高考数学第一轮复习第六讲函数的概念讲义（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第06讲函数的概念及其表示(精讲)

题型目录一览

①给出函数解析式求解定义域

②抽象函数定义域的求法

③函数值域的求法

④函数解析式的求法

⑤分段函数的应用

★【文末附录-函数的概念及其表示思维导图】

、知识点梳理

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则了,使得A中任意元素x,都有3中唯一确定的y与

之对应，那么从集合A到集合3的这个对应，叫做从集合A到集合8的一个函数.记作：x^y=f(x),xeA.

集合A叫做函数的定义域，记为O,集合｛)，|y=.f(x),xeA｝叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为y=f(x),xwD

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2.基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次幕或负指数次幕的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是｛x|xeR,且门6+千丘％｝；

(6)已知/(x)的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求/(X)的定义域，遵循两

点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J.下，括号内式子的范围相同；

(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1))，=履+%(/*0)的值域是R.

⑵y="+公+°(aH0)的值域是：当a>0时,值域为｛｝；当口<o时,值域为｛\>^c-b1.

而；”-yy]

(3)》=：(4二0)的值域是｛)，“力0｝.

(4)y=/(a>0且awl)的值域是(0,+8).

(5)y=log"X(a>0且的值域是R.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函

数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域

的并集.

二、题型分类精讲

一J

题型一给出函数解析式求解定义域

令策略方法已知函数的具体解析式求定义域的方法

⑴简单函数的定义域：若/(X)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各

基本初等函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函

数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

【典例1】求下列函数的定义域:

(l)/(x)=2+--；

X—Z

⑵，(X)=(XT)°+R|]

⑶/(X)=j3-xjx-l-

⑷〃力=空>后.

【答案】(l){x|xw2}.

⑵{x|x>-l且XH1}.

(3){x|l<x<3}.

(4){x|x<lfix^-1).

【分析】(1)根据分母不为0,列式可求出；

(2)根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0,列式可求出

(3)根据二次根式的被开方数大于等于0,列式可得出；

(4)根据分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0,即可求出定义域.

【详解】(D由题意知，X-2H0,即：x*2,所以这个函数的定义域为{x|xx2}.

x-1^0

(2)由题意知，，解得：X>_1且xwl,所以这个函数的定义域为{x|x>-l且x*l).

X+1

x+1/0

3-x>0

⑶由题意知，■解得:W3,所以这个函数的定义域为{刈4x43}.

x-l>09

x+1。0

(4)由题意知，■解得：x41且x片-1,所以这个函数定义域为卜,Q且xx-1}.

INO'

【题型训练】

一、单选题

1.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是()

A.f(x)=——j=^f(x)=x+42B./(x)=log3x2与f(x)=log3X

C.=与〃x)=xD.〃耳=((1)3与〃力=1

【答案】D

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数.

【详解】对于A,5三^,x手而f(x)=x+V^,xeR,二者定义域不相同，不是同一函数;

对于B,/(另=1。3炉，XHO,而〃x)=log/,犬>0,二者定义域不相同，不是同一函数；

对于C,/(力=而=凶，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；

对于D,4x)=y(x-l)3=x-l,xeR,二者定义域、对应法则均相同，是同一函数.

故选：D.

ln(x+l)

2.函数尸7K定义域为()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(1,2)D.(1,2]

【答案】A

fx+l>0

【分析】由“，八计算得解.

[4-厂>0

fx+1>0ln(x+l)

【详解】由彳，八得T<x<2,所以函数"定义域为(-1,2).

[4-x2>0A/4-X2

故选：A.

二、填空题

3"函数)'=两匕的定义域是---------.

【答案】(L+8)

【分析】根据题意可得出》所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.

\2x-\>01

【详解】由题意可得,(、n.n，解得且XH1.

[log5(2x-1)^02

因此'函数=隔，(1二1)的定义域是(；，i)(i，+°°)・

故答案为：七,110，+8).

4.函数y=lgsinx+Jg-cosx的定义域是.

