湖南省湘潭市湘潭县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含答案解析）

2023年下学期八年级期末学业质量检测数学试卷（时量120分钟，总分120分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1.下列实数中，是无理数的是（）A. B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查无理数的识别，根据常见的无理数逐项验证即可得到答案，熟记无理数定义及常见形式是解决问题的关键．【详解】解：在四个数中，是无理数，故选：D．2.下列分式是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．【详解】解：A.，不是最简分式，不符合题意；B.，不是最简分式，不符合题意；C.，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；D.，不是最简分式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．3.《体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（）A.米 B.米 C.厘米 D.厘米【答案】D【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：依题意，故选：D4.下列长度的三条线段能围成三角形的是（）A.1、2、3 B.4、5、10 C.20、15、8 D.5、15、8【答案】C【解析】【分析】本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，根据三角形三边关系逐项验证即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．【详解】解：A、由于，由构成三角形的三边关系可知1、2、3不能围成三角形，不符合题意；B、由于，由构成三角形的三边关系可知4、5、10不能围成三角形，不符合题意；C、由构成三角形三边关系可知20、15、8能围成三角形，符合题意；D、由于，由构成三角形的三边关系可知5、15、8不能围成三角形，不符合题意；故选：C．5.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（）A.π﹣1 B.﹣π﹣1 C.﹣π+1 D.π﹣1或﹣π﹣1【答案】D【解析】【分析】先求出圆的周长为，从A滚动先向右运动再向左运动，运动的路程为圆的周长，需要分类讨论.【详解】解：圆的周长，当向右滚动时：设B点坐标为x，，，∴此时B点表示数为：．当向左运动时：，，∴B点表示的数为：．∴B点表示数为或．故选：D．【点睛】本题考查了数轴上两点之间线段长如何用坐标来表示，即：右边的数减左边的数；一元一次方程的应用，圆的周长公式及分类讨论．6.下列计算：①＝5；②＝±；③＝2；④(－)2＝3；⑤＝1.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】依据算术平方根、立方根、二次根式的性质进行判断即可．【详解】①＝5，①正确②＝-，②错误；③＝2，③正确；④(－)2＝3，④正确；⑤＝，⑤错误.故选:C.【点睛】此题考查算术平方根、立方根、二次根式，解题关键在于掌握算术平方根、立方根、二次根式的性质即可.7.下列命题中，错误的是（）A.三角形的外角和等于360° B.三角形两边之和大于第三边C.有两个60°的三角形是等边三角形 D.等腰三角形一边上的高和顶角平分线是同一条【答案】D【解析】【分析】本题考查命题，涉及命题定义及命题真假判定，命题由题设及结论构成，由三角形外角性质、三角形三边关系、等边三角形判定及等腰三角形性质逐项判定即可得到答案，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．【详解】解：A、三角形的外角和等于360°，是真命题，不符合题意；B、三角形两边之和大于第三边，是真命题，不符合题意；C、有两个60°的三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；D、等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线“三线合一”，等腰三角形一边上的高和顶角平分线是同一条，是假命题，符合题意；故选：D．8.观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照上述规律，计算：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．【详解】解：第个等式：，第个等式：，第个等式：，第个等式：，……第n个等式：，∴=，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，满分24分）9.如果代数式有意义，则x的取值范围______________________．【答案】x>1【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件，结合分母不为零的特点可得答案．【详解】解：由题意得：，故答案为：【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数，分母不为0是解题的关键．10.比较大小：_______（填“>”、“<”或“＝”）．【答案】>【解析】【详解】∵4<5，∴2<，∴−2>0，∴>0，∴.故答案为：>.11.已知，请写出一个实数a，使得．你所写的实数a是______．【答案】－2（答案不唯一）【解析】【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变，即可解答．【详解】解：∵x＜y，a＝﹣2时，∴﹣2x＞﹣2y，∴所写的实数a是﹣2，故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．12.等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为______．【答案】##35度【解析】【分析】本题考查求角度，涉及等腰三角形性质、邻补角、三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形性质，分两类讨论求解即可得到答案．【详解】解：当等腰三角形顶角的外角为，则内角为，；当等腰三角形底角的外角为，则内角为，由三角形内角和定理可知，，该情况不存在；故答案为：．13.如图，，，则的度数为______．【答案】【解析】【分析】由三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻的两内角的和可求．【详解】是的外角，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于不相邻的两内角的和，熟记定理是解题的关键．14.如图，，．请你添加一个条件：______使．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查添加条件得全等，涉及全等三角形的判定，由得到，再由，只需添加，即可利用即可得到答案．【详解】解：，，，，若添加，则利用两个三角形全等的判定定理即可得到，故答案为：（答案不唯一）．15.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝_____．【答案】12【解析】【分析】根据垂直平分线的性质进行求解即可【详解】EF是AB的垂直平分线，，,故答案为：12．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟记基本性质是解题关键．16.根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为________

