第一单元至第八单元滚动测试卷（基础卷）（解析版）-2024年新高考数学一轮复习

第一单元至第八单元滚动测试卷（基础卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

2

1.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）已知集合4={1,2,3,4},B={xeN|x-x-6<o},

则4B=（）

A.{152}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{1,2,3,4)

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合8,再根据交集的运算即可求出.

【详解】因为B={xGN|x2-x-640}={xeN|-24x43}={0,l,2,3},而A={1,2,3,4},

所以48={1,2,3}.

故选：B.

2.（2023•福建宁德•校考二模）已知非零复数z满足z<2+2i）=|zf,则z的共辗复数是（）

A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i

【答案】A

【分析】设复数z=a+bi（“,beR）,代入z-（2+2i）=|zf中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出。涉,

从而可求出复数z,进而可求出z的共轨复数

【详解】设复数z=a+砥eR）,由z-（2+2i）=|zf,得

（a+biX2+2i）=/+〃，化简得（2〃一2份+（2〃+2。>=/+。2,

”,\2a-2b=a2+b2缶=。人,„[a=2

所以】。ozn'解得，n（舍去），或1»

[2a+2b=0匕=0[b=-2

所以z=2-2i,则$=2+2i，

故选：A

3.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）设点P（x,y）满足or+外+c=0,则"6=2a"是

"k+2y+2|+|x+2y-l|为定值"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据儿何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.

[x+2y+21|x+2y-1|

【详解】若|x+2y+2Mx+2y-1卜拓为定值,

即点P（x,y）到直线x+2y+2=0,x+2y-l=o两条直线距离之和为定值,

显然，这两条直线平行，如图,

所以当点P（x,y）在与这两条直线平行的直线上时,此时直线ar+勿+c=0满足必w0且〃=2a,

即Z?=2a,且awO,b*O,k+2y+2|+|x+2y-l|为定值,

所以"b=2a"是"|x+2y+2|+|x+2y-l|为定值"的必要不充分条件.

故选：B

4.（2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测）已知向量a=（3,4）,b=（f,l）,且cos（a,6）=（,则1=

（）

A.---B.—C.0或竺D.0或一2

242477

【答案】C

【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解.

【详解】由向量。=（3,4）力=&1）,可得同=5,忖=历1,

a，b3/+44

H=丽=许r于解得『=。或2半4

故选：C.

5.（2023春・江西九江•高二江西省湖口中学校考期末）在等差数列｛%｝中，生=1，4=5,则〃8=（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】C

【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,贝U24=4-%=4,

则必=%+6。=1+3x4=13

故选：C

6.（2023・四川遂宁•射洪中学校考模拟预测）已知双曲线C:工-2=1的右焦点为尸，点A（0,M,若直线AF

412

与C只有一个交点，则加=（）

A.±2B.±4有C.±2^3D.±4

【答案】B

【分析】根据题意分析可得直线所与渐近线平行，结合平行关系运算求解.

【详解】双曲线C,q=l可得a=2,b=2«,c=77寿=4,

所以双曲线的渐近线方程为＞=±&，右焦点为尸（4,0）,

因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与双曲线的渐近线平行,

所以&「=篝=±&，解得/=±46-

()—4

故选：B.

的图象大致为（）

【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC,再比较出/（2）＜/（3）,排除B,得到正确答案.

【详解】由题知，“X）的定义域为{xeR|x=O},因为x）=匚土《=

-X

回“X）是奇函数，排除A,C,

2.-23-3

因为/（2）=1e^e-</（3）=失e+e_,排除D.

故选：B.

8.（2023•四川成都•石室中学校考三模）已知抛物线后：丁=8》的焦点为尸，点尸与点C关于原点对称，过

点C的直线/与抛物线E交于A,8两点（点C和点4在点B的两侧），则下列命题中正确的有

①若所为ACF的中线，则IA尸|=2|8尸|；②若B尸为N4FC的平分线，则|A尸|=8；

③存在直线/，使得|AC|=&|AF|；④对于任意直线/,都有|AF|+|B/q>2|CF|.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】设直线/：》=外-2,8（电,方）都在第一象限，如图，联立抛物线方程，利用韦达定理

表示％+必、%%、%+超、2.根据中线的性质可得必=年，求出A、8的坐标即可判断①；根据角平

分线的性质和相似三角形的性质，结合抛物线的定义计算求出IAFI,即可判断②；根据题意可得

A（）「2，x）,列出方程求出将%即可判断③；根据抛物线的定义和A>0,即可判断④.

