第六章电路的暂态分析

第六章电路的暂态分析第1页，课件共40页，创作于2023年2月电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流的存在使电容继续放电。本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也就是电路的暂态过程。可见只要uC0，则放电过程就不能停止，但电阻的存在又不能使电流过大，直至电容电压uC=0为止。iuCR第2页，课件共40页，创作于2023年2月研究暂态电路的方法：一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定律。实验分析方法，将在实验课程中应用示波器等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规律。本章主要分析RC及RL一阶线性电路的暂态过程，电路的激励仅限于阶跃电压或矩形脉冲电压。重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常数。第3页，课件共40页，创作于2023年2月§6-1.换路定则u与i初始值的确定换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或电路参数的改变。都不能突变。不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能分别为和换路定则设t=0为换路瞬间，则t=0–和t=0+分别是换路前后的极限时刻。从t=0–到t=0+瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压不能突变。可表示为第4页，课件共40页，创作于2023年2月暂态过程的初始值由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值。初始值的确定，要依据换路定则及电路性质来分析，也受电路约束方程的制约。①换路前的瞬间，将电路视为稳态——电容开路、电感短路。②换路后的瞬间，将电容用定值电压uC(0–)或电感用iL(0–)定值电流代替。若电路无储能，则视电容C为短路，电感L为开路。③根据克希荷夫定律计算出其它电压及电流各量。第5页，课件共40页，创作于2023年2月例试确定如图电路在开关S闭合后的初始值。解设开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路：则t=0–时刻10mAiSiRiCiLuRuCuL2k

1k

2k

CLS第6页，课件共40页，创作于2023年2月例则t=0+时刻10mAiSiRiCiLuRuCuL2k

1k

2k

CLS第7页，课件共40页，创作于2023年2月例试确定如图电路在开关S断开后的初始值。6ViCi1i2uC4

2

C+–S在t=0–时刻在t=0+时刻6ViCi1i2uC4

2

C+–S解第8页，课件共40页，创作于2023年2月§6-2.RC电路的响应对暂态电路用经典的分析方法，就是根据激励计算电压和电流响应的时间函数，这是一种时域分析法。本节讨论一阶RC电路一、RC电路的零输入响应所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在电容元件的初始状态作用下所产生的响应。实际上也就是分析在电容元件放电过程中所产生响应的规律。URiuRuCC+–S21第9页，课件共40页，创作于2023年2月RC电路的一阶响应而此式是关于uC的一阶线性微分方程。可知其通解为在开关S由2掷向1时，RC回路电压方程为iURuRuCC+–S21其中A为积分常数(与初始值有关)第10页，课件共40页，创作于2023年2月对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，也可应用分离变量法求解。RC电路的一阶响应得第11页，课件共40页，创作于2023年2月时间常数=RC的意义在前面讨论中，知暂态过程的变化与RC乘积有关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为U0为电容换路瞬时的端电压，RC乘积具有时间的量纲，称为电路的时间常数。当t=RC时uC随时间的变化关系曲线如右图RC电路的一阶响应U0ut0

U0

e

第12页，课件共40页，创作于2023年2月RC电路的一阶响应很显然，从理论上讲，电路只有经过∞的时间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经过（3~5）τ时，就足可以认为达到稳定状态。第13页，课件共40页，创作于2023年2月RC电路的一阶响应τ的几何意义：次切线的截距U0ut0

U0

e

τ的计算：从C两端看进去的戴维南等效电阻。τ的实验求法：从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。第14页，课件共40页，创作于2023年2月RC电路的一阶响应RC电路的能量平衡关系第15页，课件共40页，创作于2023年2月已知S闭合前电路已处于稳定状态，R1=R2=50Ω，R3=100Ω，C=0.02F。试求在t=0时，S断开后的uC（t）和i3（t）例

解：t=0S+-24VUSR1R2R3C+uC-i3先求uC（0-）第16页，课件共40页，创作于2023年2月R1R2R3C+uC-i3tuCi0第17页，课件共40页，创作于2023年2月所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，uC(0–)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。三、RC电路的零状态响应电路(见右图)i