【答案】2E+],2fat+兀)(AeZ)

【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可.

sinx>0

【详解】要使函数有意义，需1八

12

2E<x<兀+2kli,keZ

解得：,兀ci/,571c77f

—F2kiiWxW—+2kn,keZ

133

Tl

即2E+—<x<2kn+Tt,keZ

故答案为：2E+',2E+j(kwZ)

三、解答题

5.求下列函数的定义域:

⑵f(x)=G

x-1

【答案】(D(x|x#4｝；(2)R；(3)｛x|xxl,且XH2｝；(4)｛x|x44且xkl)

【解析】(D根据分式中的分母为不为零直接求解即可；

(2)根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；

(3)根据分式中的分母为不为零直接求解即可；

(4)根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可

【详解】解：⑴x-4#0,

：.x^4,定义域为｛X|XN4｝；

(2)不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；

(3),^-3x+2^0,

且xw2,定义域为｛xlxRl,且"2｝；

’4一厨，[%4

(4).,八=><,=>X，4且xwL

x-l*O[xxl

.•.定义域为｛x|x44且xxl｝.

【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.

(I)求M

(2)当xwM时，求/(x)=e2-2+3x4*(4>—3)的最小值.

【答案】(1)(2)/Wmi„=4：3

——a2(-3<a<——)

34

【分析】(D根据被开方数大于等于零、分式分母不为零、对数的真数大于零求解定义域；(2)将f(x)看

成是关于2,的二次函数，根据2'的范围讨论。的范围来确定最小值.

—>OKx^l

【详解】解：(1)•.•由题意可得1-X

3—4x+f>0

可解得

7/74

(2)Jf(x)=〃•2V+2+3x4%=3(2X+y)2--a2

又一K2'<2,ci>—3,

2

•_网<2

3

①若-学44，即时，./'(x)mi„=/(-l)=2a+?,

3244

②若g<-g<2,即时，

所以当2'=-|a即X=log2(-y)时，/(X)*=-#

33

2a+-(a>——)

4

fMmin=-44

——a2(-3<a<——)

34

【点睛】(1)常见的定义域问题中会涉及：分式分母不为零、对数真数大于零、根号下数大于等于零、tanx

TT

中工工左乃十耳,左£2等；

(2)对于形如/。)=〃2、+从优+C形式的函数，可将其转化为二次函数的形式，然后完成问题的求解.

题型二抽象函数定义域的求法

畲策略方法抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由“空(x)助求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,h],则/(x)的定义域为g(x)在xW[a,历时的值域.

提醒：明确定义域是自变量"x”的取值范围.

【典例1]求下列函数的定义域：

(1)已知函数/(x)的定义域为[1,2],求函数y=/(2x+l)的定义域；

(2)己知函数y=/(2x+l)的定义域[1,2],求函数/(x)的定义域；

(3)已知函数y=/(2x+l)的定义域口，21,求函数y=/(2x-D的定义域.

【答案】(l)[0,y]

⑵[3,5)

(3)[2,3]

【分析】⑴由〃x)的定义域可得左+1V2,求出x的取值集合即可得出/(2x+l)的定义域；⑵由/(2x+l)

的定义域可得14X42,求出2x+l的取值集合即可得出f(x)的定义域;(3)由/(2x+1)的定义域可得14x42,

求出2x+l的取值集合即可得出/(x)的定义域，进而得出2x-l的取值集合，再求出x的取值集合即可；

⑴设2x+l=f,由于函数y=/Q)定义域为[1,2],

故1W2,BPl<2x+l<2,解得04x4工，

2

所以函数y=/(2x+D的定义域为[0,i-j；

⑵设2x+l=r,因为1MXW2,

所以3V2A+1V5,即34f45,函数V=/⑺的定义域为[3,5],

由此得函数y=/(x)的定义域为[3,5]：

(3)因为函数y=/(2x+l)的定义域为“，2],即14xW2,

所以3V2x+lV5,所以函数y=f(x)的定义域为[3,5],

由3V2x-lV5,得24x43,

所以函数N=/(2X-1)的定义域为[2,3].

【题型训练】

一、单选题

1.若函数/(x)的定义域为[0,4],则函数g(x)=〃x+2)的定义域为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函数f(x)的定义域，可得OWx+244,求出x的范围，即可得到函数g(x)的定义域.

【详解】因为函数“X)的定义域为[0,4],

所以OWx+244,解得-24x42,

所以函数g(x)="X+2)的定义域为[-2,2].

故选：A.

