2023-2024学年上海市普陀区高二年级下册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年上海市普陀区高二下册期中数学试题

一、填空题

1.在空间直角坐标系中，过M（4,5,6）作）OZ平面的垂线，N为垂足，则点N坐标为_

【正确答案】（0,5,6）

【分析】空间中点在yθz平面的投影坐标取X=O即可.

【详解】在空间直角坐标系中，点"（4,5,6）,

过M（4,5,6）作yθz平面的垂线，N为垂足，则N（0,5,6）.

故（0,5,6）

2.在平面直角坐标系中，曲线卜=Wc°sθ（。为参数）的普通方程是______.

y=sin6

【正确答案】—+/=1

3

【分析】利用sin2e+cos2®=l,可得出普通方程

χ=COSθ~/='=COSθ

.:为参数），BP√3

!y=sm'y=sind

由sin?e+cos?6=1,可得：一+y2=1

3

故工+丁=1

3

本题考查将参数方程化为普通方程，属于基础题.

3.尸是椭圆片+片=1上的动点，作POLy轴，。为垂足，则PD中点的轨迹方程为

169

【正确答案】—+ɪɪl

49

【分析】设点P的坐标为（如％）,可得出点。（0,y°）,设PO的中点为M（X,〉），利用中点

坐标公式可得出卜=寸，可得F°=2∖代入等式K→K∙=1化简可得Po中点的轨迹方程.

【详解】设点尸的坐标为CW°）,则与+曰=1,由于尸O∙Ly轴，〃为垂足，则。（0,%）,

169

¾=2x

设Po的中点为例(χ,y),则2,可得

,y=y

J=No0

；：：；代入等式率*1可得答吟”

将4+v

故答案为=1

49

方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法:

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出

方程；

(3)相关点法：用动点。的坐标X、y表示相关点尸的坐标与、%,然后代入点P的坐标

(七,％)所满足的曲线方程，整理化筒可得出动点。的轨迹方程：

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与某一参数

/得到方程，即为动点的轨迹方程；

(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的

轨迹方程.

4.已知等差数列｛%｝的前三项分别为α-l,2α+l,α+7,则这个数列的通项公式为一

【正确答案】¾=4n-3

【分析】根据等差数列的性质可求出。=2,即可得出首项和公差，求出通项公式.

【详解】：等差数列｛为｝的前三项分别为“T2α+l,α+7,

2(2。+l)=6i-l÷tz÷7,解得α=2.

.∙.q=l,∕=5,%=9,.∙.数列｛4,,｝是以1为首项，4为公差的等差数列，

q=1+(〃-1)X4=4〃-3.

故答案：aιl=4n-3.

5.若平面ɑ的一个法向量为M=(2,-6,S),平面夕的一个法向量为〃=(1/2),且α〃夕,

则ST=.

【正确答案】7

【分析】由α〃夕，得二〃7,利用向量坐标平行计算公式代入计算.

【详解】由ɑ〃6，得嗫〃；,，所以3=^=9,解得f=-3,s=4,.∙.sτ=7.

1t2

故7

6.已知数列｛%｝的前〃项和公式S“=〃2-2〃+l,则其通项公式q=.

O,M=I

【正确答案】4=

2n-3,n≥2

【分析】利用关系式，当〃≥2时，4=S〃-SW当〃=1时，Ο1=S1,即可求解.

【详解】由题意，数列｛“〃｝的前〃项和公式E,=∕-2"+l

2

当“≥2时，¾=Sn-5n.,=√-2;?+1-(n-l)+2(n-l)-l=2π-3,

又由当〃=1时，a,=S,=I2-2×1+1=0,

所以数列｛“〃｝的通项公式为4=；qS

2n-3,n≥2

O,n=l

2n-3,n≥2

7.用数学归纳法证明"("+1)(〃+2)(〃+3)5+")=2"∙l∙3(2〃-1)"("eN,)时，从“〃=%至［］

〃=&+1”时，左边应增添的式子是

【正确答案】23+1)

3

［分析】左边应增添的式子是,整理得到答案.

