基于圆锥滚子轴承能效的EHL滚子端面与挡边接触几何优化

基于圆锥滚子轴承能效的EHL滚子端面与挡边接触几何优化原创

SvenWirsching

轴承杂志社

2023-10-0917:01

发表于河南基于圆锥滚子轴承能效的EHL滚子端面与挡边接触几何优化[德]SvenWirsching等符号说明a′:沿x方向Hertz接触宽度b′:沿y方向Hertz接触宽度c′:沿z方向Hertz接触趋近量COD:决定系数COF:摩擦因数COI:重要性系数COP:预测系数d:内径da:接触点距离d′a:到旋转轴的距离dW:滚动体直径Dpw:节圆直径e:偏心距E:弹性模量F:法向载荷gi:距离函数G:未变形的几何轮廓h:油膜厚度hR:挡边高度H:归一化油膜厚度i:列指数m:行指数m:圆锥体的斜率nI:内圈转速nf:输入因子的数量nW:滚动体转速

法向向量Ni:节点数p

:流体动压pR:参考流体动压P:归一化流体动压

位置向量r

:半径rB

:挡边半径rR

:滚子端面半径R:圆环半径RI:内圈滚道半径

投影向量t:到投影平面的距离ui:滑动速度v:切向滑动速度vi:滑动速度x,y,z,X,Y,Z:笛卡尔坐标系zR:Roelands指数αp:黏压系数β:挡边角度βV:体积膨胀系数γ:与旋转轴的角度γL:压力极限剪应力

剪切率η:流体黏度η0:基础黏度归一化流体黏度ν:泊松比ρ:流体密度ρ0:基础密度

归一化流体密度τ:剪应力τ0:等效剪应力τL:极限剪应力Ω

:接触域圆锥滚子轴承广泛用于机械、汽车和传动工程中的重载支承场合,其主要特点(高径向和单一轴向承载能力、可拆卸性和可调游隙)可得到充分利用。因此,其常用于如轨道车辆或乘用车辆轮毂组件、燃气涡轮发动机或蜗轮和锥齿轮箱或差速器中。一些研究涉及最大限度地提高承载能力、疲劳、刚度、载荷分布和动力学。特别是已采用解析和数值方法来设计轴承几何特征。因此,机器学习和数据挖掘方法以及优化算法也被采用。尽管在少数研究中分析了次要接触或微观几何形状,但大多数研究集中在滚动体与滚道之间主要接触的宏观几何形状,如修形和凸度。在资源减少、环保意识提高和法律要求更严格的背景下,次要接触变得越来越重要。如滚子端面与挡边接触显著影响摩擦和功耗,尤其是当圆锥滚子轴承承受高轴向载荷时。在此,润滑条件起着决定性作用,这就是为什么一些研究也对其进行了数值模拟。基本上,滚子端面与挡边接触在几何形状和运动学方面不同于经典EHL点接触,因此,必须特别考虑几何副以及自旋摩擦的影响,Zhang等采用有限差分(FD)法和Gauss-Seidel迭代法研究了端面与挡边接触,以同时求解Reynolds方程和基于半空间理论的弹性方程。结果表明,流体动压膜的形成和叠加的弹性变形(弹性流体动力润滑,EHL)需同时考虑,仅考虑流体动力润滑(HL)理论是不够的。研究还表明,滚子和挡边的曲率对接触条件有显著影响。Wang等后来证实了滚子端面半径与挡边半径之比为0.6～0.8是有利的,其采用Patir和Cheng的流量系数模型以及其后Greenwood和Tripp的粗糙峰接触模型,将模拟研究扩展到包含由表面粗糙度产生的影响。Colin等研究了乏油EHL挡边与滚子端面接触,并指出了接触几何形状、载荷、转速和供油条件对油膜厚度和拖动性能的影响。类似地,Fujiwara等发现滚子端面半径与挡边半径之比略低于0.85的大比率对歪斜和油膜厚度方面有利。总之,为了确定具有低摩擦损耗和高承载能力的滚子端面半径与挡边半径之比,进行了一些研究工作。然而,这仅限于相对简单的几何副以及很少的参数研究。原则上,设计空间和现代制造可能性可提供更多的选择,可借助接触模拟工具以及数值机器学习和多目标优化算法进行评估。因此,本文旨在介绍一种具有复杂的运动和几何特征的EHL滚子端面与挡边接触的宏观几何参数的数值优化过程。1材料和方法Marian等已使用通用优化程序(图1)成功推导EHL接触的专用微观几何形状。基于描述滚子端面和挡边几何形状的几何参数,通过统计试验设计(DoE)对其进行采样,并通过EHL接触模拟预测其摩擦学行为。特别关注复杂的几何副和运动学建模,这超过了经典EHL点接触或线接触的大多数情况。对于所考虑的每种几何副,都生成一个数据库,在此基础上,通过元模型对关键目标变量(如摩擦因数(COF)、最大压力和最小油膜厚度)进行近似和优化。最后,通过EHL模拟再次验证了预测的最优解。整个过程针对每个几何副单独完成,最终比较各自的最优值,并得出通用的设计建议。第1.2—1.6节将对相关方面进行详述。然而,首先,本研究中考虑的圆锥滚子轴承的参数和性能、载荷工况、润滑剂均在第1.1节进行说明。图1整体优化方案和文章结构