【详解】由题意，设直线，：x=U-2,令3,％）,5（电,％）都在第一象限，

由尸（2,0）,得C（-2,0）,如图所示.

得丁-8初+16=0,且△=64（%2-1）>0,即二>],

所以y+%=8k,%必=16，则%+%=8/-4,=4.

①若8尸为AAC尸的中线，则必咤，所以X=4夜，所以斗=4,故44,4&）,

所以8（1,2夜），则IA尸|=2|8尸|=6,故①正确;

②若BF为NAFC的平分线，则明=察，

分别作AD,8£垂直准线x=—2于点。，E,则仙尸|=|明且需=黑，

1111|ABIIDE|

所以四=叵!即。尸|一ICEIJBEI上_=强土2

1J

\AD\\DE\'|AD|+|CF|\CD\\AD\''xl+6%+2'

4

将*2=—>0代入整理，得才一4%一12=0,即（苔-6乂玉+2）=0,

x\

则占=6,所以|4尸|=与+2=8,故②正确；

③若|AC|=Q|AF|,即14cb应|AO|,即，ACD为等腰直角三角形，

止匕时|C0=|AO|,则A（y/2,y）,所以y：=8y「16,所以犬-8%+16=0,

所以）1=4,所以%=4,此时A,8为同一点，不合题设，故③错误；

2

@\AF\+\BF\^AD\+\BE\=xt+x2+4=Sk,

而2|CF|=8,结合A?>i,得跳？>8,

即|AF|+|BF]>2|C可恒成立，故④正确.

故选：C.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

涉及有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公

式|A8|=x/+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（2023•河北•校联考一模）关于函数/（x）=2sin（2x-?7r）的图象，下列说法正确的是（）

A.长是曲线y=/（x）的一个对称中心

B.x=¥是曲线y=/（x）的一条对称轴

O

C.曲线y=2sin2x向左平移。兀个单位，可得曲线y=/（x）

D.曲线y=2sin2x向右平移（兀个单位，可得曲线y=〃x）

O

【答案】AD

【分析】利用诱导公式化简函数f(x),再逐项计算判断作答.

IF7T

【详解】依题意，函数Ax)=2sin(2x-：-37i)=—2sin(2x—：),

对于A,/(1)=-2sin(2x1-^)=0,($0)是曲线y=/(x)的一个对称中心，A正确；

对于B,7(¥)=—2sin(2x•一今=0,x=等不是曲线y="X)的对称轴，B错误；

对于C,曲线y=2sin2x向左平移，兀个单位，得y=2sin[2Cr+gb]=2sin(2x+¥)=-2sin(2x+。，C错误；

8844

对于D,曲线y=2sin2x向右平移;兀个单位，得y=2sin[2(x--—)]=2sin(2x——)=-2sin(2x——),D止确.

故选：AD

10.(2023•全国•模拟预测)已知的，居分别是椭圆《+$=1的左、右焦点，点M是「上的动点，则()

1612

ITT

A.「的离心率为5B.^MF2<-

C.AM4用的周长为12D.△/片外的面积的最大值为

【答案】ABC

【分析】对A,直接求出离心率即可，对B利用6,c的大小关系及直径所对圆周角为直角的结论即可判断,

对C,根据椭圆的定义即可判断，对D,根据面积最大时，M为椭圆的短轴端点，代入计算即可.

21

【详解】A选项：依题意，a=4,h=2y/3,c=2,所以「的离心率0=—c=二=彳，A正确.

。42

7F

B选项：因为c<6,所以以月用为直径的圆在r的内部，故N£g<5，B正确.

C选项：根据椭圆的定义得△MH行的周长为为+2c=12,C正确.

D选项：设。为坐标原点，连接。“，易知当OM_L百心时，△/耳鸟的面积最大，

最大值为1、2必=仍=46,D错误.

2

故选：ABC.

