北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题2.3一元一次不等式与一次函数(知识解读)(原卷版+解析)

专题2.3一元一次不等式与一次函数（知识解读）【学习目标】1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用．2．通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力．3．把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会．【知识点梳理】知识点一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。【典例分析】【考点1：一元一次不等式与一次函数】【典例1】（2022秋•霍邱县期中）函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2【变式1-1】（2022秋•宁明县月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），则不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＜2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＞4【变式1-2】（2022秋•昭平县期中）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【典例2】（2022春•元宝区校级期末）一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如右图所示，则mx+n＞﹣x+a的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜2 D．x＞2【变式2-1】（2022春•振兴区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2【变式2-2】（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【典例3】（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．【变式3-1】（2022秋•岑溪市期中）画出函数y＝x+2的图象，利用图象：（1）求方程x+2＝0的解；（2）求不等式x+2＜0的解集；（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝﹣3与坐标轴交于C、D两点．（1）求直线AB：y＝kx+b与CD交点E的坐标；（2）直接写出不等式kx+b＞x﹣3的解集；（3）求四边形OBEC的面积．【考点2：一元一次不等式与一次函数的实际应用】【典例4】（2022春•正定县期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【变式4】（2020春•定边县期末）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的费用相同？专题2.3一元一次不等式与一次函数（知识解读）【学习目标】1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用．2．通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力．3．把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会．【知识点梳理】知识点一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。【典例分析】【考点1：一元一次不等式与一次函数】【典例1】（2022秋•霍邱县期中）函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2【答案】B【解答】解：一次函数y＝kx+b，当y＞0时，图象在x轴上方，∴函数图象与x轴交于（3，0）点，∴不等式kx+b＞0的解集为x＜3，故选：B．【变式1-1】（2022秋•宁明县月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），则不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＜2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＞4【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），∴y随x的增大而减小，且x＝4时，y＝0，当x＞4时，y＜0，即kx+b＜0，∴不等式kx+b＜0的解集为x＞4．故选：D．【变式1-2】（2022秋•昭平县期中）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【答案】A【解答】解：由不等式kx+b﹣1≤0得kx+b≤1．观察图象，当x≥0时，y≤1，即kx+b≤1．所以不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故选：A．【典例2】（2022春•元宝区校级期末）一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如右图所示，则mx+n＞﹣x+a的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜2 D．x＞2【答案】A【解答】解：∵mx+n＞﹣x+a，即：y1＞y2，根据图象知：当x3时有y1＞y2，故选：A．【变式2-1】（2022春•振兴区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2【答案】C【解答】解：在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，∴x＝1，∴A（1，2），由图可得：不等式kx+b＜2x的解集为x＞1．故选：C．【变式2-2】（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．【典例3】（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，∴2＝2m﹣2，解得m＝2；∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，∴，解得：；（2）由图象可得，不等式组1＜kx+b＜2x﹣2的解集为2＜x＜3．【变式3-1】（2022秋•岑溪市期中）画出函数y＝x+2的图象，利用图象：（1）求方程x+2＝0的解；（2）求不等式x+2＜0的解集；（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．【解答】解：画出函数y＝x+2的图象如图：（1）由图象知，方程x+2＝0的解是x＝﹣2；（2）由图象知，不等式x+2＜0的解集是x＜﹣2；（3）由图象知，当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝﹣3与坐标轴交于C、D两点．（1）求直线AB：y＝kx+b与CD交点E的坐标；（2）直接写出不等式kx+b＞x﹣3的解集；（3）求四边形OBEC的面积．【解答】解：（1）把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝2，所以直线AB的解析式是y＝﹣2x+2，解方程组得：，所以点E的坐标是（2，﹣2）；（2）由图象可知，x＜2时，y＝kx+b的图象在y＝﹣3的图象的上方，故不等式kx+b＞x﹣3的解集是x＜2；（3）y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝6，则点C的坐标是（0，﹣3），点D的坐标是（6，0），∵B点坐标是（1，0），E点坐标是（2，﹣2），所以四边形OBEC的面积S＝S△DOC﹣S△BOE＝﹣＝4．【考点2：一元一次不等式与一次函数的实际应用】【典例4】（2022春•正定县期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【解答】解：（1）由题意，得y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720．（2）①当y甲＝y乙时，600x+1200＝720x+720，解得x＝4，当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；②当y甲＞y乙时，600x+1200＞720x+720，解得x＜4；当0＜x＜4（x为整数）时，乙旅行社更优惠；③当y甲＜y乙时，600x+1200＜720x+720，解得x＞4．当x＞4（x为整数）时，甲旅行社更优惠．【变式4】（2020春•定边县期末）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的费用相