高考数学理北师大版一轮复习测评9-2空间图形的基本关系与公理

核心素养测评四十五空间图形的基本关系与公理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在下列命题中,不是公理的是 ()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为aα,所以P∈α,因为bβ,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,即EF与CD所成角为30°.4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 ()A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是 ()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行【解析】选D.连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D1,因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.6.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个说法:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是 导学号()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.二、填空题(每小题5分,共20分)7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小是________________________.

【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=QUOTE,∠AOC=QUOTE,所以∠BOC=QUOTE,所以△BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角的大小为45°.答案:45°8.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成________________部分.

【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7部分.答案:79.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________________.

【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K=QUOTE=QUOTE,MK=QUOTEDN=QUOTE=QUOTE,A1M=QUOTE=6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.答案:90°10.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a平面α,b平面β,则a,b一定是异面直线;⑤若a,b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是________________(只填序号). 导学号

【解析】由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;aα,bβ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.答案:①(15分钟35分)1.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,QUOTE和a,且长为a的棱与长为QUOTE的棱异面,则a的取值范围是 ()A.(0,QUOTE) B.(0,QUOTE)C.(1,QUOTE) D.(1,QUOTE)【解析】选A.如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=QUOTE,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a>0.取CD中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE=QUOTE=QUOTE,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2×QUOTE>a,解得0<a<QUOTE.2.(5分)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°【解析】选C.截面PQMN是正方形,可得QM⊥PQ且PQ∥MN,所以PQ∥平面DAC,又PQ平面BAC且平面DAC与平面BAC的交线为AC,所以PQ∥AC,同理QM∥BD,可得AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC,可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45°,故D正确,C是错误的.【变式备选】如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是____________.

【解析】还原成正四面体ADEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE.因此正确结论的序号是②③④.答案:②③④3.(5分)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.方法一:因为α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以m∥B1D1.因为α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,所以n∥CD1.所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.因为△B1D1C为正三角形,所以∠B1D1C=60°,所以m,n所成的角的正弦值为QUOTE.方法二:由题意画出图形如图,将正方体ABCDA1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为QUOTE.4.(10分)已知:空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=QUOTEBC,CH=QUOTEDC.求证: 导学号(1)E,F,G,H四点共面.(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=QUOTEBC,CH=QUOTEDC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以三直线FH,EG,AC共点.5.(10分)如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=QUOTE,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 导学号【解析】如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD,所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EA