11.(2023・山东淄博・统考二模)已知函数“力=4$吊3+“心0,0>0,-卜图的部分图象如图所示,

则()

冗IT

B.当X€时，.f(x)的最大值为G

C.函数“X)的图象关于点(?,o)对称

D.函数/(x)在点(0,1)处的切线方程为＞=2任+1

【答案】AD

【分析】根据y=Asin(s+e)中A,。，夕的几何意义，求得Ax)的解析式，再结合正弦函数的图象与性质

及导数的几何意义，逐项分析即可.

【详解】由图可知，A=2,/(O)=2sin0=l,即sing=!，又-1＜夕＜］，所以夕=£,

2226

由五点作图法可得粤+?=兀，所以0=2,/(x)=2sinf2x+f\

126k07

/、771

对于A,“X)的最小正周期为7=空=兀，故A正确；

对于B,当xe-U时，2x+1w孑＞所以sin卜x+-堂•』，所以/(x)的最大值为2,故B

_44Jo［_3JJ＜o)2

错误；

对于C,当x==时，2X+B=*/停］=2,所以函数f(x)的图象不关于点件,0〕对称，故C错误;

对于D,由〃x)=2sin(2x+。］,可得r(x)=4cos(2x+)/(0)=2/，所以函数/(x)在点(0,1)处的

切线方程为y=2岳+1,故D正确.

故选：AD.

12.(2023・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)正四棱柱ABCD-A5GA,底面边长为2血，侧棱长

为2,则下列结论正确的()

A.点A到平面Bg的距离是V2.

B.四棱锥R-ABC。内切球的表面积为8(3-2&)兀.

C.平面8CQ与平面4cA垂直.

D.点M,N为线段AC上的两点，且AM=CN=(AC,点P为面ABC，内的点，若PM=C.PN,则

点尸的轨迹长为兀.

【答案】AC

【分析】利用等体积法判断A,利用等体积法求出内切球的半径，即可判断B,找到二面角的平面角，利用

勾股定理逆定理即可判断C,建立空间直角坐标系，设点尸(x,y,2),即可求出动点尸的轨迹方程，即可判断

D.

【详解】对于A：设点4到平面8CR的距离为人,

BR=J(2直『+(20『=4,RC=BC=小22+(20=273,

%3=gx4xJ(2£)、22=4夜,SMW=1X2>/2X2>/2=4,

又匕,得四=%一4触，所以;x4V%=gx4x2,解得力=0,故A正确;

对于B：

SABCO=20x2忘=8,SADDi=SCDDt=-x2x2>/2=2y[2,

s.=SBCD,+(2夜『X2&=2遥,

%,HrD=-x8x2=—,

4

设内切球的半径为则与=；(8+4a+4旬r,解得r=故B错误;

V6+72+2

对于C：设底面A3CD中心为O,BCJBC=E,OG*=F,连接。G交E尸于G,则G为线段£尸中点,

则CG_LEF,C,G1EF,所以NCGO为面BCQ与面片。2所成角的平面角,

在,CGO中，GO=GC=s/2,OC=2,OG2+GC2=OC2>回/CGO=90°,

所以平面8CQ与平面5cA垂直，故C正确；

对于D,设底面ABC。中心为O,底面ABC。中心为。「分别以直线02,0C,0a分别为x,y,z轴建立空间

直角坐标系,

设点P(x,y,2),又M(0,T,0),N(0,l,0),

由PM=gPN得,yjx2+(y+l)2+4=y/2y]x2+(^-1)2+4r整理得/+(y-3『=4,

所以P点轨迹为圆Y+()，_3)2=4在面A4GR内的部分(如下图HK)，

7E7T

因为"口,JK=2'RGK二,显然CQQ所以

7T

即ZKJH<-,

2

।，«।

所以“K的弧长不为兀，即点尸的轨迹长不为兀，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点睛:涉及点到面的距离一般利用等体积法或空间向量法,D选项关键是建立空间直角坐标系,

定量计算出动点尸的轨迹.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13.（2023•江西南昌•南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知关于x的不等式的2+加+6〃?>0的解集为

{x\2<x<3},则如<〃的解集为.

【答案】{x|x>-5}

【分析】由题意可得“<0旦方程用2+m+6加>0的解为2,3,再根据韦达定理求得小八的关系即可得解.

【详解】因为关于*的不等式〃小+nr+6〃?>0的解集为{x[2<x<3},

所以7%<0且方程〃>+总+6加>0的解为2,3,

n

则2+3=5=,

m

n

所以机g|Jx>—,

m

所以不等式g<n的解集为{x\x>-5}.