URuRuCC+–S初始值电路的激励u=0U(t<0)(t>0)ut0U阶跃激励第18页，课件共40页，创作于2023年2月电路方程其中i

URuRuCC+–S应用分离变量法可得在t≥0时，回路的电压方程为第19页，课件共40页，创作于2023年2月将上式积分，得整理后，有i

URuRuCC+–S考虑初始条件得则电容的暂态电压为第20页，课件共40页，创作于2023年2月RC=仍为电路的时间常数，当t=

时i

URuRuCC+–Sut0U

电容中的电流为第21页，课件共40页，创作于2023年2月三、RC电路的全响应全响应是指电源的激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时的电路响应。根据叠加原理，可认为是零输入响应与零状态响应的叠加。以如图电路为例，说明电路的响应规律。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t=0初始值的确定：在t=0时，第22页，课件共40页，创作于2023年2月电路的方程在t≥0时，+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t=0或整理后得或第23页，课件共40页，创作于2023年2月用分离变量法求所得方程分离变量后，有或积分后即得到通解第24页，课件共40页，创作于2023年2月确定积分常数得即第25页，课件共40页，创作于2023年2月上式右边分别为零输入响应和零状态响应。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t=0时间常数它等于电路在响应过程中，电容与其并联等效电阻之积。如图与电容并联的等效电阻为R1与R2并联。第26页，课件共40页，创作于2023年2月综上所述，计算线性电路暂态过程的步骤可归纳如下：对换路后的电路列微分方程；求解微分方程的通解，可用分离变量法或应用一阶线性微分方程的公式法进行求解；根据换路定则确定暂态过程的初始值；确定方程解的积分常数，根据电路理论进一步计算其它待求量。第27页，课件共40页，创作于2023年2月§6-3.一阶线性电路暂态分析的三要素法只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的电性电路，其电路方程都是一阶线性常系数微分方程。这种电路都是一阶线性电路。根据前面讨论，一阶RC线性电路的响应都可以看作是由稳态分量和暂态分量相加而得

(t)可以是电压或电流；

(

)是稳态分量；Ae-t/

是暂态分量。第28页，课件共40页，创作于2023年2月如讨论RC电路全响应时得到：其中及为时间常数则上式可改写为第29页，课件共40页，创作于2023年2月这就是三要素法求得的结果三要素法公式为在计算一阶线性电路中的任一暂态量时，只要求得该变量的f(0+)、f(∞)和电路的时间常数τ这三个“要素”，就可以根据公式写出该量的暂态响应。三要素法公式也可这样记忆：第30页，课件共40页，创作于2023年2月例试用三要素法写出图示曲线所示uC暂态响应。uC(V)t(s)306912-5-15-11.32解由图可知求时间常数：即所以第31页，课件共40页，创作于2023年2月§6-5.RL电路的响应电感也是储能元件。由RL构成的线性电路也是一阶线性电路，也具有暂态过程。与RC暂态电路一样，RL电路也具有零状态响应、零输入响应及全响应。RL电路的响应规律计算与RC电路响应一样，可用解析法求解微分方程或用三要素法进行分析。用三要素法进行分析时，需对欲求量的初值及稳态值的计算；要注意对时间常数τ的求解。第32页，课件共40页，创作于2023年2月以下根据例题说明RL一阶线性电路的分析过程。例计算如图换路后的电流iL。+–U1+–U2R1i2i1St=012VR2iL9V6

3

1HL解在t≥0时，S闭合考虑有第33页，课件共40页，创作于2023年2月令时间常数用分离变量法解方程+–U1+–U2R1i2i1St=012VR2iL9V6

3

1HL得考虑初始条件得即第34页，课件共40页，创作于2023年2月代入数据由此得+–U1+–U2R1i2i1St=012VR2iL9V6

3

1HL对于i1对于i2第35页，课件共40页，创作于2023年2月§6-4.微分电路与积分电路与6-2节讨论的暂态过程不同，本节从输入~输出的传输关系上讨论RC电路的特征规律。针对矩形脉冲激励，在不同的电路时间常数的情况下构成输出电压的微分或积分响应的关系。矩形脉冲对如图电路，在t=0时，将开关合到位置2上，在t=t1时，将开关合到位置1上，这样相当于RC电路得到矩形脉冲电压u1。URiuRuCC+–S21u0t1

tu1

U脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp。若有周期性则周期为T。第36页，课件共40页，创作于2023年2月一、微分电路设如图RC电路处于零状态，输入为矩形脉冲电压u1，在电阻R两端输出的电压为u1=u2。电压u2的波形与电路的时间常数τ和脉冲宽度tp有关。uCu1u2iRCu0t1

tu1

Utp当时，充电过程很慢，输出电压与输入电压差别不大，构成阻容电路。(这里暂不讨论)当时，充电过程很快，输出电压将变成尖脉冲，与输入电压近似成为微分关系。（见右侧图示）u0t1

tu1

U=0.1tp0tu2

u2

0=0.05tp

t0tu2

=10tp0tu2

=0.2tp第37页，课件共40页，创作于2023年2月从前面讨论可知，时间常数τ越小则脉冲越窄越尖。在t=0时，输入电压上升，变化率为正且很大,输出电压值很大。uCu1u2iRC在t=tp时，输入电压下降,变化率为负且很大，输出电压值为负值也很大。符合与输入电压的微分关系。根据电路可推导如下：u0t1

tu1

U=0.1tp0tu2

u2

0=0.05tp

t0tu2

=10tp0tu2

=0.2tp由于τ<<tp，除了充放电开始的极短瞬间外，有因而上式表明，u2与u1的微分近似成正比关系。RC微分电路具有两个要求：（1）τ<<tp(一般τ<0.2tp)；（2）从电阻两端输出电压。第38页，课件共40页，创作于2023年2月