湖南省娄底市涟源白马乡中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省娄底市涟源白马乡中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则不等式的

解集是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.函数的单调递增区间为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选C.【点睛】本题主要考查求三角函数的单调区间，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.3.执行如右图所示的程序框图,输出的结果是(

)A．11 B．12

C．13 D．14参考答案：C4.若命题“”和“”都为假命题，则（

）A．为真命题

B．为假命题C．为真命题

D．不能判断的真假参考答案：A5.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=2x﹣y仅在点（1，k）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出平面区域，变形目标函数平移直线y=2x，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的平面区域（如图阴影），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知，当直线仅经过点A（1，k）时，截距﹣z取最大值，z取最小值，结合图象可得需满足斜率k＞2故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．6.已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为A.

B.

C.

D.参考答案：C已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么a92=a5a15，即(a1+8d)2=(a1+4d)(a1+14d)，可得a1=4d，由等比数列公比为

，故选择C.7.双曲线的渐近线的方程为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A，双曲线的渐近线方程为.8.若下面的程序框图输出的是，则条件①可为

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知，则不等式的解集为（

）A.(0,e) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.(1,e)参考答案：A【分析】利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由，故函数在上单调递增，又由，故不等式可化为，，得，解得．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.10.若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是(

)A.

平行

B.异面

C.相交

D.平行、异面或相交参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．参考答案：①④⑤【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）?=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．12.已知，直线与的交点在直线上，则

。参考答案：解析：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。13.

参考答案：14.设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，=参考答案：415.已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，3]【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式满足的平面区域，由ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示，由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立，根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB==﹣3，解得：a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．16.已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x﹣（m﹣1）y=2垂直，则m的值为，动直线l：mx﹣y=1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为．参考答案：

【分析】由直线l：mx﹣y=1，直线l与直线x﹣（m﹣1）y=2垂直，利用两直线垂直的性质能求出m的值；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r=3，再求出圆心C（1，0）到直线l：mx﹣y=1的距离d=，弦长为：2，由此能求出动直线l：mx﹣y=1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1，直线l与直线x﹣（m﹣1）y=2垂直，∴m×1+（﹣1）×[﹣（m﹣1）]=0，解得m=．∵圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，圆心C（1，0）到直线l：mx﹣y=1的距离d=，∴弦长为：2=2=2，∴当且仅当m=﹣1时，动直线l：mx﹣y=1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为2．故答案为：．17.已知函数，若，则实数a=_______参考答案：3【分析】由题得到关于a的方程，解方程即得实数a的值.【详解】因为，所以，所以，所以.因为a＞0，所以a=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在（1+x+x2）n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n的展开式中，把Dn0，Dn1，Dn2，…，Dn2n叫做三项式系数．（1）当n=2时，写出三项式系数D20，D21，D22，D23，D24的值；（2）类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数Dn+1m+1（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明．参考答案：【考点】DB：二项式系数的性质；F3：类比推理．【分析】（1）由（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，即可得出．（2）类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：=++．（1≤m≤2n﹣1）．由于（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n?（1+x+x2），即（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n）．比较上式左边与右边xm+1的系数即可得出．【解答】解：（1）因为（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，三项式系数D20=1，D21=2，D22=3，D23=2，D24=1．（2）（2）类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：=++．（1≤m≤2n﹣1）．因为（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n?（1+x+x2），所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n）．上式左边xm+1的系数为，而上式右边xm+1的系数为++．（1≤m≤2n﹣1）．因此=++．（1≤m≤2n﹣1）．19.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少?.

（3）设求数列的前项和

ks5u参考答案：解：（1）,

,,

.又数列成等比数列，

，所以；又公比，所以；

又,,（）∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，∴

，∴当时，

（*）又适合（*）式

()（2）

；

由得，故满足的最小正整数为112.（3）∴

①

②②—①得∴

20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P是棱DF的中点．（1）求证：AD⊥BF；（2）求点B到面PCD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知推导出AD⊥AB，利用面面垂直性质定理能证明AD⊥BF．（2）取AD的中点G，连结PG，由VP﹣ACD=VA﹣PCD，能求出点B到面PCD的距离．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD?平面ABCD，又BF?平面ABEF，∴AD⊥BF．（2）取AD的中点G，连结PG，∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD，∵P、G分别为DF、AD的中点，∴PG∥AF，∴PG⊥平面ABCD，∵VP﹣ACD=VA﹣PCD，∴，∴dA﹣PCD===，∵AB∥面PCD，故dB﹣PCD=dA﹣PCD=，∴点B到面PCD的距离为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．21.（本小题12分）如图，B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点。现位于B点正北方向、A点北偏东方向的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西、A点北偏西的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时.问该救援船到达C点需要多少时间？

参考答案：.在中，………（3分）在中，，由正弦定理，得