,其中两条斜拉索/。、AC与桥面BC的夹角分别为60。和45。,

两固定点D、C之间的距离约为33m,求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41,

√3≈1.73）

【答案】解：∙.∙ABLBC,

.∙.NABC=90°,

在Rt∆ABD中，AB=BD-tan60o=√3BD，

在RtAABC中，ZC=45o,

ΛAB=BC,

Λ√3BD=SD+33,

33_33×(√3+l)

：.BDm,

λ∕3-l—2^^

,AB=BC=BD+33=33x(/D+33-78∏ι>

答：主塔AB的高度约为78m.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】先求出吟磊=筲坦

再利用线段的和差可得AB=BC=BD+33=

331

×(^+.)+33≈78，从而得解。

30.(2022・广安)八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A

处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向

南偏东37。方向走了30()米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在

基地门口北偏西65。方向上.求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数)参考数据：sin65o≈0.91,

cos65o≈0.42,tan65o≈2.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75

【答案】解：如图，过点。作EFJ.AB,交48于点E,贝IJCFIBC,

c（果园）3（菜园）

.4（门口）

VZB=90o,

••・四边形BCFE是矩形，

.∙.CF=BE,BC=EF,

在RtΔCDF中，DF=CD-SinZFCD≈300X0.6=180,CF=CD-CoS乙FCD≈300X0.8=240，

ΛBE=240,

ΛAE=AB-BE=21O,

在RtMDE中，∆DAE=65%tan4=器

.∙.DE=AE∙tan√l=210Xtan650≈450米.

BC=EF=DF+DE=180+450=630

答：菜园与果园之间的距离630米.

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】过点D作EFLAB,交AB于点E,贝∣JCFLBC,易得四边形BCFE是矩形，得至U

CF=BE,BC=EF,根据三角函数的概念可得DF、CF,然后求出BE,由AE=AB-BE可得AE,根据

三角函数的概念可得DE,然后根据BC=EF=DF+DE进行计算.

四、综合题（共10题；共91分）

31.（2022・资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道4B进行实地测量.如图

所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15。方向上，他沿西北方向前进IOOg米后

到达点D,此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60。方向上，（点A、B、C、D在

同一平面内）

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道4B的长度.（结果保留根号）

【答案】（1）解：由题意可知：∆ACD=15o+45o=60o,NADC=I80。-45。-45。=90。

在RtAADC中，

.".AD=DC×tan∆ACD=100√3×tan60o=100√3×√3=300（米）

答：点D与点A的距离为300米.

（2）解：过点D作CEIAB于点E.

YAB是东西走向

Z.ADE=45°,乙BDE=60°

在RtΔAOE中，

'∙DE=AE=AD×SinzyIDE=300Xsin45o=300×ɪ=150√2

在RtZkBQE中，

：.BE=DEXtanzBDF=150√2×tan60o=150√2×√3=150√6

.".AB=AE+BE=150√2+150√6（米）

答：隧道AB的长为（150√Σ+150遍）米

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】（1）由题意可知NACD=60。，NADC=90。，然后根据三角函数的概念进行计算；

（2）过点D作DE_LAB于点E,由题意可得NADE=45。，ZBDE=60o,根据三角函数的概念求出

AE、DE、BW,然后根据AB=AE+BE进行计算.

32.（2022・安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善.某市政府为了实现5G

网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基