故答案为：{x|x>-5}.

14.（2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设随机变量4的分布列如下：

其中6,%，.•.，%构成等差数列，则4+4

【答案】I

【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.

【详解】因为4，出，…，4构成等差数列，

所以4+4=4+。5=4+%，

因为4+%+。3+。4+。5+。6=1，所以4+。6=g，

故答案为：g

15.(2023•河南,襄城高中校联考三模)若(sin£+cos^)+6cosa=g,则cos(2a+与■)=.

【答案】-J/-O.125

O

【分析】先利用三角恒等变换化简得sin(a+W)=j,从而利用余弦的倍角公式即可得解.

【详解】因为]sin@+cos4]+5/3cosa=sin2—4-cos2—+2sin—cos—+V3cosa

[22)2222

=sina+Gcosa+l=2sin(6Z+—|+1=—,

I3j2

所以sin(a+])=(,故cos(2a+1)=l-2sin2(a+1)=l-2x[1)=-1.

故答案为：一:.

o

16.(2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测)已知圆C：(x-a)2+(y-与2=4的图象在第四象限，直线

/,：ax+by+3=0,12：法-ay+4=0.若(上存在点尸，过点尸作圆C的切线如，PB,切点分别为A,B,

使得AVB为等边三角形，则4被圆C截得的弦长的最大值为.

【答案】拽

3

【分析】根据题意可推得“，b的范围，以及4与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出

■>，2.o

ZAPC=30。，然后推得44,求解结合a,b的范围可得出20<77万43•然后表示出圆心到直

。yja2+b2

线4的距离，根据不等式的性质，即可得出答案.

【详解】

a>2

由已知可得，圆C的圆心c（a,“，半径r=2,且有

b<-2'

2»2Q

则圆心到直线八ax+hy+3=O的距:离&=三：一十一..

yla2+b2

a3a门3c

又直线《方程可化为yx——,可知——〉0,——>0,

bbbb

所以直线4过一、二、三象限，不过笫四象限，直线4与圆相离.

由题意易知NAPC=30。，则PC=2工=4,441Pq=4，

sin300

所以有岁孝（4，即（后+可-4\/a2+b2+3<0,所以IV三.

乂a>2,b<-2,所以02+/>8，yja2+b2>242>所以2/

所以圆心C到直线/,的距离d2=/4,<5/2<2,

7CT+b-

所以，直线4与圆C总相交,

4Ng，所以4被圆C截得的弦长为2斤田

又4=

\ja2+b2

故答案为：拽.

3

【点睛】关键点睛：根据己知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出4与圆的位置关系.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（2023•安徽哈肥一中校联考模拟预测）记A8C的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知cos8=；.

⑴求cos21+tan2gC的值；

（2）若6=4,S.C=2拒，求，的值.

【答案】⑴g

(2)c=V2或c=3>/2

【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式计算可得;

（2）由面积公式求出“c,再由余弦定理得到关于C的方程，解得即可.

【详解】⑴因为cosB=；,

A+C

sin2

B2A+C1+cosB

所以cos?—Ftan"---------------+2

222A+C

cos2

2

1+cosB1-COS(A+C)

214-cos(A+C)

1+二1+-

1+cosB1+cosB338

=-----------1-----------=--------1------=—.

21-cosB213

1i—

3

(2)因为cos3=Q,所,以sinB=Jl—cos?B=,

因为5.阮'=20，即,，心吊8=1“03但=2&',所以0€=6,

A»C223

再由余弦定理知〃="+C2—2〃C8S8,即42=(()+c2-2x6xl,

即cJ20c2+36=0,解得=2或c?=18,

所以c=&或c=3血（负值舍去）.

18.（2023•吉林・吉林省实验校考模拟预测）在公差不为0的等差数列｛4｝中，4=5,且电,的，纭成等

比数列.

⑴求｛/｝的通项公式和前”项和S.；

（2）设"=」一，求数列｛〃｝的前〃项和公式Z,.

2

【答案】⑴见二2〃-3,Sn=n-2n

n

(2)7；,=

\-2n

【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式;

（2）利用裂项相消法即可求出结果.

