浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一年级下册期中数学试题

浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期期中数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={-2,0,l},B={0,l,2},则AuB=()

A.{0,l}B.{-2,0,l}C.{-2,0,1,2}D.{θ,l,2}

2.函数〃x)=sin(2x-：)的一条对称轴可以为()

A.X--—B.X=--C.X=—D.X--

8484

3.在用斜二测画法画水平放置的时，若NA的两边分别平行于X轴、y轴，则在

直观图中/4等于()

A.45oB.135°

C.90oD.45°或135°

4.四边形A8C3为矩形，对角线长为4,若A8=α,4O="8O=c,则∣a-b-c∣=()

A.0B.6C.8D.10

5.己知i为虚数单位，下列与i相等的是()

A.ɪB.(l-i)(l+i)C.γ-！4

D.i+i2+f+i4++产

6.平行四边形ABCC,点E满足AC=44E,DE=^AB+2μAD(λ,jueR),则尤+〃=

()

A.—B.-C.~^D.1

842

7.函数/(X)=的图象大致是()

2∣x∣-l

8.如图所示，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得

M点的仰角ZMAN=60o,C点的仰角NCAB=30。以及ZMAC=75°,从C点测得

NMC4=60。，若山高BC=IOO及米，则山高MN等于（）

A.300米B.360米

C.240米D.320米

二、多选题

9.已知。是43C所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A.若（A8+AC）∙（AB-AC）=0,则JiBC为等腰三角形

B.若OA+OB+OC=0,则。是ABC的外心

C.若AB∙BC<0,则一ASC为钝角三角形

D.若OA∙3C=0,OB-AC=则OCAB=O

10.下列说法正确的是（）

A.在:ΛBC中，SinA<sin8是BC<AC的充要条件

B.将函数y=sin2x的图象向右平移;个单位长度得到函数），=sin（2x-"的图象

C.复数z∣,z2,则z∣-Zz≥O是Z∣NZ2的充要条件

D.在AABC中,若sin?A+sin?8<sin?C,则AABC是钝角三角形

11.在"C中，角A,B,C对边分别是mb,c,A=p6=8,fl=2√13.则下列

试卷第2页，共4页

说法正确的是()

A.一ABC为锐角三角形B.√LBC面积为或126

兀

C.AB长度为6D."C外接圆的面积为5节2

12.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且y=∕(x+l)为偶函数，当Xe(0,1］时，

/(x)=-x2,下列结论正确的有()

A.函数“X)的周期是4B.直线x=2023是函数“X)的一条对称

轴

C.〃x)在［2022,2023］上单调递减D./(2022)+/(2023)=1

三、填空题

13.函数y=sin(2<yx+.),(<υ>θ)的周期是兀，贝I」。=.

14.已知向量”，6满足卜+匕|=卜-2目，且M=I,则〃在Z,上的投影向量是.

15.函数f(x)=α∣7∖+∙sinx+l,(α,6为常实数)，若/(—2023)=T,则

/(2023)=.

2兀

16.在.ABC中，已知角A=?■,角A的平分线A。与边8C相交于点D,AO=2.则AB+2AC

的最小值为.

四、解答题

17.已知向量4=(m,l),8=(2,加+1),机∈R.

(1)若向量4，b能构成一组基底，求实数机的范围；

⑵若c=(l,3),且C“a-q，求向量〃与〃的夹角大小.

18.设复数2=〃72-2，〃-3+(/〃2+3加+2］，机为实数

(1)当机为何值时，z是纯虚数；

(2)若复数W在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

19.已知m是函数，(》)=2«$山大8$》-2戊》2》-1的一个零点.

(1)求实数”的值；

(2)求/(x)单调递减区间

20.在4?C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若至心=您0

acosΛ

(1)求角4的大小；

(2)若a=2,求中线AO长的最大值(点。是边BC中点).

21.锐角ASC的三个内角是A、B、C,满足卜i∣fB+sin'C-sin?A)tan4=sin8sinC.

(1)求角A的大小及角8的取值范围；

⑵若一ABC的外接圆圆心为0,且08∙0C=g,求A0∙(AB+4C)的取值范围.