1.1圆锥滚子轴承载荷工况、运动学和润滑研究在12kN的纯轴向载荷下内圈转速nI为1000r/min时的标准圆锥滚子轴承30207(图2a),得到每个滚子挡边处的载荷相等。对于材料,考虑滚动轴承钢(100Cr6)的典型值,弹性模量E为210GPa,泊松比ν为0.3。图2(a)圆锥滚子轴承的示意图;(b)滚子端面与挡边的相关几何参数;(c)滚子端面与挡边接触的速度矩阵图圆锥滚子轴承滚子端面与挡边接触的运动学(图2b)通过离散化速度矩阵来描述,并映射到图2c所示的EHL模拟的平面矩阵上(见第1.4节)。因此,在每个网格节点上计算了两接触体在x和y方向上的速度。假设外圈静止,每个滚子的转速可表示为(1)(2)这里,网格的横向尺寸(Xstart,Xend,Ystart,Yend)为Hertz宽度的8倍(见第1.4节),并在x方向(Nx)和y方向(Ny)上分别划分为1024个节点,这与EHL计算域相对应。节点之间的离散距离为(3)每个节点表示为x方向上以i为指数的列和y方向上以m为指数的行。因此,可推导出在网格中间的接触点到滚动体或套圈的旋转轴的距离da为(4)根据节点在x方向上的距离和列数得出角度γ,得到每个节点到旋转轴的距离d′a为(5)因此,每个节点与旋转轴相切的速度v由文献[24]确定为v(i,m)=2d′aπnI/W,(6)而向量在x和y方向上的分量为vx=v·cos

γ,vy=v·sin

γ。(7)因此,可确定内圈和滚动体在每个节点的速度分布。应注意的是,两者有不同的代数符号,前者的值比后者大。假设接触使用足量(完全浸没)的FVA3参考矿物油进行润滑。相应的性能见表1。根据Dowson和Higginson的模型以及Roelands公式,考虑了密度ρ和黏度η对压力p的影响分别为(8)(9)表1润滑剂性能值得注意的是,非Newton流变学(即流体的剪切稀化)通过Ree-Eyring方法进行建模为(10)

