专题12数列与函数不等式的综合问题（解密讲义）（原卷版）

专题12数列与函数、不等式的综合问题（解密讲义）【知识梳理】1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列。求数列通项公式常用的方法：(1)由与的关系求通项公式(2)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(3)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(4)在已知数列{an}中，满足eq\f(an＋1,an)＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．2.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝eq\f(r1＋rna,1＋rn－1).3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.方法技巧：数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.考点命题点考题数列与函数、不等式的综合问题=1\*GB3①数列中函数模型的应用=2\*GB3②数列不等式的恒成立问题=3\*GB3③数列新定义2023北京卷T21，2023天津卷T19，2022北京卷T21，2022浙江卷T10，2022浙江卷T20，2022新高考II卷T17考点一数列与函数、不等式的综合问题命题点1数列中函数模型的应用典例01（2018·北京·高考真题）“十二平均律”

是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，A．32f BC．1225f典例02（2017·上海·统考高考真题）根据预测，某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为a其中an=5n4+15,1≤n≤3-10n+470累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n-46)典例03（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,⋅⋅⋅,n，则1．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（

）（单位：万元）参考数据：1.02A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.32．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据1.003119≈1.428，3．“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=A(1+r)n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率为2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.参考数据：(1+2.5命题点2数列不等式的恒成立问题典例01（2022·浙江·统考高考真题）已知数列an满足a1=1,A．2<100a100<52B．52<100a典例02（2021·天津·统考高考真题）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{bn（I）求{an}（II）记cn（i）证明{c（ii）证明k=1典例03（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列an的首项a1=-1，公差d>1．记an的前(1)若S4-2a(2)若对于每个n∈N*，存在实数cn，使a1．数列an中，a1=3,an+1=1+1naA．83 B．15×897 C．2．已知等比数列an的前n项和为Sn，且S3=7，S6=63，若关于n的不等式S2n-t3．已知数列an的前n项和为Sn，且an(1)若a1≠2，求证：(2)对任意n,m∈N*,m≠n，都有S4．已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=n(1)求证：数列an+1(2)求数列bn(3)设cn=an-22bn，且数列cn的前n命题点3数列新定义典例01（2023·北京·统考高考真题）已知数列an,bn的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},an,bn的前n项和分别为A(1)若a1=2,a(2)若a1≥b1，且(3)证明：存在p,q,s,t∈0,1,2,⋯,m，满足p>q,s>t,使得A典例02（2022·北京·统考高考真题）已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,⋯,a(3)若Q:a1,a2,⋯,a典例03（2021·北京·统考高考真题）设p为实数.若无穷数列an满足如下三个性质，则称an为R①a1+p≥0，且②a4n-1③am+n∈a（1）如果数列an的前4项为2，2，2，1，那么an是否可能为（2）若数列an是R0数列，求（3）设数列an的前n项和为Sn.是否存在Rp数列an，使得S1．设数列an的前n项和为Sn，若SnS2n为常数，则称数列an为“吉祥数列”.已知等差数列bn的首项为2，且公差不为0，若数列bn为A．bn=2n B．bn=n+1 C．2．（多选）若数列cn满足cn+1=cn2，则称cn为“平方递推数列”.已知数列an是A．lgan是等差数列 B．C．anan+1是“平方递推数列” D．an+13．已知数列an满足：an＋(1)求数列an(2)已知数列bn满足bn＝1，n=1logn+2an,n≥2,n∈N*,定义使b1·AA·新题速递1．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数a0，按照上述规则实施第n次运算的结果为ann∈N，若a5=1，且aiA．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或42．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（

）（参考数据lg0.9753≈-0.01086A．1108% B．1107%3．（多选）（2023·云南·校联考模拟预测）在数列an中，an2-an-12=p（n≥2,n∈N*,p为非零常数），则称an为“等方差数列”，A．(-3)nB．若正项等方差数列an的首项a1=1，且C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列an4．（多选）（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列an满足a1=1,A．a2023>aC．1an2+155．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）数列{an}中，an=logn+1(n+2) (n∈N6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点Px,y，若点Q坐标为x+y2,x-y2，则称点Q为点P的“衍生点”.例如，点1,2的“衍生点”为点32,-12.已知点A1的坐标为1,1，点A1的“衍生点”为点A2，点A2的“衍生点”为点A3,⋯，点Anxn7．（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知数列an满足a1+3a2+3(1)求an和b(2)记集合M=n4λan≤bnb8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+2是首项为(1)求数列an(2)若对任意n∈N*，m>a9．（2023·广西南宁·统考模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，已知(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=4anan+1-1an+2-110．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N(1)若An=3n2(2)若对任意n∈N*，都有an=Bn及b211．（2023·河北张家口·统考三模）已知数列an满足3+(1)求数列an(2)记数列1an⋅an+1的前n12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次bc第二次bc第三次bc⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n次bc消费者每次的还价bn(n∈k)组成一个数列(1)写出此数列的前三项，并猜测通项bn的表达式并求出lim(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?13．（2023·上海金山·统考一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）BB·易错提升1．已知数列an为无穷数列．若存在正整数l，使得对任意的正整数n，均有an+l≤an，则称数列an为“l阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列bn为无穷数列且bn=cosn-n2（n为正整数），则数列bn是“l阶弱减数列”的充要条件是l≥4；②数列cn为无穷数列且cnA．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题2．若数列an，对于∀k∈N*,n∈N*，都有an+k-an>kt（t为常数）成立，则称数列an具有性质P(t)．已知数列an的通项公式为A．(85,+∞) B．(43．（多选）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1,2,3,5,8,13,⋯数列中的每一项称为斐波那契数，记作Fn．已知FA．FB．FC．若斐波那契数Fn除以4所得的余数按照原顺序构成数列anD．若F2024=4．（多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1、2进行“美好成长”，第一次得到数列1、2、2；第二次得到数列1、2、2、4、2；⋯；设第n次“美好成长”后得到的数列为1、x1、x2、⋯、xk、2，并记aA．a2=5 BC．an+1=3an-1 D．数列5．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=13AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＜a，则6．已知各项都不为0的数列an的前k项和Sk满足2Sk=akak+1，其中a1=1，设数列1an7．已知无穷数列{an}与无穷数列{bn}满足下列条件：①an∈{0,1,2},n∈N*；②（1）若a1=b（2）是否存在a1,a2,a（3）若b1=1，求T8．设数列A:a1,a2,…,an（n≥3）的各项均为正整数，且a1≤a2（1）判断数列A1:1,2,4,7与数列A2（2）若数列A具有性质T，且a1=1，a2=2，（3）若集合S={1,2,3,⋯,201