2.已知函数y=/(x+l)的定义域为[1,2],则函数y=/(2x—l)的定义域为()

A.-JB.1,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•••函数V=/(x+l)的定义域为[L2],即14x42,可得24X+Q3,

.•・函数丁=〃*)的定义域为[2,3],

3

令242143,解得万6<2,

「3~

故函数y=/(2x—1)的定义域为1,2.

故选：B.

3.函数/(X)的定义域为[-2,4],则丫=/①的定义域为()

X-]

A.(1,8]B.H，1)^(1,8]

C.(1,2]D.[-1,1)0(1,2]

【答案】D

【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.

f-2<2x<4,

【详解】解：由题意得,八

解得-U42且xwl.

故选：D

二、填空题

4.若已知函数/(4x-l)的定义域为[0,何，则可求得函数/(2x-l)的定义域为[0,2]；问实数的值为

【答案】1

【分析】分别求得4x-l和2x7的取值范围，由这两个范围相同可得，"值.

【详解】函数.f(4x-l)中，0<x</n=>-l<4x—\<4m-\9

函数/(2D中，0KxK2=-lK2K3,

所以4帆-1=3,zn=1.

故答案为：1.

5.己知函数/(x+1)的定义域为1-2,3],则函数+的定义域_

【答案】卜腔彳或xj}

【分析】根据函数〃x+1)的定义域关系转化求解T<-+1<4即可得解.

X

【详解】已知函数/(X+1)的定义域为[-2,3],

所以函数F3的定义域为[-L4],

在函数+中，-14^+144,

-2<-<3

X

所以或xzg

所以函数/\+的定义域：卜或

故答案为：或

三、解答题

6.已知函数/(l-2x)的定义域为4=1,1.

⑴求“X)的定义域8;

(2)对于(1)中的集合B,若HxeB,使得a>/-x+l成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)8=卜1,0]

⑵。,内)

【分析】(D由复合函数的定义域定义求解，即由已知x的范围求得l-2x的取值范围；

(2)求出炉-x+l在xeB时的最小值即得.

【详解】(D/(1-2到的定义域为4=1,1,

.•.gd41—2x40,则8=[-1,0].

(2)令g(x)=f-使得-x+1成立，即〃大于g(x)在[-1，。]上的最小值,

因为g(x)=+%g⑺在[T0]上的最小值为g⑼=1,

二实数。的取值范围为。,内).

7.已知函数f(x)=2'的定义域是[0,3],设g(x)=〃2x)—/(x+2),

(1)求g(x)的定义域；

⑵求函数g(x)的最大值和最小值.

【答案】⑴[0』

⑵最大值为-3,最小值为Y

【分析】(D根据/(对的定义域列出不等式即可求出；

(2)可得g(x)=(2*-2)2-4,即可求出最值.

【详解】⑴〃x)=2'的定义域是[0,3],g(x)"(2x)―〃x+2),

因为的定义域是[0,3],所以臂解得渊1.

[(版W+23

于是g(x)的定义域为[0,1].

(2)设g(x)=(2,丫-4X2,=(2,-2『-4.

因为xe[0,l],即2'e[l,2],所以当2*=2时,即x=l时，

g(x)取得最小值，值为T；

当2”=1时，即x=0时，g(x)取得最大值，值为-3.

题型三函数值域的求宏

令策略方法函数宿城的求法主要有而沅而一

(1)观察法:根据最基本函数值域(如VK),优＞0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，

凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法：对于形如，=以?+法+c(〃H0)的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结

合二次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

(5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y=+0+的值城，可通过换元将

原函数转化为二次型函数.

(6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

(7)判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值

域，一般地，形如后获17或的函数值域问题可运用判别式法(注

ax+ex+f

意X的取值范围必须为实数集R).

(8)单调性法：先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对于形如

y=ylax+b+^/cx+d或y=ax+b+^/cx+d的函数，当ac>0时可利用单调性法.

【典例1]试求下列函数的值域.

(l)/(x)=(x-l)2+l,xe{-1,0,1,2,3)

⑵/(力=%2-2x+2

⑶〃x)=J

(4)y=x-Jx+1

【答案】⑴定义域为{TO1，2,3},值域为{1,2,5}.

⑵定义域为R,值域为1,内)

⑶定义域为{xlxwl},值域(—,5)"5,+8).

-1，+8).