1.2滚子端面与挡边接触的几何形状滚子端面的几何形状可用端面半径rR和偏心距e来描述,挡边的特征是滚道/挡边角度β以及挡边半径rB,如图2b所示。接触点的位置是另一个约束。因此,接触点位于挡边高度的中间。半径和偏心距的变化产生挡边角度。通过表2所示的参数变化和限制,对球体、圆锥体和圆环体的配对原则可能性进行了评估。表2考虑几何副和参数范围以及试验点数根据这些参数,几何副被使用在EHL模拟中(见第1.4节)。在此之前需进一步处理,这是由Wirsching等引入的所谓PIMP方法的一部分。首先确定两接触体的相对位置及其在全局坐标系中的局部坐标系。在局部坐标系中,使用垂直于物体表面的位置向量和向量计算接触区位置。后者与前者的位置相同,方向相反。接着,在笛卡尔坐标系G中解析性描述了每个物体的几何形状。对于球体,定义为x2+y2+z2=r2,(11)对于圆锥体,定义为x2+y2-mz2=0,(12)对于圆环体,定义为(x2+y2+z2+R2-r2)2=4R2(x2+y2)。(13)向量和确定了每个物体的接触点和投影平面的位置和方向。光线跟踪方法将几何体投影到笛卡尔坐标系G中的投影平面上。(14)两投影平面平行且一致,接触点位于中心。通过转换上述方程,导出了定义两刚体到投影平面距离的函数。对于球体的情况,可写为(15)其中,t=0为接触点,两物体的2种几何形状由距离函数g1(x,y)和g2(x,y)描述,即g(x,y)=g1(x,y)-g2(x,y)。(16)最终生成了一个替代几何体,可等效地描述两刚体的接触。圆锥体的相应表达式可表示为gG(x,y):t=(17)圆环体的相应表达式可表示为(18)

1.3试验设计为了生成一个足够的数据库,以最小的计算工作量推断输入变量与目标变量之间的相关性,可采用统计DoE方法。这里采用了来自均匀分布测试场组被称作拉丁超立方抽样(LHS)的方法,因为其特别适用于生成广泛的近似模型或元模型(见第1.5节)。因此,试验点的划分方式是尽可能均匀地填充设计空间,并以很少的计算量提供几乎每个区域的信息。LHS单元通过从矩阵的每个单元中减去一个介于0与1之间的随机数来创建,该矩阵的列由数字{1,…,nf}随机排列组成,nf为输入因子的数量,然后将该值除以试验点数np。为此,利用MATLAB的统计和机器学习工具箱通过Maximin准则得到了关于试验点距离的LHS优化设计。nf=1的试验点数选为20,nf=2的试验点数选为50,nf=3的试验点数选为100,见表2。凹面几何副有附加约束,即挡边半径rB的绝对值必须大于滚子端面半径rR。因此,试验点数增加了一倍,并删除了约束之外的点。

1.4EHL接触模拟EHL数值模拟通常通过耦合求解润滑剂的流体力学与接触体的弹性变形来完成。为此,软件工具TELOS5.0用于与非Newton流变模型进行准静态、等温、润滑接触模拟。为了更好地调节和稳定方程组的解(下文简要介绍),将坐标x和y、油膜厚度h、流体动压p以及黏度η和密度ρ用Hertz接触宽度a′、两物体的Hertz接触趋近量c′、最大Hertz压力p0以及环境温度下的黏度η0和密度ρ0进行归一化为(19)由于几何形状与经典点接触有很大不同,因此采用直径为100mm的球在平面上配对的值来进行归一化。几何形状由油膜厚度方程描述,考虑到刚体距离H00和相应副G(X,Y)的近似未变形几何形状以及组合弹性变形等因素。(20)弹性接触的计算基于变分原理。这里,压力分布和实际接触区使绝对互补畸变能量最小化。采用Polonsky和Keer提出的迭代算法来求解此处描述的接触问题。这是基于共轭梯度法和快速Fourier变换而提供的稳定且有效的解。采用拟稳态Reynolds微分方程来考虑流体流动和流体动压的产生,即(21)这里,x和y方向上的总速度u1,2和v1,2映射出接触体的运动(见第1.1节)。根据Ree-Eyring的流变模型,考虑了非Newton效应。(22)此外,假设边界条件为P(X,Y)=0;∀(X,Y)∈dΩ,dΩ表示域边缘,(23)P(X,Y)≠0;∀(X,Y)∈Ω,Ω

