考点20二项式定理（原卷版）-2024年新高考艺体生一轮复习

考点20二项式定理一．二项式定理（1）二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)（2）通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)（4）项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项三．二项式系数的性质四．系数和赋值法1．赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．五．常见解题思路1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式，常把字母和系数分离(注意符号不要出错)；②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．3.求三项展开式特定项的方法①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．4.二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．5.整除问题：用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．6.近似运算：利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一二项式指定项的系数【例11】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（

）A． B．60 C．210 D．【例12】（2024·贵州·校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．8 B．28 C．56 D．70【例13】（2023·山东青岛）若的展开式中共有个有理项，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式】1．（2024·四川绵阳·统考二模）的展开式中，x的系数为（

）A． B． C．5 D．102．（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（

）A． B． C．240 D．3．（2024上·全国·高三专题练习）展开式中含项的系数为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高三专题练习）写出展开式中的一个有理项为.考点二二项式系数与系数的性质【例21】（2023辽宁省大连市）的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【例22】（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【例23】2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为【变式】1．（2023·甘肃）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为．3．（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式的展开式中，系数最大的项为．考法三（二项式）系数和【例31】（2024·重庆·校联考一模）（多选）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【例32】．（2024·黑龙江）（多选）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．【变式】1．（2024·河南）（多选）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．2（2023·辽宁）（多选）若，则（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江绍兴）（多选）设，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023·山西朔州）（多选）若，，则下列结论中正确的有（

）A．B．C．D．考法四两个二项式乘积的系数【例41】（2024·全国·模拟预测）展开式中，含项的系数为．【例42】（2024上·全国·高三专题练习）展开式中的常数项是120，则实数．【变式】1．（2024·全国·模拟预测）展开式中，含的项的系数为．2．（2024·海南海口·统考模拟预测）在的展开式中的系数为.3．（2024上·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）的展开式中的常数项为.考法五三项式系数【例51】（2023·江西南昌）在的展开式中，项的系数为（

）A．299 B．300C． D．【例52】（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的系数为．【变式】1．（2023上·云南曲靖·高三校考阶段练习）的展开式中的常数项为（

）A．588 B．589 C．798 D．7992．（2023·四川达州）的展开式中，的系数为（

）A．20 B． C． D．153．（2023·黑龙江大兴安岭地）展开式中含项的系数为.4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）的展开式中的系数为.考法六二项式定理的应用【例61】（2023·山东）被8除的余数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【例62】（2024湖北）的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【变式】1．（2023·山东菏泽）设，且，若能被13整除，则等于（

）A．0 B．1 C．11 D．122．（2023·江苏连云港）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六3．（2023江苏）用二项式定理估算.（精确到0.001）4．（2023·课时练习）将精确到0.01的近似值是．1．（2024·全国·模拟预测）展开式中的常数项为（

）A．672 B． C． D．53762．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．3．（2024上·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．12 B．－12 C．－2 D．24．（2023·全国·校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（

）A．721 B．61 C．181 D．595．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．6．（2023·广东揭阳）的展开式中的系数为（

）A．200 B．210 C．220 D．2407．（2024上·河北廊坊）设，且，若能被7整除，则（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2024·辽宁）（多选）已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（

）A．B．展开式中的系数为280C．展开式中所有项的系数和为D．展开式中的第二项为9．（2023·广西·模拟预测）（多选）已知，则（

）A．展开式中所有二项式的系数和为 B．展开式中二项式系数最大项为第1012项C． D．10．（2023·福建泉州）（多选）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（

）A．二项展开式中各项系数之和为B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为11．（2023·浙江杭州）（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项是 B．各项系数和为C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为3212．（2023·上海浦东新）（多选）若，则不正确的是（

）A． B．C． D．13．（2023·福建泉州）（多选）关于，则（

）A．B．C．D．14．（2023·河北秦皇岛）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．15．（2023·云南楚雄）（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．16（2023下·湖北武汉）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．17．（2023下·山东青岛）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．18．（2023·江苏南通）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．19．（2024上·天津和平·高三统考期末）在的二项展开式中，的系数为．20．（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在的展开式中，常数项为．（结果用数字表示）21．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知，若的展开式中含项的系数为40，则.22．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为．（用数字作答）23．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）展开式中项的系数为．24．（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．25．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）的展开式中常数项为.26．（2024·辽宁沈阳·统考一模）的展开式中常数项的二项式系数为.27．（2023·甘肃白银）的展开式中有理项的个数为.28．（2023上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为.29．（2023上·全国·高三专题练习）在的展开式中的系数为.30．（2024·湖南株洲·统考一模）在的展开式中，含的项的系数是.（用数字作答）31．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）除以的余数是．32．（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为．33．（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为．34．（2024·广东珠海）的近似值（精确到）为．35．（2024·山西朔州）的计算结果精确到0.01的近似值是．36．（2023河南）求的二项展开式中系数最大的项37（2023上·云南）求的二项展开式中系数最大的项38．（2023江苏）求的近似值．(精确到两位小数)1.（2024广西）设为奇数，那么除以13的余数是（）A． B．2 C．10 D．112．（2023上·江