⑷定义域是{xlxN-1},值域

【分析】(D定义域已知，代入计算得到值域.

(2)变换〃X)=(X-1)2+1N1,得到答案.

(3)确定定义域，变换/(刈=5+3,得到值域.

X-1

(4)设r=yrr,y=*_]T=(一小二%计算得到定义域和值域.

【详解】(1)函数的定义域为卜1，0，1，2,3},则/(_l)=(_l_iy+i=5,

同理可得〃o)=2,/(1)=1,/⑵=2,/⑶=5,所以函数的值域为{1,2,5}.

(2)函数的定义域为R,因为/(x)=f-2X+2=(X-1)2+1N1,所以函数的值域为口,内).

(3)函数的定义域为"lx"},因为〃力笔=5X-5：9=5+\

所以函数的值域为(—5)=(5,+8).

(4)要使函数有意义，需满足X+1N0,即xN-1,故函数的定义域是{x|xN-l}.

设r=«7T,JUOx=r2-l(r>0),于是y=-_i_=5

4

又，2所以所以函数的值域为仔+8

【题型训练】

一、解答题

1.求下列函数的值域:

(l)y=2r+l；

(2)y=x2—4x+6,xG[l,5)；

c、3x-\

(3)y=―-

X+1

(4)y=x+Vx.

【答案】⑴R；

⑵[2,11)；

(3){y|y#}；

(4)[0,+a>).

【分析】(1)根据一次函数的图像性质即可求其值域;

⑵作二次函数在口，5)之间的图像，数形结合即可求其值域;

(3)函数解析式分离常数法即可求其值域;

(4)利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.

(1)因为xCR,所以2x+16R,即函数的值域为R.

(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为x=[l,5),如图所示:

y

所以所求函数的值域为[2,11).

(3)借助反比例函数的特征求.

3(X+1)-4=3_^

x+\x+lv7

4

显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|yH3}.

x+l

(4)设〃=«(xNO),则x=u2(uN0),y="2+"=(u+g)-^-(M>0),

由uK),可知(u+；)>~,所以yK1.

所以函数y=x+-Jx的值域为[0,+s).

二、单选题

2.函数/(x)=>3x—2,xe{l,3,5},则/(x)的值域是()

A.[1,五布}B.[0,+8]C.[I*]D.R

【答案】A

【分析】由函数值域定义可得答案.

【详解】由题意得：f（1）=1,/（3）=",/（5）=而.

故〃》）的值域是［1，曰,布｝.

故选：A.

-x,x<0

3.下列四个函数：①y=3-x；②y」；③y=V+2x-10；@y=\1八.其中定义域与值域相同

x——,x>0

.x

的函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.

【详解】①y=3-X的定义域和值域均为R,

②了二』,定义域为｛xeRIxH。｝,••.值域为｛yeRlywO｝,定义域与值域相同；

X

③y=f+2x-10=（x+l）2-ll的定义域为R,值域为3”-11｝,

定义域与值域不相同；

-x,x<0

@y=1c的定义域为R,当XMO时，y=rZ0；

——,x>0

、x

当x>0时，y=--<0,则函数值域为R,故函数定义域与值域相同，

X

所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个.

故选：C.

4.下列函数中，值域是（0,+。。）的是（）

cx+2

A.y=y/x2-2x4-1B.y—，光£（0,+OO）

x+1

21

CD.)'一|11

-)\+2x+I…Nk+i|

【答案】D

【分析】根据函数的性质分别进行判断即可.

【详解】对选项A：y=VX2-2X+1=7（x-l）2=|x-l|>0,即函数的值域为［0,+少），错误;

对选项B：)，=当=与F=1+W，则函数在(o,+8)上为减函数，则i<y<2,即函数的值域为(1,2),

错误；

2

对选项C：函数的定义域为N,函数的y=2；,,xeN值域不连续，错误；

x+2x+\

对选项D：>=向>°，函数的值域为(。,也).

故选:D

三、多选题

4Y+1

5.已知函数/(刈="一，则().

A.〃x)的值域是{#X4}B.“X)的定义域为x*2

C./(2026)+/(-2022)=8D./(2023)+/(-2019)=8

【答案】ACD

【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到f(x)的对称中心，即可判断C、D正误.

