三新背景下解析几何复习备考策略课件-2024届高三数学二轮复习

三新背景下解析几何备考策略

——代数运算

几何先行

《中国高考评价体系说明》指出：中国高考评价体系梳理了各要素之间的逻辑关系，遵循正确的研究方向、目标和科学的路径、方法，创造性地提出高考命题理念从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变的理论基础和方法论基础。

《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：平面解析几何的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。根据几何问题和图形的特点，用代数语言将几何问题转化为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。近三年全国新高考I卷中考查情况统计年份圆椭圆双曲线抛物线直线与圆锥曲线的综合应用202111直线与圆，点到直线的距离5椭圆的定义及最值问题14准线方程21直线与双曲线、直线的斜率、定值问题202214两圆的公切线16椭圆的几何性质、直线与椭圆11抛物线的几何性质、直线与抛物线21直线与双曲线、直线的斜率、三角形的面积20236直线与圆5椭圆的离心率16双曲线的离心率22直线与抛物线、最值问题（1）近三年，圆，椭圆在小题中都有考查，以基本概念和几何性质为主；（2）大题以双曲线、抛物线综合知识为背景，考查弦长问题、面积问题、最值问题、定点定值问题、直线的斜率问题，其中2021年和2022年都考查了在圆锥曲线的综合问题中直线的斜率问题。全国卷与浙江卷解析几何对比全国卷的解析几何大题考查双曲线和抛物线的综合知识，侧重考查学生的运算能力，式子好列，结果难解。浙江卷通常是考查椭圆，侧重考查变量之间关系的转化。全国卷解析几何通常是“三小一大”，并且会以压轴题的形式出现，小题常可以用解析几何的二级结论求解。浙江卷通常不会以解析几何压轴，并且会规避二级结论。全国卷的解析几何大题通常没有图形，需要考生自行作图。浙江卷的大题通常都会给出图形。说明全国卷对直观想象能力的要求会更高。几何对象几何特征

代数化代数结果几何结论（难点）几何是思考的起点和终点，是问题的缘起和归宿。解析化运算核心素养表现形式数学抽象了解数学命题的条件和结论；把握研究对象的数学特征；感悟通性通法逻辑推理用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系数学建模选择合适的模型表达要解决的问题；建立模型；求解模型直观想象建立形与数的联系；利用几何图形描述问题；借助几何直观优化运算数学运算理解运算对象；掌握运算法则；探究运算思路；求得运算结果数据分析理解和处理数据；获得和解释结论算不出算得出算得简算得优算法优化通性通法策略1活用代数方法——消元思想2巧用几何特征——数形结合活用代数方法——消元法

设而不求是坐标法简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简，运用设而不求的方法时无论是设点还是设线，无论是求解哪类问题，都会涉及到诸多参数和等量关系，而如何根据等量关系和诸多参数消元是一个难点，所以围绕研究问题合理“消元”尤其重要。本质：将多变量转化为单变量或减少变量个数。本质：将双变量化为单变量难点：双变量处理案例1方法一：以k为主元方法二：以a为主元方法三方法三：分类讨论非对称韦达形式消元案例2非对称韦达形式消元找出两根之和与两根之积关系先配凑，再局部韦达代换案例2方法一：用求根公式消元案例3方法二：用韦达消元常见消元类型及处理方法3.非对称韦达形式：和积互化，凑一留一2.利用求根公式消元1.利用韦达定理消元4.双绝对值型几何问题代数问题数助形数缺形时少直观形缺数时难入微数形结合百般好隔家分离万事休——华罗庚代数式中蕴含的几何特征和几何意义形助数

解析几何中的数学运算，是考虑解析几何的学科特点，借助几何条件和图形性质，为解决几何问题而进行的数学运算，而不是纯粹的代数运算。巧用几何特征1.强化作图意识强化作图意识，作图是研究几何问题的基础，作图的过程是读题、审题、理解题意与探究解题思路的过程。课堂教学时，教师应多用手工绘制草图，加强对图形中几何特征与数量关系的细致量化分析。示范指导如何结合作图过程读题、理解题意，如何将试题信息汇集于图，如何用图思考、发现问题解决的方法，养成通过审题自己作图的习惯，结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路。借助平行线的几何性质求解常用的平行线性质包括与三角形、梯形有关的中位线定理，平行线分线段成比例定理，能有效解决角（倾斜角）、边长或直线的斜率等问题。2.突出几何特征的探索案例4常用的三角形性质包括特殊三角形（等腰三角形，等边三角形，直角三角形，相似三角形）的性质，解决对应角相等、对应边相等（或成比例）、对应边满足勾股定理等问题。借助三角形的相关性质求解：案例5圆的常用性质包括直径所对的圆周角为直角、垂径定理，圆幂定理，通过线段之间的长度关系或比例关系，可以求解线段的长度问题。案例6借助圆的几何性质求解3.加强几何条件代数化分析案例7是否有必要求点Q的坐标？3.加强几何条件代数化分析案例7引起复杂运算的原因是什么？方法二:定义视角优化（设而不求）方法三：向量视角向量的运算可以把垂直、平行、夹角等几何关系转化成具有特定结构的代数式，而这些特定结构也是几何眼光的观察对象和运算思路的分析入口。方法四：等面积视角案例8距离视角向量视角距离视角——直接运算一定要算距离吗？向量视角——优化运算几何视角——优化运算如何求面积？案例9.（九省联考）H是否有必要求点G的坐标？面积割补如何表示重心的关系式？案例10通性通法视角平面几何视角向量视角常见的几何条件代数化策略几何条件代数关系线段中点中点坐标公式，线段的比例关系线段的长弦长公式，向量的模线段之比点的坐标之比三角形面积面积割补面积之比线段之比夹角向量夹角，余弦定理，两角差的正切三点共线向量共线两边垂直向量数量积为0，斜率之积为-1，向量投影，构造圆常见的几何条件代数化策略几何条件代数关系锐角、直角、钝角向量数量积倍角、半角、平分角角平分线性质、夹角或到角公式等角比例线段或斜率公式直线平行斜率相等，向量平行两边相等横（纵）坐标差相等

为平行四边形

互相平分

或4.挖掘题目中的几何背景案例11几何背景解析几何的本质是运用坐标法研究几何问题，对学生运算能力的要求较高，而结合几何性质是可以优化运算。实践中，有的老师热衷于用平面几何的方法讨论解析几何中的问题，有的老师把坐标法简单化为“算”，这都背离解析几何的思想。观察和提取变化过程中的几何不变关系和几何不变量，是解析几何中数学运算的内在要求，是几何眼光在更深层次的运动。

解析几何的学科特征就是“算”，而难点也在“算”。如何突破运算的瓶颈，提高优化运算求解的能力，提升数学运算素养，是我们数学教师时时刻刻都需要研究的课题。解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光，分析清楚几何图形的要素及基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图