一:(κI'+(I;)(*Z+)2;);(κj)+;3)、伏(κ+κ)

故2(2k+1)

8.已知正方体ABCQ-ABCIA的棱长为4,AM=3MG,点N为片B的中点，则

IMNI=.

【正确答案】√H

【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.

【详解】如图所示，以点。为坐标原点，以DA,DC,。。所在直线分别为X,九Z轴,

建立空间直角坐标系短一孙z.

因为正方体ABC。-AAC。的棱长为4,AM=IMc,点N为片8的中点,

所以Λf(3,l,l),N(4,4,2),故IMNl=√i7百万=√∏.

.∕⅛c,

j7I,

故答案为.√ΓT

MP则通项公式为=_____.

9.在数列｛%｝中，4=3,a,,^=an+-

【正确答案】4-1

n

【分析】利用累加法求数列的通项公式,同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.

【详解】因为凡+|=4+总刀，即可+11

~a=-------77

nnn+∖

则―W，

I1

1I

¾-2-⅛-3=∙^-∙^

11

…=5-§

1

%-%=11-2，

aa

所以%%T—n-2+n-2~。〃一3+"∖-a3-a2+a2-al

IlllllIlI

=.——+,—.+——,+H---------F1----,

n-∖n〃-2n-∖n-3n-2232

即α,,一α1=I-L,

n

又因为《=3,所以a“=l-^+αl=4-1

nn

故4」

n

10.已知向量α=(2,l,3)力=(-l,2,-2),c=(7,6"),若向量4、b、I共面,则实数4等于一.

【正确答案】10

【分析】根据向量共面得到c=ma+nb,代入数据计算得到答案.

【详解】因为向量a、b、C共面，所以存在实数加、〃使得c=ma+nb∙

7=2m-nιn=4

所以，6="?+2〃<n=l,所以；I=I0.

λ=3m-In2=10

故10

11.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，

到两个定点AB距离之比是常数Λ(Λ>0,∕l≠1)的点M的轨迹是圆，若两定点A,B的距离为

3,动点M满足∣M4∣=2∣M即，则M点的轨迹围成区域的面积为.

【正确答案】4万.

【分析】建立平面直角坐标系，根据∣M4∣=2∣M8∣,求得”点的轨迹方程，结合圆的面积公

式，即可求解.

【详解】以A为原点，直线AB为X轴建立平面直角坐标系，

因为两定点AB的距离为3,可得8(3,0),

设M(x,y),因为动点M满足∣M4∣=2∣MB∣,可得-j]∙+>==2,

√(x-3)^+/

整理得V+y2-8x+12=0,BP(x-4)2+y2=4,

所以点M的轨迹围成区域的面积为S=;rx2?=4".

故答案为.4;T

12.对于数列｛4｝,若存在正整数加，使得对任意正整数"，都有4+",=〃,“(其中4为非

零常数)，则称数列｛4｝是以加为周期，以4为周期公比的“类周期性等比数列若“类周期性

等比数列'’的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列｛为｝前21项的和为一.

【正确答案】1090

【分析】确定q+4=3氏，数列｛4｝从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计

算得到答案.

【详解】an+4=3a,,t故%=。q=3,由题意得数列｛q｝从第二项起连续四项成等比数列,

a2+a3+a4+a5=1+2+3+3=9,^=3,

I(%+%+/+%)(l-45)]I9x(14)

则数列｛%｝前21项的和为巧=1090.

"q1-3

故]090

二、单选题

13.原点与极点重合，X轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为（-2,-2后）的点的极坐标是（）

A.（4,ɪ）B.（4,孚）C.（-4,-寻）D.（4,耳）

【正确答案】B

【分析】根据极坐标公式，求出p、夕即可.

【详解】解：∖∙χ=-2,-2√3;

:∙P=ʌ/ɪ2+y2=J（-^2）2+（-2月）2=4;

「21

又x=pcosθ=-2,.*.cosθ=--=—，

P2

且。为第三象限角，

・・U-《一;

该点的极坐标为（4,ʃ）.

故选：B.

14.数列也｝中，＜2n+∣=2al,+1,al=∖,则必=（）

A.32B.62C.63D.64

【正确答案】C

【分析】把%+∣=2α,,+1化成％+∣+l=2（q+l）,故可得｛%+1｝为等比数列，从而得到《的

值.

