数值分析教教案9

牛顿-柯特斯求积公式的误差估计1.牛顿-柯特斯求积公式的截断误差牛顿-柯特斯公式是一个插值型数值求积公式，当用插值多项式代替进行积分时，其截断误差，即积分真值和近似值之差可推导如下。由插值多项的误差估计可知，用次Lagrange多项式逼近函数时产生误差为：其中。。对上式两边从到作定积分，便可得出它的截断误差：〔2-12〕2.数值求积公式的代数精度由式〔2-12〕可知，截断误差与被积函数、积分限密切相关，如果被积函数是一个次多项式，由于，那么，就会使。所以，被积函数为高次多项式时，能使求积公式〔2-11〕成为精确的等式，便成为衡量数值求积公式精确程度的一个指标。据此，提出数值求积公式代数精度这一概念。如果被积函数为任意一个次数不高于次的多项式时，数值求积公式一般形式的截断误差；而当它是次多项式时，，那么说明数值求积公式具有次代数精度。一个数值求积公式的代数精度越高，表示用它求数值积分时所需逼近被积函数的多项式次数越高。3牛顿-柯特斯求积公式的代数精度等于如果被积函数是一个不大于次的多项式，那么，即；而当是任意一个次多项式时，，故。所以，按照代数精度的定义可知，一般情况下，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度等于；但当为偶数时，其代数精度为。下面对此加以证明。定理2当为偶数时，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为。证明当为次多项式时，〔〕牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少等于。假设设是一个次多项式，这时为一常数，而：因此，只要证明在为偶数时，，上述定理2就得证。为此，设，令于是：由于为偶数，不妨设，为正整数，那么。于是：再引进变换，那么，，代入上式右侧，得出：最后的积分中被积函数是奇函数，所以积分结果等于零，定理2得证。2.3几个低次牛顿-柯特斯求积公式从上面的讨论可知，用多项式近似代替被积函数进行数值积分时，虽然最高次数可是8，但是8次多项式的计算是非常繁杂的，一般常用的是下边介绍的低次多项式。.矩形求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取，用零次多项式〔即常数〕代替被积函数，即用矩形面积代替曲边梯形的面积，那么有：=(2-13)根据牛顿-柯特斯求积公式的误差理论式(2-12)，矩形求积公式的误差估计为：梯形求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取，用一次多项式代替被积函数，即用梯形面积代替曲边梯形的面积，那么有：=其中，，查表可得，代入上式得出=(2-14)由于用一次多项式近似代替被积函数，所以它的精度是1，也就是说，只有当被积函数是一次多项式时，梯形求积公式才是准确的。根据牛顿-柯特斯求积公式的误差理论式(2-12)，梯形求积公式的误差估计为(2-15)是被积函数二阶导数在点的取值，。抛物线求积公式1.抛物线求积公式的推导在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取，用二次多项式代替被积函数，即曲边用抛物线代替，那么有：=其中，查表可得，代入上式得出：=(2-16)这就是抛物线求积公式。它的几何意义是：用过三个点,的抛物线和构成的曲边梯形面积，近似地代替了被积函数形成的曲边和构成的曲线梯形面积。2.抛物线求积分公式的误差下面对抛物线求积公式误差进行估计。由于抛物线求积公式是用二次多项式逼近被积函数推得的，原那么上它的代数精度为2。但因多项式次数是偶数，据前面的定理知道，它的代数精度为3。过和三点，构造一个的三次Lagrange插值多项式，且使。根据埃尔米特插值余项定理得：。对上式两边从到进行定积分，即可得到：(2-17)根据定积分中值定理可知，在上总有一点满足下述关系：通过变量代换，很容易求得：把这个结果代入式(2-17)，便得出抛物线求积公式的误差估计式：(2-18)数值积分实例【例2-1】试检验以下求积公式的代数精度。解记因为当时左右两端不等，故所给求积公式仅有三阶精度。【例2-2】试构造以下求积公式，使其代数精度尽量地高，并证明所造出的求积公式是插值型的：解令原式对于准确，可列出方程解之得这样构造出的求积公式是注意到节点的拉格朗日插值基函数直接计算知故所构造出的求积公式是插值型。【例2-3】判别以下求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解这里关于拉格朗日插值基函数直接求积知,因此所给求积公式是插值型的。按定理1，含有2个节点的求积公式至少有1阶精度。再考察，原式左端，而右端，左右两端不相等。因此所给求积公式仅有1阶精度。【例2-4】构造以下形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：解按题设原式是插值型的，故有考虑到对称性，显然有，于是有求积公式由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。事实上，对于原式左右两端相等。此外，容易验证原式对不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。值得指出的