【详解】由/。)=返二芋=4+—二，则定义域为{x|xx2},值域为{y|y/4},

x-2x-2

所以(2,4)是/*)的对称中心，则八2026)+/(-2022)=/(2023)+/(-2019)=8,

综上，A、C、D正确，B错误.

故选：ACD

6.下列函数最小值为2的是()

A.y=x2+4x+6B.y=x+—

x

C.y=2*+(D.y=|lnr|+2

【答案】ACD

【分析】利用配方法判断A,利用对勾函数的性质判断B,利用均值不等式判断C,利用对数函数的值域

判断D.

【详解】y=x2+4x+6=(x+2)2+2>2,最小值为2,选项A正确；

当x<0时，y=x+,<0,无最小值，选项B错误；

x

y=2'+^=2^2'~=2,当且仅当2'=/，即x=0时取得最小值2,选项C正确；

InxGR,所以|lnRN。，y=|lnx|+2>2,当x=l时取得最小值2,选项D正确.故选：ACD

四、填空题

7.函数=的值域为.（结果用区间表示）

【答案】

【分析】XG[-1,1],则d+ie[i,2],得至|」/@）=",*€卜1,1]的值域.

【详解】xe[-l,l],贝ljx2+le[l,2],故"》）=*/€卜1,1]的值域为.故答案为：

9Y2—1

8.函数y=的值域为.

X+1

【答案】[-1,2）

【分析】应用分离常量法求函数值域即可.

【详解】由y=2（>jD-3=2一/又d+izi,则0<e43,所以ye[-l,2）.

x2+\x2+lX-+1

故答案为：[-1,2）

题型四函数解析式的求法

至策略方法函数解析式的常见求法

待一醋巨而由薮而亲至百拓蒜系薮京.....'：

国，I」巨曲蒙吝菌薮7（/；万一的樨标芟;行甫拗

।换兀'|一沃法，此时要注意新元的取值范围;

两巨如秦库巨方0（丁河蒋元川

配示法|一：改写成关于g（%）的表达式，然后以％替代:

屹（％）,便得了（%）的解析式

:已知/（%）与/（千）或/（-%）之间的关系

消去（方

一?式，可根据已知条件再构造出另外一个等

程组）法

，式组成方程组，通过解方程组求出/（%）

【典例1]⑴已知/（X）是一次函数，且满足3/（X+1）—/（X）=2X+9,求/（X）的解析式.

(2)若对任意实数x,均有/")—2/(—x)=9x+2,求“X)的解析式.

【答案】(D/(x)=x+3；(2)/(x)=3x-2.

【分析】(D设〃司="+①利用待定系数法求解即可；

(2)构造关于/(X)J(T)方程组求解即可.

【详解】(1)因为“X)是一次函数，所以设1(%)="+8,%工0,

又因为3〃X+1)-/(X)=2X+9,

所以3,(x+l)+可-(依+b)=2x+9,整理得2fcv+3A'+2b=2x+9,

⑵1=2,\k=\

故Q,解得,“

[3K+2b=9[b=3

所以〃x)=x+3.

(2)因为〃x)-2〃-x)=9x+2①，

^flU/(-x)-2/(x)=-9x+2(2),

由①+2x②得：-3〃x)=-9x+6,

解得：〃x)=3x-2.

【典例2】(1)已知/(x+l)=2x—3,求〃x)的解析式；

(2)已知/(力+3/(-力=/+/一2》，求〃x)的解析式.

32

【答案】(1)/(x)=2x-5；(2)f(x)=~x+^x+x

【分析】(D应用换元法求函数解析式；

(2)构造方程组并作差求函数解析式.

【详解】(1)令t=x+l,贝!=f—故/⑺=2«-1)-3=2，-5,

所以f(x)=2x-5；

(2)由题设/(-*)+3/(1)=-丁+/+2初，结合/(》)+3/(司=/+'2一2%②,

3x①-②得：8/(x)=-4x3+2x2+8x,故/'(x)=+x.

【题型训练】

一、单选题

1.已知函数“X)满足〃2X+1)=4X2-6X+5,则〃X)=()

A./(x)=+5x+9B.=f+5x-9

C./(x)=x2-5x+9D./(x)=x2-5x-9

【答案】C

【分析】利用换元法求解即可.