表示运算空间中的所有点。(24)通过载荷平衡方程确保法向载荷F与流体动压之间的平衡为F=∬ΩP(X,Y)dXdY。(25)基于有限差分法和弹性半空间理论对整个方程组进行迭代求解,同时采用多重网格法和快速Fourier变换以及数值阻尼和稳定的松弛方法。域的离散化由64～2048个点的二进制系统逐步控制,计算域被选为矩形,横向尺寸为Hertz接触宽度a′的8倍。数值解法如图3所示,更多数值细节可参考文献[34-36]。在收敛计算后,COF为(26)图3TELOS的数值解法

1.5机器学习根据第1.3节介绍的DoE模拟结果,摩擦学行为可通过近似模型或元模型来描述。因此,可确定不同因素以几何参数的形式组合对目标变量(压力、油膜厚度、COF)的影响,并能以高效计算的方式进行优化。元模型是模拟结果的一种表示形式,可基于不同的方法。最基本的形式之一是多项式回归,其中未知函数由通常较低阶的多项式解近似。基于局部加权函数的一种具有局部特征的扩展方法是移动最小二乘(MLS)法。基函数通常使用线性或二次项。此外,Kriging模型(也称为高斯过程回归)是一种精确的替代模型,因为其可通过插值数据点和提供预测的置信区间来近似不同且复杂的响应函数。对各种方法的预测质量评估是元建模的核心内容。通过所谓的最优预测元模型(MOP)实现自动优化。由Most和Will提出的概念建立在基于决定系数(COD)和重要性系数(COI)的两步消除非重要变量的过程以及基于预测系数(COP)自动选择最合适的上述近似值的基础上。后者的优势在于其可自动缩放到0～1之间的值。例如COP为0.9对应新数据点的预测质量为90%。这里,初始数据集以70/30的比率被分成训练和测试数据,这样数据集内的响应范围显示出与整体数据集的一致性最大。MOP在OptiSlang8.1.0版软件中实现。

1.6优化为了基于MOP确定几何参数的全局最优解,可采用多种算法。基本上有基于梯度的方法、响应面方法(RSM)和受自然启发的方法,如粒子群优化(PSO)或进化/遗传算法(EA/GA)。后者在本研究范围内使用,因为其是优化未知问题的有效且灵活的方法,并且也在OptiSlang软件中实现。因此,在选择过程中利用潜在的进化原则模拟了用于优化问题的候选解种群。首先,根据优化目标对初始个体进行评估,优化目标定义了随后的配对选择和每个亲本产生的子代个体。通过对亲本个体特征的重组而产生新一代,并在环境选择下变异并整合到现有种群中,取代亲本个体。在每个循环后,通过检查最大迭代次数和定义代数的质量停滞形式出现与否来判断是否为终止条件。EA设置见表3。2结果在以下内容中,第2.1节为EHL模拟的样本结果,第2.2节为元建模结果,第2.3节为优化结果,第2.4节为验证结果。