【详解】数列｛%｝中，an+l=2an+∖,故/+l=2（a,,+l）,

因为“∣=l,故4+l=2≠0,故4,+l≠0,

所以'⅛T:=2'所以｛4+l｝为等比数列，公比为2,首项为2∙

所以”,,+l=2"即4=2"-l,故&=63,故选C.

给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见

的递推关系和变形方法如下:

（1）G=,取倒数变形为匚=幺；

aa

<7¾-ι+P,,n-lP

（2）a,,=pa,τ+q（pq≠0）,变形为今=黄-+力（四≠O,P≠1）,也可以变形为

一言

15.已知数列｛4｝是等差数列，若为+出〉。，¾,∙β∣l<θ,且数列｛%｝的前"项和S“有最

大值，那么当S”>。时，”的最大值为（）

A.10B.11C.20D.21

【正确答案】C

【分析】由题结合等差数列的性质可得4。>0,01∣<0,即可判断当S“>0时，”的最大值.

【详解】由等差数列的性质，知为+α,2=4+%>>0,又“∣o∙"u<0,，即）和即异号.

；数列｛%｝的前〃项和S（I有最大值，.∙.数列｛4｝是递减的等差数列，.∙.q（>>0,4<0,

%=21x（：+%）=21即<o,邑。=迎产=10（%+&）>0,

.∙.当S,,>0时,的最大值为20.

故选：C.

16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖席A-BC。中，

45上平面BCZxBCLCD,ELAB=BC=CD,M为AQ的中点，则异面直线BM与Cz）夹

角的余弦值为（）

A.—B.巫C.—D.—

3434

【正确答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与

异面直线夹角的关系可以求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】画出四面体A-BcD,建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.

解：四面体A-88是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示

建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

B(0,0,0),C(2,0,0),0(2,2,0),M(1,1,1)

BM=(1,1,1),CD=(0,2,0)

EBMCD2√3

-

cos(tBM,CDy=---------；r=»=—=—

∣BM∣∙∣CD∣√3×23

因为异面直线夹角的范围为(θ,g],所以异面直线与C。夹角的余弦值为立

I2」3

故选：C

三、解答题

x=a+cosθ

.,(6为参数).以坐标原点

{y=Sin夕n

为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为PSin(。-；)=告.若

直线/与圆C相切，求实数。的值.

【正确答案】a=-l+√2.

【分析】将圆的参数方程转化为直角坐标方程，将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，

结合点到直线的距离公式即可求解.

I九-a+COS。

【详解】圆C的参数方程为一.八(。为参数)，化为普通方程(x-α)2+V=ι.

[y=Sin夕

直线/的极坐标方程为「sin("?)=孝，即白夕sin。-[夕CoSe=辛，所以直角坐标方程

χ-y+l=0.

因为直线/与圆C相切，所以%1=1,

解得”=-l±√L

18.如图，在四棱锥P-ABC£＞中，已知棱AB,AD,AP两两垂直且长度分别为1,2,2,

ABHCD,AB=-DC.

2

（1）若PC中点为M,证明：BM〃平面PAD；

（2）求点A到平面PCO的距离.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）√2.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线BM的方向向量和平

面PAD的法向量”，证明8M∙"=0即可；

（2）利用待定系数法求出平面尸DC的法向量，求出Ao的坐标，然后利用点到直线的距离

公式求解即可.

【详解】解：（1）证明：分别以A8,AD,AP所在直线为X轴，V轴，Z轴建立空间直角

坐标系如图所示，

因为AB,AD,AP的长度分别为1,2,2,S.AB=DC,

则4(0,0,1),8(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

又M是尸C的中点，所以M(LI,1),

所以BM=（0,1,1）,由已知可得平面PA£＞的一个法向量为〃=（1,0,0）,

则BW∙"=Oxl+lxO+lxO=O,

所以BMJ.〃，又BMa平面P4。，

所以aw//平面上M>;

UU

(2)解：设平面FoC的法向量为m=(x,y,z),

ULHI

因为CO=(-2,0,0),PD=(0,2,-2)，

rn-CD=O-2x=0

则有，,即

m∙PD=O2y-2z=0

令y=l,则X=O,z=l,故5=(OJl),

又AQ=(020),

LLl.,,,AD`m0×0+l×2+l×0FT

所以t点A到平面PCZ)的距离d=———=-----------『---------=√2.