【详解】因为/(2x+l)=4--6x+5,xeR,

令f=2x+l,则x=g(r-l),/GR,

所以/(,)=4xl(z-l)2-6xl(/-i)+5=z2-2z+l-3r+3+5=r2-5r+9,

故/(X)=X2_5X+9.

故选：C.

2.一次函数满足〃1)+〃2)=〃3),且“2)/(3)=/⑷，则”X)的解析式为()

23

A./(x)=-xB.f[x)=-xC./(x)=x+lD./(.r)=-2x+l

【答案】A

【分析】由题意，设/(力=打+》，(b0).根据〃1)+〃2)=〃3),且〃2)/(3)=〃4),利用待定系数法

求解即可.

【详解】由题意，设/(乃=四+必办0).

•••/0)+/(2)=/(3),

即k+b+2k+b=3k+b,

可得：Z?=0.

又•.•/(2)/(3)=/(4)

即2kx3k=4k

••./(x)的解析式为"x)=(x.

故选：A.

3.已知定义在R上的单调函数〃x),其值域也是R,并且对于任意的x,"R,都有/卬3)=孙，则

|/(2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【分析】根据给定条件可得“存在)beR，使得/(%)=1"，再利用给定函数关系式，求出解析式即可计算

作答.

【详解】由于“X)在R上单调，且值域为R,则必存在%eR,使得/(%)=1,

令y=%得,/(¥(%))=孙)，即f(*)=%x,

于是Vx,yeR,/(#(y))=f(xyoy)=y0(xyoy)=y1xy=xy,则%=±1,

从而/(x)=±x,<|/(2022)|=2022.

故选：D

4.设/(x)是定义域为R的单调函数，且〃〃x)-3x)=4,则()

A./(-1)=-1B./(0)=1C./(1)=2D./(2)=3

【答案】B

【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值.

【详解】令f=/(x)-3x,则/⑺=4,

因为f(0是定义域为R的单调函数，

所以t为常数，即"x)=3x+f,

所以.f(f)=4f=4,解得f=l,

所以〃x)=3x+l,

故/(0)=1，〃-1)=一2,/(1)=4,/(2)=7.

故选：B

二、填空题

5.已知函数/(x-l)=f-4x,贝ij/(2x+l)=.

【答案】4X2-4

【分析】利用换元法求得/⑺=产-〃-3,即可求得答案.

【详解】令f=x-lJeR,，x=，+l,故由/(x-1)=x?-4x,

可得f⑴=(f+l)2_4(f+l)=*_2T,

所以f(2x+l)=(2x+l)2-2(2x+l)-3=4d-4.

故答案为：4X2-4

6.己知/=[+则/(x)的值域为.

【答案】(1,内)

【分析】先求出/(x)=(x—iy+l(x*l),再结合二次函数的性质即可得出值域.

Y4-1

【详解】解：令/=灯，则f=l+±*l,所以

XXX

所以

故"X)的解析式为/(x)=(x-l)2+l(xwl)，其值域为(1,例).

故答案为：(l,y).

7.设定义在(0,+8)上的函数g(x)满足g(x)=24-g(j-1,则g(x)=一

【答案】|4+g(x>0)

【分析】利用方程组法求函数解析式，将X换成,，两式联立即可求解.

X

【详解】因为定义在(。,+8)上的函数g(x)满足g(x)=2«

将X换成:可得：将其代入上式可得:

g(x)=2Gg(/卜1=2>/x-[--j=-g(x)-1]-1=4g(x)—2\[x—\

所以g(x)='|«+g(x>0),

故答案为：-y/x+-(x>0).

三、解答题

8.在①/(2x-3)=4d-6x,@f(x)+2f(-x)=3x2-3x,③对任意实数x,y,均有

f(x+y)=2/(y)+，+2砂-V+3》_3y这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.已知函数fM满

足，求/(X)的解析式.

【答案】f(x)=x2+3x.

【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式；

选②，利用方程法即可求出函数的解析式；

选③，利用赋值法即可求出函数的解析式.

【详解】选①，令f=2x—3,贝=

因为/(2工-3)=4/一6x,

所以")=4x(苧2_6x宇

="+67+9-3/-9,

=?+3/，

BP/(x)=x24-3X.