2.1压力、油膜厚度和摩擦每个几何副(表4)靠近参数场中心的一个代表性参数集的计算压力和油膜厚度分布如图4a—图4l所示。滚动体和内圈的主要运动方向为x方向,因此流体主要流动方向为x方向。接触入口的压力增加,并在接触中心达到最大值,然后在接触出口再次下降。未观察到明显的Petrusevich峰值。相应地,接触中心呈弹性压扁,接触出口附近的油膜厚度小,呈马蹄形。在y方向,由于流速的变化,分布几乎是轴对称的,形状偏差很小。表3进化优化算法的相关边界条件表4图4所示的样本结果的代表性参数组合对于所有几何副,发现x方向上具有较长半轴的弹性变形接触区的椭圆度不同。对于球体/圆锥体副和圆环体/圆锥体副,这点不太明显,但对于球体/圆环体副和圆环体/圆环体副,这点非常明显。此外,不同几何副之间的压力最大值和油膜厚度存在显著差异,见表4。特别是由于弹性变形接触区较小,球体/圆锥体副和圆环体/圆锥体副的压力更大,而球体/圆环体副和圆环体/圆环体副则产生更大的油膜厚度。因此,观察到COF的差异。值得注意的是,球体/圆锥体副和圆环体/圆锥体副的COF较小,球体/圆环体副和圆环体/圆环体副的COF较大。图4接触区上典型的流体动压和油膜厚度分布(归一化值)。(a,b)球体/圆锥体;(c,d)圆环体/圆锥体;(e,f)球体/圆环体;(g,h)圆环体/圆环体;(i,j)球体/凹面圆环体;(k,l)圆环体/凹面圆环体

2.2滚子端面/挡边几何形状的影响以下将显示各种几何参数对摩擦的影响以及作为潜在磨损指标的油膜厚度和最大流体动压。补充材料中提供了LHS的EHL模拟结果,MOP的计算响应面如图5所示。图5由MOP得到的不同几何副的最大流体动压、最小油膜厚度和COF的响应面。(a-c)球体/圆锥体;(d-f)圆环体/圆锥体;(g-i)球体/圆环体;(j-l)圆环体/圆环体;(m-o)球体/凹面圆环体;(p-r)圆环体/凹面圆环体一般情况下,红色表示研究变量的值较高,蓝色表示研究变量的值较低(注:原文为彩色)。除了球体/圆锥体副外,最大流体动压和COF通过各向异性Kriging法最精确地近似,其中MLS用于压力和COF的线性回归。MLS还适用于球体/圆锥体副的最小油膜厚度。所有其他副的油膜厚度用线性回归表示。相应的COP见表5。表5图5所示的每个几何副的MOP的COP对于球体/圆锥体副(图5a—图5c),最大流体动压、最小油膜厚度和COF仅取决于作为单一几何变量的滚子端面半径rR。显然,半径越小,压力和COF越大,油膜厚度越小,反之亦然。对于圆环体/圆锥体副(图5d—图5f)、球体/凹面圆环体副(图5m—图5o)和圆环体/凹面圆环体副(图5p—图5r),也观察到了基本相同的行为。此外,滚子半径的偏心距e对计算结果的影响很小或没有影响(图5d—图5f、图5j—图5l、图5p—图5r),因为响应面在偏心距方向上几乎没有变化。此外,对于所有几何形状,半径rB和rR越大,最大压力越小,油膜厚度越大。然而,最小COF在所研究的参数场范围内得到,见图5i、图5l、图5o、图5r)。