22.已知函数/(x)=e'-x在(τ),0)上单调递减，在(0,+“)上单调递增.记函数

g(x)=/(InX).

⑴写出函数y=g(χ)的单调区间(无需说明理由)及其最小值；

(2)若直线y=〃与函数y=∕(x)和y=g(x)的图象共有三个不同的交点，从左到右依次

记为A(XPyJ,B(x2,y2)(C(W，%)，试证明：xi+x3=2x2.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】直接利用并集运算得答案.

【详解】A={-2,0,1),β={0,1,2),

则Au8={-2,0,1}U(O,1,2}={-2,0,1,2}.

故选：C

2.A

【分析】根据正弦函数的对称性逐一检验即可.

【详解】对于A,因为f(-5)=sin(-])=-l,

所以XY是函数"x)=Sinl的一条对称轴，故A正确;

对于B,因为/1-()=sin(-弓)=-g,

所以一：不是函数“gin,-：)的一条对称轴，故B错误;

对于C,因为山卜陪用=0,

所以尤=方不是函数〃x)=sin(2x-；)的一条对称轴，故C错误；

对于D,因为/(E)=Sin：=等，

所以X=W不是函数〃x)=sin(2x-：)的一条对称轴，故D错误.

故选：A.

3.D

【分析】根据直角在直观图中有的成为45。，有的成为135。即可得答案

【详解】因/A的两边分别平行于X轴、y轴，

故/A=90。，在直观图中，按斜二测画法规则知/VOy=45。或135。，

即NA'=45°或135°.

故选：D.

4.C

【分析】利用向量的模长、运算律以及向量的数量积的定义求出K=64,即可求得

结果.

答案第1页，共13页

【详解】由题意知：,J+W=H2=42,8S∕Λ3O=1,COS∕C3O=:，

∣fi-⅛-c∣=(α-〃-C)=α+⅛+ɛ2-2α∙⅛-2ɑ∙c+2c∙⅛

=∣(7∣+|/?|+∣c∣-2∣6f∣∙∣∕7∣∙cos90-21«|∙∣c∣∙cos(.τ-ZABD)÷2∣c∣∙∣^∣∙cosZCBD

(、

2

=2∣C∣-2∣4∣C∣∙-∣+2∣C∣-∣⅛∣-∣

V√

=21+2ld+2w

=4IC∣2

=4×16

=64

所以,_^_q=8.

故选：C.

5.C

【分析】根据复数的乘除法运算及乘方计算即可.

1-I

【详解】对于A,乙=弓=-i,故A不相等；

]—1

对于B,(l-i)(l+i)=l-i2=2,故B不相等；

1+i(l+i)(l+i)2i

故相等;

T≡i-(l-i)(l+i)-TC

i+i2+i3÷i4++i2∞3=5∞(i-l-i+l)+i-l-i=-l,故D不相等.

故选：C.

6.A

【分析】先根据平面向量的线性运算将QE用AB,A。表示，再根据平面向量基本定理即可

得解.

111O

【详解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD∖-AD=-AB--AD,

44v/44

又因为OE=IA8+2〃AO,

答案第2页，共13页

2ɪ

λ=-

~2~42

所以，所以

3

2μ=--μ=一一

48

131

所以4+4==-

288

【分析】先根据函数的奇偶性排除B,再根据O<x<g时函数值的符号排除D,最后结合X

趋近于+∞时函数值的范围求解即可.

【详解】解：函数的定义域为卜∣χ≠士;卜

/(-X)==-/(x)，

2∣-x∣-l2∣x∣-l

所以函数/(X)==为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项,

2∣x∣-l

因为当x>0时，ejc>1>e^v>0，

所以当0<x<；时，/(%)=、4时'")=Ur°,故排除D,

—<0,

2∣x∣T

当X趋近于+8时•，由于指数呈爆炸型增长，故函数值/(X)趋近于+8,故排除A选项,

故选：C

8.A

【分析】在RrZXCAB中，可求得AC,根据正弦定理，在VeAM中，可求得AM,在用AAMN

中，即可求得答案.

