排列与组合(讲课及例题解析)

排列与组合排列定义

从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)或者A(n,r)表示。排列的个数用或者表示。当r=n时称为全排列。组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用表示。一、两个原理：1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的根本原那么和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要答复的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类方法和需要分几个步骤。1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。〔1〕假设从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？〔2〕假设从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？〔3〕假设从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：〔1〕由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，那么分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。〔2〕由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90〔种〕。〔3〕由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况〔数语各1本，数英各1本，语英各1本〕而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63〔种〕。由此可见：加法原理用于分类，乘法原理用于分步。二、组合排列的公式：从n个数字取r个组合记为:=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)/1*2*...*r假设那么有：组合数的性质1：．规定：组合数的性质2：＝+例如：从n个数字取r个排列记为：=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)假设n=r,那么称为n个数的全排列，=n!表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定:三、排列与组合的应用排列与组合局部的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法〔1〕在直接法中又分为两类，假设问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；假设问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。〔2〕间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩=的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法：〔1〕特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。〔2〕捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。〔3〕插空法：某些元素必须不在一起的别离排列用“插空法”，不需别离的站好实位，在空位上进行排列。〔4〕其它方法。例1．7人排成一行，分别求出符合以下要求的不同排法的种数。〔1〕甲排中间；〔2〕甲不排两端；〔3〕甲，乙相邻；〔4〕甲在乙的左边〔不要求相邻〕；〔5〕甲，乙，丙连排；〔6〕甲，乙，丙两两不相邻。解：〔1〕甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。〔2〕甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置那么有种，其余6人可任意排列有种，故共有·=3600种不同排法。〔3〕甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有·=1400种不同的排法。〔4〕甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。〔5〕甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有·=720种不同排法。〔6〕甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的别离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。例2．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出以下各类数的个数：〔1〕奇数；〔2〕5的倍数；〔3〕比20300大的数；〔4〕不含数字0，且1，2不相邻的数。解：〔1〕奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有=388〔个〕。〔2〕5的倍数：按0作不作个位来分类第一类：0作个位，那么有=120。第二类：0不作个位即5作个位，那么=96。那么共有这样的数为：+=216〔个〕。〔3〕比20300大的数的五位数可分为三类：第一类：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3个；第二类：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的4个；第三类：203xx,204xx,205xx,有3个，因此，比20300大的五位数共有：3+4+3=474〔个〕。〔4〕不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。例3：有4名男生，5名女生．

〔1〕从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种不同选法？

〔2〕从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？

〔3〕分成甲、乙、丙三组，每组3个，有多少种不同分法？

解：〔1〕选2名男生有种选法；选3名女生，但必须包括某女生，有种选法.故满足条件的选法有·=36〔种〕．

〔２〕解法1：〔直接法〕符合条件的选法有三类：①2男3女；②3男2女；③4男1女．其选法有

解法2：〔间接法〕不符合条件的选法有两类：①1男4女；②5女．故符合条件的选法有=105〔种〕．

〔3〕先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，剩下的学生为丙组成员．故符合条件的分法有

【反思】只要我们准确的理解了组合的概念，对于这样的简单组合问题将不难解决，因此准确理解数学概念是非常重要的.经过前面的学习我们知道排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m〔ｍ≤ｎ〕个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】判断以下问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

〔1〕高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

〔2〕高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

〔３〕有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

〔４〕有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】〔１〕①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

解：〔１〕①是排列问题，共通了=110〔封〕；②是组合问题，共需握手==55〔次〕

〔２〕①是排列问题，共有=10×9=90〔种〕不同的选法；②是组合问题，共=45〔种〕不同的选法；

〔３〕①是排列问题，共有=8×7=56〔个〕不同的商；②是组合问题，共有=28〔个〕不同的积；

〔４〕①是排列问题，共有=56〔种〕不同的选法；②是组合问题，共有=28〔种〕不同的选法．

【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.练习题：1分别求出符合以下要求的不同排法的种数〔1〕6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；〔2〕6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；〔3〕从6名运发动中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；〔4〕6人排成一排，甲、乙必须相邻；〔5〕6人排成一排，甲、乙不相邻；〔6〕6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边〔甲、乙、丙可以不相邻〕2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求以下抽取方法各多少种？ 〔1〕没有次品；〔2〕恰有两件是次品；〔3〕至少有两件是次品练习题解题：1分别求出符合以下要求的不同排法的种数〔1〕6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；〔2〕6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；〔3〕从6名运发动中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；〔4〕6人排成一排，甲、乙必须相邻；〔5〕6人排成一排，甲、乙不相邻；〔6〕6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边〔甲、乙、丙可以不相邻〕解：〔1〕分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为〔2〕甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法，然后其他5人选，有种选法，故排法种数为〔3〕有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次那么不受限制，排法数为；②乙不跑第一棒，那么跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，由分类计数原理，共有种排法 〔4〕将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法 〔5〕甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有〔或用6人的排列数减去问题〔2〕后排列数为〕 〔6〕三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求以下抽取方法各多少种？ 〔1〕没有次品；〔2〕恰有两件是次品；〔3〕至少有两件是次品解：〔1〕没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有种〔2〕恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有种〔3〕至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种第二类