2.3滚子端面/挡边几何形状的优化基于MOP响应面,通过EA进行多目标优化,以最小化COF值或最大化最小油膜厚度值。这产生了Pareto前沿,图6总结了优化目标(最小摩擦或最大油膜厚度)的极值。由此产生的最大压力、最小油膜厚度和COF如图6a—图6c所示。这2个目标都产生了矛盾的结果,因为最小摩擦力(图6c中的球体/圆锥体副和圆环体/圆锥体副)也会产生较小的油膜厚度(图6b中的球体/圆锥体副和圆环体/圆锥体副),而较大的油膜厚度也会导致较大的COF。流体动压表现出与最小油膜厚度相似的特性,油膜厚度越小,流体动压越大。圆环形挡边通常会产生较小的流体动压。因此,表6中的优化几何参数因目标而异。当以更大的最小油膜厚度为目标时,在所研究参数场的极值附近发现最优值(最大可能半径),而在摩擦力最小的情况下,对于圆环体/圆环体副、球体/凹面圆环体副和圆环体/凹面圆环体副,在滚子端面半径场和挡边半径的中间找到最优值。图6基于MOP/EA用不同的优化目标(使所有几何副的COF最小化以及油膜厚度最大化)得到的优化结果评估。(a)最大流体动压;(b)最小油膜厚度;(c)COF表6两物体不同副的最优几何参数:最小化COF和最大化最小油膜厚度2.4优化的滚子端面/挡边几何形状的验证最后,验证了基于MOP/EA的优化结果。因此,通过EHL接触模拟重新计算了由每个几何副(表6)的优化得到的参数组合。将最大流体动压、最小油膜厚度、COF与由MOP/EA得到的预测结果进行比较,见表7。因此,对于大多数变量和几何形状组合,预测值与EHL模拟值之间存在相当小的偏差。特别是对最小油膜厚度和COF进行了很好的预测,误差小于2%。只有最小化COF后的球体/圆环体副、圆环体/凹面圆环体副以及当最大化油膜厚度时的球体/圆环体副和圆环体/圆环体副的流体动压精度显示出较大的差异。表7与通过EHL模拟重新计算的值相比,基于MOP/EA得到的最大流体动压、最小油膜厚度和COF的优化结果的精度3讨论3.1几何形状对承载能力和摩擦的影响滚子端面与挡边接触的特点是载荷适中,滑动速度高。因此,压力和油膜厚度分布(图4)显示了在此类条件下运行的EHL接触的典型特征,并与文献[16-17]和[21]中报告的关于接触的其他研究相似。由于两物体之间的速度差异,根据各自的几何副,也有相当大的摩擦损耗(图5)。一般来说,较大的半径往往导致更大的接触区,因此也会产生更大的油膜厚度以及承载所需的较小压力。相应地,半径越大,承载能力越强,即对潜在的固体粗糙峰接触和磨损具有更好的保护作用。然而,这些并不一定导致COF减小,因为在更宽的接触区内有更多的流体被剪切。在这方面,研究结果与Korrenn的试验研究非常吻合。除了其他研究外,研究还表明,除了半径外,基本几何副在承载能力和摩擦损耗方面也对摩擦学性能产生了重大影响。这可归因于接触区的形状和大小以及速度分布的差异,这也得到了Jamison等的试验研究的证实。然而,在高承载能力与低摩擦损耗之间仍存在一定的权衡(图6b和图6c)。因此,具有大半径的球形或圆环形滚子端面与无曲率的锥形(圆锥形)挡边配对,在低摩擦损耗方面具有优势。然而,对于分离表面粗糙峰或承受更高载荷的较大油膜厚度,半径为分析参数范围中值的球形或圆环形滚子与圆环形挡边配对具有优势。与文献[16-17]类似,对于凹面几何副,有利的半径之比为0.8～0.9。然而,对于凸面几何副,有利的半径之比要大得多(约1～2)或者因一个接触体具有非弯曲表面而根本不可用,尤其是以最小摩擦为目标进行优化时更是如此。

3.2适用性和局限性在这一成果的范围内,研究了圆锥滚子轴承的润滑剂和纯轴向载荷工况。结论主要在这方面是有效的。边界条件的变化可能导致呈现结果的改变或转变。例如径向载荷导致载荷区形成,从而在轴承旋转一周期间,每个单独的滚子端面与挡边EHL接触产生可变的载荷和速度,这需要进行时间瞬态计算。此外,未进一步考虑次要的滚子端面与挡边接触的承载能力对主要的滚子与滚道接触行为的影响。为了得到有关摩擦学行为的额外定量预测精度,将允许与相应的试验数据进行比较,流变液行为的更详细表征以及模型的适用性可能至关重要。此外,对于大多数数值EHL研究而言,本次研究的底层模拟受某些假设(关于Reynolds方程的适用性、完全浸没条件、线弹性材料行为等)的影响,但可认为这些假设对所研究的接触符合要求。表面粗糙度和