2023-2024学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各图中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列方程中是一元二次方程的是(

)A.x2+2x=0 B.1x2+x=3 3.方程3x2−2x−1=0的根的情况是A.有两个相等的实数根 B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根 D.无法确定4.下列事件为随机事件的是(

)A.太阳从东方升起 B.度量四边形内角和，结果是720°

C.某射击运动员射击一次，命中靶心 D.通常加热到100℃时，水沸腾5.在平面直角坐标系中，点P(−1,−2)关于原点对称的点的坐标是(

)A.(1,−2) B.(−1,2) C.(1,2) D.(−2,−1)6.不透明的袋子中装有2个白球，3个红球和5个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为(

)A.310 B.12 C.157.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是(

)A.63

B.6

C.68.如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是(

)A.4

B.2

C.4π

D.2π

9.反比例函数y=mx(m>0,x>0)的图象位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若OD/​/BC，且OD=BC，则∠BOD的度数是(

)A.65°

B.115°

C.130°

D.120°二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.设x1，x2是方程x2+3x−4=0的两个根，则x12.若点(2,a)在反比例函数y=12x的图象上，则a=______．13.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色.指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为78(指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形)，则黑色扇形的圆心角∠AOB=______．

14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，则BB′=______．

15.如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径OA=10m，地面宽AB=16m，则高度CD为______．

16.如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，经过点(−1,3)和(1,0)且与y轴交于负半轴.则下列结论：①a+b+c=0，②abc<0；③2a+b<0；④a+c=32，其中正确的结论是______

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

解方程：2x2−8=018.(本小题4分)

如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD=∠CAD.求证：AB=AC．

19.(本小题6分)

如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC=2，求k的值．

20.(本小题6分)

如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？21.(本小题8分)

学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A.搭豇豆架、B.斩草除根C.趣挖番薯、D.开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．

(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是______；

(2)请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．22.(本小题10分)

如图，AB是⊙O直径，C为⊙O上一点．

(1)尺规作图：求作一点B′，使得B′与B关于直线AC对称；

(2)在直线AB′上取一点D，连接CD，若CD⊥AB′，求证：CD是圆O的切线．23.(本小题10分)

为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．

(1)求该广场绿化区域的面积；

(2)求广场中间小路的宽．

24.(本小题12分)

已知抛物线y1=−x2+bx+c经过点A(−1,0)和B(3,0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线y2=kx+k与抛物线交于点P．

①当0≤x≤3时，若y1−y2的最小值为5，求k的值；

②抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，当点P(不与点B重合)在抛物线的对称轴右侧运动时，直线AP和直线25.(本小题12分)

如图，点E为正方形ABCD边上的一点，CG平分正方形的外角∠DCF，将线段AE绕点E顺时针旋，点A的对应点为点H．

(1)当点H落在边CD上且CE=CH时，求∠AEH的度数；

(2)当点H落在射线CG上时，求证：AE⊥EH；

(3)在(2)的条件下，连接AH并与CD交于点P，连接EP，探究AP2，EP2与

答案和解析1.【答案】B

解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；

是中心对称图形的只有B．

故选：B．

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可直接选出答案．

此题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A

解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意．；

B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选：A．

利用一元二次方程定义进行解答即可．

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．3.【答案】C

解：∵a=3，b=−2，c=−1，

∴△=4−4×3×(−1)=16>0，

故选：C．

根据根的判别式即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．4.【答案】C

解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故此选项不符合题意；

B、度量四边形内角和，结果是720°是不可能事件，故此选项不符合题意；

C、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故此选项符合题意；

D、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故此选项不符合题意；

故选：C．

根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．

此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件的定义．5.【答案】C

解：根据中心对称的性质，可知：点P(−1,−2)关于原点O中心对称的点的坐标为(1,2)．

故选：C．

根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．6.【答案】C

解：随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中恰好是白球的有2种结果，

所以随机摸出一个球，恰好是白球的概率为210=15，

故选：C．

随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中恰好是白球的有2种结果，再根据概率公式求解即可．

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件7.【答案】B

解：如图，连接OA，OB．

在正六边形ABCDEF中，OA=OB=1，∠AOB=360°6=60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴AB=OA=1，

∴正六边形ABCDEF的周长是1×6=6．

故选：B．

连接OA，OB.证明△OAB是等边三角形，求得AB=OA=1，据此求解即可．8.【答案】B

解：扇形的弧长=120π×6180=4π，

∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．

故选：B．

9.【答案】A

解：∵反比例函数y=mx中，m>0，x>0，

∴函数图象位于第一象限．

故选：A．

根据反比例函数的性质解答即可．10.【答案】D

解：∵OD/​/BC，且OD=BC，

∴四边形OBCD是平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，

∵∠BAD=12∠BOD，∠BCD+∠A=180°，

∴12∠BOD+∠BOD=180°，

解得：∠BOD=120°，

故选：D．

首先根据OD/​/BC，且OD=BC得到四边形OBCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到∠BOD=∠BCD，然后利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠BAD=12∠BOD，∠BCD+∠A=180°11.【答案】−3

解：∵x1，x2是方程x2+3x−4=0的两个根，

∴x1+x2=−31=−3，

故答案为：−3．12.【答案】6

解：∵点(2,a)在反比例函数y=12x的图象上，

∴a=122=6，

故答案为：613.【答案】45°

解：由题意知黑色扇形的圆心角∠AOB=360°×(1−78)=45°，

故答案为：45°．

用周角乘以指针恰好指向黑色扇形的概率即可得出答案．

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A14.【答案】6解：∵在△ABC中，BC=3，∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴AB=2BC=6，

∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，

∴∠∠BAB′=90°，AB=AB′=6，

∴BB′=AB2+AB′2=62．

故答案为：615.【答案】4m

解：∵OC⊥AB，

∴∠ADO=90°，AD=12AB=8(m)，

在Rt△AOD中，OD2=OA2−AD2，

∴OD=102−82=6(m)，

∴CD=10−6=4(m)．

故答案是：4m．16.【答案】①④

解：∵抛物线经过点(1,0)，即x=1时，y=0，

∴a+b+c=0，所以①正确；

∵抛物线开口向上

∴a>0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴a、b异号，即b<0，

∵抛物线与y轴相交于负半轴，

∴c<0，

∴abc>0，所以②错误；

∵x=−b2a<1，

而a>0，

∴−b<2a，

即2a+b>0，所以③错误；

∵二次函数经过点(−1,3)和(1,0)，

∴a−b+c=3，a+b+c=0，

∴2a+2c=3，即a+c=32，所以④正确；

故答案为：①④．

利用x=1时，y=0可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得到b<0，由抛物线与y轴相交于负半轴得到c<0，则可对②进行判断；利用对称轴方程x=−b2a<1得到−b<2a，则可对③进行判断；利用二次函数经过点(−1,3)和(1,0)得到a−b+c=3，17.【答案】解：x2=4，

所以x1=2【解析】先变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解．

本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x218.【答案】解：∵BC与⊙A相切于点D，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(ASA)，

∴AB=AC．

【解析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．19.【答案】解：∵AC⊥x轴，AC=2，

∴A的纵坐标为2，

∵正比例函数y=2x的图象经过点A，

∴2x=2，解得x=1，

∴A(1,2)，

∵反比例函数y=kx的图象经过点A，

∴k=1×2=2【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得A的坐标是关键．

根据题意得出点A的纵坐标为2，把y=2代入y=2x，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．20.【答案】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10−x，

则：S=12AC⋅BD=12x(10−x)=−12(x−5)【解析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=12AC21.【答案】14解：(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是14，

故答案为：14；

(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有4种，

∴甲、乙两人选择同一个小组的概率为416=14．

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有422.【答案】(1)解：如图，连接BC并延长，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点B′，

则点B即为所求．

(2)证明：连接OC，

∵B′与B关于直线AC对称，

∴AC垂直平分BB′，

∴AB′=AB，

∴∠ABB′=∠AB′B．

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠AB′B，

∴AB′//OC，

∵CD⊥AB′，

∴∠B′DC=90°，

∴∠DCO=∠B′DC=90°，

∴OC⊥CD．

∵OC为圆O的半径，

∴CD是圆O的切线．

【解析】(1)连接BC并延长，由圆周角定理可知∠ACB=90°，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点B′，则点B即为所求．

(2)连接OC，根据题意可得AB′=AB，则∠ABB′=∠AB′B，进而可得∠OCB=∠AB′B，则AB′//OC，从而可得∠DCO=∠B′DC=90°，结合切线的判定可得结论．

本题考查作图−轴对称变换、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)18×10×80%=144(平方米)．

答：该广场绿化区域的面积为144平方米．

(2)设广场中间小路的宽为x米，

依题意，得：(18−2x)(10−x)=144，

整理，得：x2−19x+18=0，

解得：x1=1，x2=18(不合题意，舍去)【解析】(1)根据该广场绿化区域的面积=广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；

(2)设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式(将绿化区域合成矩形)，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y1=−x2+bx+c经过点A(−1,0)和B(3,0)，

∴y1=−(x+1)(x−3)，

∴抛物线的解析式为y1=−x2+2x+3；

(2)①由题意可知：y1−y2=−x2+2x+3−kx−k=−x2+(2−k)x+3−k，

∴该函数的对称轴为直线x=−2−k−2=2−k2，

∵−1<0，

∴开口向下，

当0<2−k2<3即−4<k<2时，

∵当0≤x≤3时，若y1−y2的最小值为5，

∴当x=0时，y1−y2的最小值为5，即3−k=5，解得k=−2，

当x=3时，若y1−y2的最小值为5，即−9+3(2−k)+3−k=5，解得k=−54(不符合题意，舍去)，

当2−k2≥3即k≤−4时，同理可得不符合题意；

②∵抛物线解析式y=−x2+2x+3，

整理成顶点式为：y1=−(x−1)2+4，对称轴为直线x=1，

∴顶点(1,4)，D(1,0)，

∵直线AP的解析式为y2=kx+k，且直线AP与对称轴交于点M，

∴M(1,2k)，即DM=2K，

∵过点A的直线y2=kx+k与抛物线交于点P，

有−x2+2x+3=kx+k，

解得，x1=−1，x2=3−k，

将x=3−k代入y2=kx+k中，有y2=4k−k【解析】(1)利用抛物线的交点式即可求解；

本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键．25.【答案】(1)解：如图所示，连接AH，

∵线段AE绕点E顺时针旋，当点H落在边CD上，

∴AE=EH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD=AB=AD，∠ABE=∠ADH=90°，

∵CE=CH，

∴CB−CE=CD−CH，

∴BE=DH，

在△ABE和△ADH中，

AB=AD∠ABE=∠ADHBE=DH，

∴