【详解】因为在Rr中，BC=IOO及，NeAB=30°,

所以AC=篇=200应，

在VC4M中，ZAMC=∖8Qo-ZMCA-ZMAC=45°,

ACAM200√2AM

由正弦定理得:,即aπ-------=--------

sinZAΛ∕CSinNMcAsin45osin60°

答案第3页，共13页

所以AM=2006,

在HfZXAMN中，NMAN=60。，

所以MN=AMSin60。=200GX正=300(米)

2

故选：A

9.AD

【分析】由数量积的运算判断A,根据向量线性运算判断B,根据数量积的定义判断C,由

垂直的向量表示及三角形内心性质判断D.

【详解】由(AB+AC)∙(AB-AC)=O,得网2=M『，即网=IAC故A对；

由OA+OB+OC=0,取BC中点£),连接。。，则。B+OC=20。=-OA，

n∆O

所以。A,。。共线，且。在线段AO上，=p即。为ABC的重心，故B错；

由43-8。=卜4忸4CoSg-B)<0,得CoSg-3)<0,所以7-8为钝角，B为锐角，角A

与角C不一定为钝角，ΛBC不一定为钝角三角形，故C错；

由04∙BC=0'OB∙AC=0，得OA工BC,°B_LAC,知。为一ABC的垂心,所以OC∙AB=O，

故D对.

故选：AD.

10.AD

【分析】利用正弦定理边角互化即可判断A；根据平移变换的原则即可判断B：根据虚数不

能比较大小即可判断C；利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可判断D.

【详解】对于A,在一ABC中，因为sinA<sin8,由正弦定理其=坐j=2R(R为三角形

sinAsinB

ArAΓ

ABC外接圆半径)得失<筹，则BC<4C,

2A2R

在.ABC中，因为BC<AC,则2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB,

所以在.45C中，SinA<sin8是3C<AC的充要条件，故A正确；

答案第4页，共13页

对于B,将函数y=sin2x的图象向右平移B个单位长度,

O

得y-sin2∣x~~Sinhx-^L故B错误;

对于C,若4=2+i,Z2=l+i,则z∣-Z2=l>0,

但是4=2+1,%=1+1不能比较大小，则此时由z∣-z?NO不能推出z∣2Z?,故C错误;

对于D,在ABC中，因为si/A+si/BvsiMC,根据正弦定理得

az+b2<c2,8Pa2+∕>2-c2<0,

x∣21Z_2_「2

则CoSC=一<0,Ce（O,乃），所以角C为钝角，

Iab

所以ABC是钝角三角形，故D正确.

故选：AD.

11.BD

【分析】利用余弦定理求出边C判断C,再利用余弦定理判断角的范围即可判断A,利用面

积公式判断B,利用正弦定理求出外接圆的半径即可判断D.

【详解】由A=：，⅛=8,a=2√B,所以（2月丫=82+c2-2χ8χcxcosg,

即。2一80-12=0,解得。=2或，=6,故C错误；

a2+cl-bi(2√i¾2+22-82

当c=2时,dcosB=--------------—7=<0,所以B为钝角,

2ac2×2×2√13√13

此时.ABC为钝角三角形，故A错误;

当C=2时，S=JbcSinA=LX8χ2X—^二46；

222

当c=6时，S—⅛csinA=—×8×6×—=12√3,

222

所以ABC面积为或126,故B正确;

ɑ2√13

设.ABC外接圆的半径为上由正弦定理得SinA一上,所以R=

2

5?

所以ABe外接圆的面积为兀卡=—π,故D正确;

故选：BD.

12.ABD

答案第5页，共13页

【分析】由函数/(χ+l)为偶函数可得f(χ)关于直线x=l对称，结合奇函数可得到/(χ)是

周期为4的函数，接着利用对称性和周期性对每个选项进行逐个判断.