∖m∖√2

方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角

坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量：（3）设出相应平面的法向量,

利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；

（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCO为菱形，P4，平面ABC。，ZABC=60o,E

为BC的中点，f为PC的中点.

（1）求证：平面AEf"L平面PAz）;

（2）若R4=AB=2,求二面角A-EF-C的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵一返

35

【分析】（1）通过证明A£_LA。和PAj.AE得AE_L平面RAQ,再利用面面垂直判定定理

求解；

（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解∙

【详解】（1）因为底面ABCO是菱形，ZABC=60。，所以△ABC为等边三角形,

所以AE平分ZBAC,所以ZEAD=（180°-60°）-半=90°,

所以AE_LAD,

又因为PAl.平面ABCQ,所以B4J_AE,且∕¾cAD=A,

所以AE_L平面PAD,又AEU平面AEF,

所以平面AEF±平面PAD；

（2）据题意，建立空间直角坐标系如图所示：

因为B4=ΛB=2,所以

4（0,0,0）,网后,0,0）,尸（0,0,2）,《在1,0）,所以/件3』），

LU

设平面AE户一个法向量为4=α,y∣,zj,平面£FC一个法向量为n2=（x2,y2,z2）,

因为AEMO，°)，AH.M，H

ʌ/ɜɪɪ=0..

所以r，取y=2,所以4二一1,所以勺=(02-1),

√3xl+y1+2zl=0

/31EC∙M=0

又因为EC=(OJO),E尸=ɪ,-,l2

EF∙H2=0

J=0

2LU

所以《√31，取再=2,则Z2=g,所以％=(2,0,网,

一-γx2+^y2+z2=0

Tt,”，—■^3—Jl05

所以…,…丽=百万=M

由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为一理1.

20.如图，6(占,)。号(占，％)，，K(x“，y“)(0<X<%<<y")是曲线C：y2=3x(y≥0)上的〃

(2)猜想点4(4,0)的横坐标。“关于”的表达式，并用数学归纳法证明.

【正确答案】(1)4=2,%=6,“3=12；(”“--)2=2(%+q,)

(2)%="("+I),证明见解析

【分析】(1)根据几何关系和抛物线的标准方程代入即可求解：

(2)根据数学归纳法即可求解.

【详解】(I)解：设［卜,后),"。，贝""Y=3∕,解得"1,所以A(2,0),所以6=2,

设2(2+也"〃｝加>0,则(行〃?)-=3(2+m),解得加=2,

所以4(6,0),所以生=6,

设6+>。，则=3(6+/?),解得〃=3,

所以A(12,0),所以％=12,

设Pn(¾-,+Λ√3Λ),2>O,所以4(%+240),

所以，(网W*+?整理得(",~/=2(%+q).

an=an^+2λ

(2)根据4=1x2,出=2x3,%=3x4,猜想="("+I).

下面用数学归纳法证明a,,=n(n+1):

①当”=1时，猜想显然成立.

②假设当“=A(ZeN)时，猜想成立，即4=以无+1),

2

则当〃=%+1时，因为(％-alt)=2(4+%),

2

所以[ali^-k(k+1)]=2[k(k+1)+aM],

2

BP⅛+1-2(⅛+⅛+Da1+Mk+l)∙[(⅛-l)(fc+2)=0,

解得%=("+1)(%+2)(4M=k(M-l)<做不合题意，舍去)

即当"=Z+1时，猜想也成立.

由①②得对一切的〃eN”猜想均成立.

21.已知公比大于1的等比数列｛4｝的前八项和为S),,且,=14,%=8∙

(1)求数列伍“｝的通项公式；

⑵若数列｛〃,,｝满足。，求使得〃川≤"成立的所有〃的值；

n--7

⑶在an与〃向之间插入n个数,使这“+2