（福建专用）高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理课时闯关（含解析）

一、选择题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：选D.由正弦定理得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，∴sinB＝eq\f(10·sin60°,15)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),15)＝eq\f(\r(3),3).∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3).2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形解析：选A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,4)<0，即90°<C<180°.∴△ABC是钝角三角形．故选A.3．(2012·福州调研)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选D.sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA，故sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).4．在△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°.若该三角形有两个解，则x的取值范围是()A．x>2 B．x<2C．2<x<2eq\r(2) D．2<x<2eq\r(3)解析：选C.由题意得b<a，且b>asinB，所以2<x<2eq\r(2).5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值为()A.eq\f(26\r(3),3) B.eq\f(2\r(39),3)C.eq\f(\r(39),3) D.eq\f(13\r(3),3)解析：选B.由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，得eq\r(3)＝eq\f(1,2)csin60°，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝1＋16－2×1×4cos60°＝13，所以a＝eq\r(13)，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3).二、填空题6．(2012·厦门质检)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，∠C＝eq\f(2π,3)，则a＝________.解析：由正弦定理，有eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝eq\f(π,6)，∴∠A＝eq\f(π,6).∴a＝b＝1.答案：17．a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，且S＝c2－(a－b)2，则tanC＝________.解析：由余弦定理得S＝c2－(a2＋b2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝2ab(1－cosC)＝eq\f(1,2)absinC，∴eq\f(1－cosC,sinC)＝eq\f(1,4)，即taneq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，tanC＝eq\f(8,15).答案：eq\f(8,15)8．在△ABC中，给出下列结论：其中正确结论的序号为________．①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则角A为60°；③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.解析：在①中，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确；在②中，b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，所以A＝120°，故②不正确；在③中，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确；在④中A∶B∶C＝1∶2∶3，故A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝1∶eq\r(3)∶2，故④不正确．答案：①三、解答题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又∠A是△ABC的内角，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．10．△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求∠B的大小；(2)若a＝4，S＝5eq\r(3)，求b的值．解：(1)由eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)⇒eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(sinB,2sinA＋sinC)⇒2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC⇒2sinAcosB＝－sinBcosC－cosBsinC.∴2sinAcosB＝－sin(B＋C)⇒2sinAcosB＝－sinA⇒cosB＝－eq\f(1,2)，又0＜B＜π，∴B＝eq\f(2,3)π.(2)由a＝4，S＝5eq\r(3)有S＝eq\f(1,2)×4acsinB＝eq\f(1,2)×c×eq\f(\r(3),2)⇒c＝5，b2＝a2＋c2－2accosB⇒b2＝16＋25＋2×4×5×eq\f(1,2)⇒b＝eq\r(61).一、选择题1．已知△ABC为锐角三角形，且B＝2A，求eq\f(b,a)的取值范围()A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(eq\r(2)，eq\r(3)]C．(eq\r(2)，2) D．(eq\r(2)，2]解析：选A.在△ABC中，B＝2A，A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－A－B＝180°－3A<90°，A>30°.又2A<90°，即A<45°.所以30°<A<45°.所以eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2).由正弦定理得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin2A,sinA)＝2cosA，所以eq\r(2)<eq\f(b,a)<eq\r(3).2．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是()A．(1,2) B．(2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)解析：选B.设△ABC三内角为A、B、C，其对边为a、b、c，且A<B<C，由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，可得B＝60°，由已知A<30°，m＝eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin60°＋A,sinA)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,2)＞2.另解：(几何法)如右图，B＝60°，设AB＝2，角C1＝90°，则BC1＝1，要使角C为钝角，只须BC<BC1＝1，即m＝eq\f(c,a)＞2.二、填空题3．(2011·高考天津卷改编)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．解析：设BD＝2，则AB＝AD＝eq\r(3)，BC＝4.在△ABD中，cos∠ADB＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2×AD×BD)＝eq\f(3＋4－3,2×\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),3)，∴sin∠BDC＝eq\r(1－cos2∠BDC)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3).在△BDC中，由正弦定理得eq\f(4,sin∠BDC)＝eq\f(2,sinC)，即sinC＝eq\f(1,2)sin∠BDC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)4．在△ABC中，eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(\r(2)c－b,b)，则∠A＝________.解析：eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(\r(2)c－b,b)，有eq\f(sinA,cosA)·eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(\r(2)sinC－sinB,sinB)，又∵sinB≠0，∴sinAcosB＝eq\r(2)sinCcosA－sinBcosA，∴sin(A＋B)＝eq\r(2)sinCcosA，即sinC＝eq\r(2)sinCcosA.又∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(\r(2),2).∴∠A＝45°.答案：45°三、解答题5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB.(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(3)且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，求边长c的取值范围．解：(1)在△ABC中，根据余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，∵a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，∴2accosB＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，∴tanB＝eq\r(3).又∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝eq\f(2π,3)－A.由正弦定理，得：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝2.∴c＝2sinC＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)).∵eq\f(π,6)＜A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)－A＜eq\f(π,2)，∴eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＜1，∴1＜c＜2.6．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sinB，－\r(3)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．解：(1)m∥n⇒2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B⇒2sinBcosB＝－eq\r(3)cos2B⇒tan2B＝－eq\r(3).∵0＜2B＜π，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴锐角B＝eq\f(π,3).(2)由tan2B＝－eq\r(3)⇒B＝eq\f(π,3)或eq\f(5π,6).①当B＝eq\f(π,3)时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∵△ABC的面积S△ABC＝eq