数列中的不等式(许兴华)_第1页
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文档简介

数列中的不等式数列中的不等式是高考中的一个重要内容。本文介绍用“放缩法”证明数列中的不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，到达事半功倍的效果。裂项放缩〔即先放缩后裂项或先裂项再放缩〕假设欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1n∈N*，求。证明：因为，那么所以原不等式成立。例2且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。公式放缩〔利用根本不等式、二项式定理放缩〕利用的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例3函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为，所以。例4，求证：当时。证明：证毕。3.添项或舍项放缩例5求证：证明： 假设多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，到达证明的目的。此题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简。例6a、b、c不全为零，求证：证明：因为同理，所以4.分式放缩一个分式假设分子变大那么分式值变大，假设分母变大那么分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数那么分式值变大，利用这些性质，可到达证题目的。例7a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，那么为真分数，那么，同理，，故.综合得。5.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例8a，b∈R，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，所以，即。证毕。6.逐项放缩或局部放缩例9设求证：证明：因为所以所以，所以此题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，到达化简的目的。例10求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。放缩法一般都比拟难,放缩范围不易把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相

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