【答案】【解析】【详解】根据题意可得：÷2-3=8÷2-3=4-3=1，

∵1＞0，再代入得1÷2-3=-．

故答案是：-．点睛：主要考查了实数的运算，解答此题的关键是理解程序，如果第一次输入不符合要求要再进行第二次输入．三、解答题（72分）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）原方程无解【解析】【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【小问1详解】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是原方程的解，原方程的解是；【小问2详解】解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，是增根，原方程无解．【点睛】本题考查了分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意检验．18.解不等式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式的解法是解决问题的关键．（1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集．【小问1详解】解：，去括号得，移项得，；【小问2详解】解：，去分母得，去括号得，移项得，．19计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，包括负整数整数幂，零指数幂，绝对值，二次根式的运算．（1）先分别求出有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再根据有理数的加减法计算即可；（2）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．20.如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）120°，证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件易得∠EAD=∠CAD，∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，从而可得∠B=∠C，进一步可得AB=AC，由此即可得到△ABC是等腰三角形；（2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，因此当∠BAC=60°，即∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形．【详解】解：（1）∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下：∵∠CAE=120°，∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．21.先化简，再求值：，其中在1，，中选一个你喜欢的数代入求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】本题考查分式化简求值，涉及异分母减法运算、通分、因式分解、约分及分式乘除运算等知识，先运用分式混合运算化简，再由分式有意义的条件选取值，代入求解即可得到答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键．【详解】解：，由分式有意义的条件可知，且，则当时，原式．22.如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案．【小问1详解】证明：，，在和中，，，；【小问2详解】解：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与与判定，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出是解此题的关键．23.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【答案】，作图见解析【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及不等式组解集的求解原则：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，逐个解一元一次不等式，最后利用不等式组解集的求法求解集，在数轴上表示解集即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及数轴表示法是解决问题的关键．【详解】解：由①；由②得；不等式组的解集为，在数轴上表示如下：．24.某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．有硬皮笔记本和软皮笔记本两种笔记本，硬皮笔记本比软皮笔记本贵3元．（1）小华发现用元购买硬皮笔记本与用元购买软皮笔记本的数量相同，求硬皮笔记本和软皮笔记本的单价．（2）若一共需要购买个笔记本，且购买奖品的钱不超过元，则最多购买硬皮笔记本多少个？【答案】（1）硬皮笔记本的单价为元，软皮笔记本的单价为元（2）最多购买硬皮笔记本个【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确分析题中的数量关系是解答本题的关键．（1）根据“硬皮笔记本数量=软皮笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设购买硬皮笔记本a本，由购买奖品的钱不超过元，可得，解一元一次不等式，即可得到答案．【小问1详解】解：设硬皮笔记本的单价为x元，则软皮笔记本的单价为元，根据题意得，解得，经检验，是原方程根，且符合题意，，故硬皮笔记本的单价为元，软皮笔记本的单价为元；【小问2详解】解：设购买硬皮笔记本a本，则购买软皮笔记本本，由题意可得，，解得，由于a取整数，所以最大为16；答：最多购买硬皮笔记本个．25.阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为；（2）解不等式：；（3）解不等式：．【答案】（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.【解析】【分析】（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可；（2）先求出的解，再求出的解集即可；（3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集.【详解】解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8∴方程的解为x=2或x=-8（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5∴方程的解为x=-1或x=5∴的解集为-1≤x≤5.（3）由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6∴满足方程的x的点在4的右边