【详解】对于A,因为函数/(x+l)为偶函数，所以/(x+l)=∕(-x+l),

即〃x)的图象关于直线X=1对称，

因为“X)为奇函数，所以/(r)=-"x),

则/(x+2)=∕[-(x+l)+l[=〃-X)=-F(X),所以/(x+4)=-/(x+2)=∕(x),

所以f(x)是周期为4的函数，故A正确；

因为/(x)关于直线X=I对称，且为奇函数，

所以f(x)关于直线4-1对称，又/(x)是周期为4的函数，

所以f(x)关于直线x=3对称，

因为2023=505x4+3,所以直线x=2023是函数f(x)的一条对称轴，故B正确；

由/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

当x∈(0,l]时，/(x)=-x2,可得当x∈[0,l]时，〃6=—V,

令x∈[2,3],则x-2w[0,l],所以f(x)=-"x-2)=(x-2)2,

此时f(x)单调递增，

因为2022=505x4+2,,

所以f(x)在[2022,2023]上的单调性相当于"x)在[2,3]上的单调性，故此时递增，故C错

误；

/(2022)=/(2)=0,/(2023)=ʃ(ɜ)=1,

所以“2022)+f(2023)=l,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：根据函数/(χ+l)为偶函数，W∕(χ+l)=∕(-χ+l),结合"χ)为奇

函数，求得/(x+2)=-∕(x),是解决本题的关键.

答案第6页，共13页

13.1

【分析】根据正弦函数的周期性计算即可.

【详解】因为函数『sin,》+。(0>0)的周期是兀，

兀

所以2三=兀，解得0=1.

2ω

故答案为：1∙

14.—b

2

【分析】由∣α+0=卜-3|,求得“∙6=g,再利用〃在人上的投影向量定义求解.

【详解】解：因为卜+H=∣α-2b∣,且W=1,

所以(ɑ+/?)=(“-26),解得α∙6=g,

a`h

所以q在匕上的投影向量是77^

∖h∖

故答案为：—b

15.3

2x-∖

【分析】令g(x)=α∣7g+加inx,则f(x)=g(x)+l,然后判断函数g(x)的奇偶性，再函数

的奇偶性结合已知条件可求得结果.

2t-1

【详解】令g(x)="^~i∙+bsinx,贝IJf(X)=g*)+l,/(-2023)=g(-2023)+1,

2x+l

因为f(-2023)=T,所以g(-2023)=-2,

21*-lf2Λ-1]

因为g(r)=α亍IY+Ain(-x)=-j+⅛sinx=-g(x),

所以g(x)为奇函数，

所以g(2023)=-g(-2023),

所以/(2023)=g(2023)+1=-^(-2023)+1=2+1=3,

故答案为：3

16.6+4夜

【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.

【详解】AB=c,AC=h,BC=a,AD=2,

答案第7页，共13页

依题意AO是角A的角平分线,

7E1TT19TT

由三角形的面积公式得/X2XCXSin5+5x2XhXSinLXbCXSin3~,

化简得2c+2〃=/?c,!+，=:，

hc2

AB+2AC=c+2⅛=2(c+

≥23+2

C2b

当且仅当£=」,c=J5b,2∙√⅛+26=∕7∙伤力=2+应4=20+2时等号成立.

bc

故答案为：6+4√2

17.（Dm。-2且“Wl

小\3π

⑵彳

【分析】（1）若向量”，方能构成一组基底，则向量”,匕不共线，则〃?（m+l）-2xθ,从

而可得答案；

（2）由c_L（a-6）,可得1G-勾=0,从而可求的得团，再根据向量夹角的坐标公式求解

即可.

【详解】（1）若向量4,〃能构成一组基底，

则向量“，"不共线，

则〃2（加+1）-2。0,解得团工一2且机wl；

（2）因为c_L（a-b）,所以c∙（α-∕J=c∙〃一c2=0,

答案第8页，共13页

即"2+3—2—3(/〃+1)=O,解得m=—1,

所以。=(—1/)，6=(2,0),

/∖a∙b-2V2

则CM叫=丽=还=一三，

又因为0〃叫4π,所以卜,力安,

3兀

即向量α与〃的夹角为：.

4

18.(l)m=3

⑵(-2,-1)

【分析】(1)根据纯虚数的定义求解即可；

(2)根据共物复数的定义结合复数的几何意义列出不等式组，解之即可得解.