【详解】（1）公差d不为零的等差数列｛叫中，为=5,又为，。3，。6成等比数歹U，

%=4+3d=5q+3d=5

所以

裙=%&(4+2J)2=(q+d)(q+5d)

解得q=-l,d=2,

则a”=4+(〃-l)d=-l+2(n-1)=2n-3,

_〃(4+a“)

J_一

“2

1

（2）由（1）可知，bn=-----

—(2n-3)(2n-l)

可得数列｛〃,｝的前〃项和

n

1-2/7

19.（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线Uy?=2px（p>0）的顶点在原点。,焦点坐标为

（1）求抛物线C的方程;

⑵若直线/：*=）+1与抛物线C交于P,。两点，求△OPQ面积的最小值.

【答案】⑴〉2=2%；

【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，求得。，即可求得抛物线方程；

（2）联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理，结合直线恒过的定点，表达出面积关于参数的函数关系,

求其最小值即可.

【详解】（1）由题意与=；,得。=1,，抛物线C的方程为丁=21

（2）设产（内,%）,。（々/2），

联立消去X得y2_2。'一2=0,

A=4产+8>0,y+%=2f,乂必=~2>

二lx-%|=+丫2）2-4yM="产+8'

易知，直线/：x=）+l恒过定点M（l,0）,

故eiOPQ的面积

故回OPQ面积的最小值为啦.

20.（2024•江西•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-4SC3中，PAL平面A8CO,ADA.CD,AB//CD,

PA-AD--CD=1.AB=2,点A/是尸8的中点.

⑵求直线。M与平面ACM所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

喈

【分析】（1）取A8中点F,证明得到四边形AF8是正方形，进而得到BC/平面PAC,所以BCLPC,

根据直角三角形相关性质可得到PB=2CM；

（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面ACM的一个法向量，再结合线面角计算公

式求出答案.

【详解】（1）取A3中点F,连接CF,则/F=CZ）=1,

又因为AF//C。，所以四边形AFCD是平行四边形，

因为ADLCD,AD=CD,所以四边形AFCD是正方形，

所以即345c是等腰三角形，则AC=BC=&，

所以AC2+BC?=4=44,即AC13C,

因为PAL平面A8CO,8(7匚平面488,所以PAL8C,

又因为P44Cu平面PAC,PAAC=A,

所以8c工平面PAC,

因为PCu平面PAC,所以BCLPC,

乂因为点”是总的中点，所以由直角三角形性质易得依=2CM

(2)因为PA_L平面ABC。，AZ),A8u平面ABC。，所以A4_L49,PAYAB,

又因为四边形AFCO是正方形，所以4)243,

如图，以｛ARA8,4P｝为正交基底建立空间直角坐标系A-^z,

则A(O,O,O),C(l,l,O),r>(l,O,O),M(O,l,g),

所以Z)M=(-l,l,g),AC=(l,l,O),AM=(0,1,；

设平面ACM的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AC=x+y=0

则，1，令x=l,则〃=(1,T,2),

/?-AM=y+—z=0

2

7T

设直线ZW与平面ACM所成的角为804

所以.。=卜。5(〃，。")|=脑=[

所以直线DM与平面ACM所成的角的正弦值为旦.

21.(2022•四川绵阳•盐亭中学校考模拟预测)已知函数/(x>ar2-to+lnx,(«/eR).

⑴若。=访=3,求函数/(x)的单调增区间;

⑵若6=0时，不等式/(xX。在[L+8)上恒成立，求实数〃的取值范围;

【答案】(l)[o,1j,(l,+oo)

⑵Y

【分析】(1)求导得到:(X)=("-1)Q'T),得到单调区间.

X

(2)变换得到-等，设g(x)=-竽，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】(1)由题意得：x>0〃=坊=3时，f(x)=x2-3x+\nx,

W+，一生3,

XX

令_f(x)>0,解得:0<x<g或X>1,故“X)的单调递增区间为e1)(l，+8).

(2)/(x)=ax2+1。工40在［1,+8)上恒成立，，

即a4-手在区间［1,+8)恒成立，

、口/、Inx....，/x21nx—1

设g(x)=-p,X>\,则g(x)=——，

令g〈x)>0,解得X>正，此时g(x)单调递增,

令g'(x)<0,解得14尤<五,此时g(x)单调递减,

故g(xL,=g(&)=一5.

故。w———.

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