选②，fM+2/(-x)=3x2-3x,(1)

所以/(-x)+2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x,(2)

(2)X2-(1)^3/(X)=3X2+9X,

即f(x)=x2+3x.

选③，令x=y=O,

贝！]/(0)=2/(0),即"0)=0,

令y=°,则/(%)=2/(0)+炉+3%=X2+3天,

所以/(X)=X2+3X.

9.求下列函数的解析式

⑴若/1+[=/+:，求“X)的表达式.

⑵已知3/(x)+2"—x)=x+3,求“X)的表达式.

⑶已知/(x)是二次函数,且满足〃0)=lJ(x+l)-/(x)=2x,求“X).

【答案】⑴〃勾=*2-2(xM-2或X22)

3

⑵〃x)=x+g

⑶.f(x)=x2-X+l

【详解】(D解：令f=_r+L当x>0时，贝1=x+，22、]工=2,当且仅当x=l时取等号，

xxVx

当x<0时，t=x+-=-(-x)+—<-2.(-X)--=-2,当且仅当x=-l时取等号，

x[_-xjV-x

所以，区-2或也2,

且Y+J=(x+Jj_2=r_2,所以，/(/)=/-2,其中Y-2或d2,

因此，/(x)=x2-2(xM-2或xN2).

解：由已知条件可得A["；2m="+3解得〃x)=x+：.

[3f(-x)+2f(x)=-x+35

(3)解:由题知〃x)是二次函数，

不妨设/(犬)=加+法+。,"0,

因为7•(O)=l"(x+l)-〃x)=2x,

=++/>(%+l)+c-(ax2+bx+c}=2x,

即2ax+a+b=2x,

济/2a=2

故有|a+b=O，

解得:a=l力=-l,

故/(x)=f-x+l；

题型五分段函数的应用

^^策略方法

1.分段函数求值的策略

⑴求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的

解析式求值.

(2)当出现/(/(a))的形式时，应从内到外依次求值.

⑶当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点.

2.求参数或自变量的值

解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变

量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.

3.分段函数与不等式问题

解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.如果分段函

数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解.

⑴求，(2)J(/(—3))

⑵若/3)=。+6,求实数々的值

【答案】⑴八2)=3J(/(-3))=5

(2)a=-3或〃=7

【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可；

(2)分情况讨论，代入求解,再验证后得出实数。的值

【详解】⑴/(2)=3,/(/(-3))=/(3)=5

(2)若〃〉0,贝由f(a)=a+6得2々-1=0+6,解得a=7＞0

若。＜0,贝()/(«)="+2a,由/(。)=。+6得。2+2。=4+6,

解得〃=-3或。=2,由于。＜0,。=-3

综上。=-3或。=7

【题型训练】

2片,(“<2),

1.设〃©=则1/V(2))=(

log,(A-2-l),(x>2),

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式，先求/&),再求/(/(2))即可.

【详解】由已知"2)=k)g3(22—l)=l,

.••/(/(2))=/(l)=2e,-'=2.

故选：C.

2Xx<\

2.函数/（*）="\.,,则f（5）的值为（）

J1

A.gB.2C.32D.专

【答案】B

【分析】根据函数解析式可得.f（5）=.f（l）.

【详解】/（5）=/（3）=/（1）=2'=2.

故选：B.

x2+\,x<l

3.已知函数/（x）=，若,f（4）=10,则实数。的值是（)

2x,x>1

A.-3或5B.3或一3C.5D.3或-3或5

【答案】A

【分析】根据函数解析式，分别讨论a<1,两种情况，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】若avl,则〃。）="+i=io,・・.〃=_3（々=3舍去），

若则“〃）=2〃=10,工〃=5,

综上可得，。=5或々=一3.

故选：A.

-x2-ar-5,x<1

4.已知函数是R上的增函数，则。的取值范围是（）

一，x>1

A.[-3,0）B.（e,-2]

C.（-0）D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.

【详解】函数f（x）是R上的增函数，则Ax）在（―内上单调递增，故-殳1=>。4-2,

此时满足函数f（x）在（1,内）上也是单调递增;

最后，只需在x=l处满足-F-a-5WanaN-3,

综上：”的取值范围是[-3,-2].

故选：D

二、多选题

5.已知函数"X)=[：3：,T关于函数/(x)的结论正确的是()

A.〃x)的定义域为R