【详解】(1)因为Z是纯虚数，

m~-2∕n-3=0

所以解得〃7=3;

m~2+3/W+2≠0

(2)z=ιrr-2m-3-^m2÷3∕n+2)i,

因为复数W在复平面内对应的点在第一象限,

m2-2m-3>0

所以(2Cc∖Γ∖,解得-2<XV—1,

-ym~+3∕%+2)>0

所以实数m的取值范围为.

19.(l)α=√3

Jt,5兀..—

(2)—Hkit,----Fkτι,k∈Z

36

【分析】(I)由题意可得解之即可;

(2)利用二倍角的正弦公式、降幕公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可

得解.

【详解】(1)./(ɪ)=2asinxcosx-2cos2x-l=6rsin2x-2∙=βsin2x-cos2x-2,

答案第9页，共13页

由题意可得了9=0,即出α+1-2=0,解得“=石；

⑴22

(2)由(1)W/(x)=>∕3sin2x-cos2x-2=2sinf2x-^-2,

令5+2E≤2x--≤-^+2^π,得；+E≤x≤^+⅛π,A∈Z,

所以f(力单调递减区间为∣^t++€Z.

⑵后

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和得正弦公式即可求出结果；

（2）利用余弦定理求出从+C?=bc+4≥2bc,再利用平面向量关系化简即可求出结果.

2c-bcosB

【详解】（1）因为

acosΛ

2sinC-si∏BcosB

由正弦定理可得:

即(2SinC-SinB)∙cosA=sinA∙cosB,

2sinCcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,

因为Ce(O,π),所以SinC>0,

因为Ae(O,π),所以A=全

(2)由(1)得Ag

则cosA="+C二,

Ibc2

所以82+c?=bc+4≥20c,即hc≤4,

当且仅当。=c∙=2时等号成立，

因为点。是边BC中点，

所以2AO=AB+AC,

两边平方可得：4∣AD∣2=∣AB∣2+∖AC^+2AB-AC=b2+C2+2bc-cosA,

则41AD∖=⅛2+c2÷be=⅛c+4+be=2bc÷4≤12,

答案第10页，共13页

所以IAa

中线A。长的最大值为G.

21.(I)A=

【分析】(1)利用正弦定理结合余弦定理、同角三角函数的基本关系可求得SinA,由A为

锐角可求得角A的值，利用,.ABC为锐角三角形可得出关于角B的不等式组，即可求得角B

的取值范围；

(2)设4SC的外接圆半径为R,利用平面向量数量积的定义结合OB∙OC=;可求得R的

值，设NAOC=O,则6=2B∏,π),则ZAoB4-6,利用平面向量数量积的运算性

质可得出。A∙(AB+AC)关于。的表达式，结合余弦型三角函数的基本性质可求得

O4∙(AB+AC)的取值范围，进而可得出AO∙(AB+AC)的取值范围.

【详解】(1)解：设一ABC的三个内角A、B、C的对边分别为。、b、c,

因为(Sin2β÷sin2C-sin2tanA=sinBsinC,

222

由正弦定理可得W+/-qtanA=历，所以,b+c-asinA1

2bccosA2

故SinA=COSA•臼E■=?,因为A为锐角，则A=刍,

JTTT

因为ABC为锐角三角形，则，解得

—<A+B<π

,2

所以，角8的取值范围是[§,万)

(2)解：设ΛBC的外接圆半径为R,所以4HoBHoq=R,

TT7ΓJT

因为A=g所以NBOC=2A=2X^=M,

663

又。B∙OC=g,所以∣08HOqCoSNBOC=1R2=g,所以R=[,

设ZAOC=6,则e=2Be[*,τt),则NAOB=F-6,

所以OX(AE+A。)=OZ(O月一04+0C-0∕[)=(λ5∙0a+0Z∙0C-2tt4°

答案第11页，共13页

=l×l×cos:-----θ÷1×1×cosθ-1=-cosθ---二Sine+cos6-2

L3)22

=3CoSe-ɔ^sinθ-2=6ɔ^-eos^-ɪsin0-2=ʌ/ɜeosf^÷->l-2,

22122J16)

因为Oe[?,兀)，所以称<e+[<",

VʒJ666

所以-l≤cos(e+t)<-*,所以—(2+6)≤OA∙(AB+AC)<-[,

所以，A