文科数学2024届新高三开学摸底2023高二年级下册期末试题及答案解析

文科数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析

文科数学

本试卷共22题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

I.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求.

1.已知全集U=R,集合A=[φ>3},B={x∣2<x<4},则图中阴影部分表示的集合为()

C.(2,3]D.[-2,3)

【答案】C

【分析】根据阴影部分，可以表示为ACB在集合B下的补集，利用补集的运算性质即可.

【详解】因为A={x∣x>3},B={x∣2<x<4},则ACB={x∣3<x<4},由韦恩图可知，阴影部分表示的(AB).

则3(AcB)={x∣2<X≤3},即(2,3].

故选：C

2.复数Z==,则[的虚部为

1+I,•

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

【解析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z,则答案可求.

【详解】依题意，z==i=*2r=W=τ,W=i，复数三的虚部为i,

1+z(l+z)(l-z)2

故选D∙

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

3.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在

35μgi加以下空气质量为一级，在35μgI而~75〃g/m,之间空气质量为二级，在75〃g//以上空气质量为超

标.如图是某地H月1日到10l：lPM2.5日均值（单位：μg∕m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）

A.这10天中有4天空气质量为一级B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日

C.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低D.这10天的PM2.5日均值的中位数是45

【答案】D

【分析】由折线图逐一判断各选项即可.

【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，U月5日PM2.5日均值为82,显然最大，

故B正确，从5日到9日，PM2.5日均值分别为:82,73,58,34,30,逐渐降到，故C正确，中位数是空尹=47,

所以D不正确，故选D.

【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.

4.若sin（α+二）=’,则COS（C+生）=（）

633

A.-B.--C.-D.+-

3399

【答案】B

【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.

【详解】cos（α+—）=cos（α+—+—）=-sin（α+-）=-ɪ

36263

故选：B

5.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以

神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=ZlQV,其中L表示每一轮优化时使

用的学习率，LO表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示衰减速度.已知某个指数

衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4,则学习

率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2=0.3）（）

A.75B.74C.73D.72

【答案】C

【分析】由已知可得0=3,再由0.5'€)卷<0.2,结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.

IQ4

【详解】由题设可得050^=0,4,则。=£，

G18

2⅛518(lg2-lg5)18(2Ig2-l)18(2×0.3-l)

所以0.5Xu<0.2,即G>l8log4彳==72,

W5.4-2lg2-lg5-31g2-l3×0.3-l

所以所需的训练迭代轮数至少为73次.

故选：C.

6.等差数列｛%｝中，已知∣%I=Ml且公差”>0,则其前〃项的和S,,取得最小值时〃的值为

A.9B.8C.7D.10

【答案】A

【详解】∙.∙∣%∣=∣%∣且公差d>。，

Λ-a1=at2,从而为+42=°∙

•∙a<)+%o=°，

••内q())。,

：.当数列｛%｝前«项的和S,,取得最小值时〃的值为9.选A.

7.已知函数/(x)的部分图象如下所示，则f(x)可能为()

COSX+1“、xcosx+sinX

A./M=B.f(x)=-----------

2x+2-x2Λ+2-Y

COSX+Rsinx〜“、cosx+ɪsinX

C.∕ω=D./(X)=-------------------

2x-2-x2x+2-x

【答案】D

【解析】结合图象的特点，分别结合选项排除，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为R,函数的图象关于)'轴对称，则函数为偶函数,

cos%÷xsin%

则选项C中，函数/(X)=的定义域为｛mX≠0｝不符合题意，排除G

2—2T

-ɪɪɪFM.、TCoS(—X)+sin(T)xcosx+sinx

对于B11中，函数f(-χ∙)=-----产石-----=—-2,+2T=-/*)，

则函数”x)为奇函数，不符合题意，排除B；

对于A中,函数AX)=誓2°恒成立,不存在负值,不符合题意’排除A；

对于D中，函数/(T)=CoS(苓岸"三)="?+黑n£=f(χ),则函数/(x)为偶函数，且函数值可正、

乙I乙乙I乙

可负，符合题意.

故选：D.

8.设命题p:/(X)=InX+2χ2-皿+1在(0,+∞)上单调递增，命题〃：机＜4,则。是4成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求导得：f∖x)=-+4x-m,由已知可得：L+4X-∕M≥0在(0,+oo)上恒成立，即机≤'+4x,由

XXX

y^-+4x≥2.l--4x=4,可知：m≤ymin=4,问题得解.

XVX

【详解】由已知可得：r(X)=L+4x-m,

X

/(x)=lnx÷2X2-7∕IX÷1⅛E(0,+∞)上单调递增,

.∙.,+4x—mNo即〃？≤'+4x在(0,+∞)上恒成立,

XX

令y=』+4x,x>0

X

),=l∙+4x≥2.-∙4x=4,当X=ɪ■时等号成立，

XVx2

・・•机≤Xnin=4.

所以〃是夕成立的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题考查了恒成立问题和基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题.

9.已知定义域为R的奇函数满足小+∣)=∕(H),且当0≤x≤l时，/(x)E则/图=()

【答案】B

【解析】根据/(χ)满足(+∣)O)从而得出了图T-再根据“X)是奇函数,且当(≡ɪ

时，AX)=X3,从而得出的值，即可得解.

【详解】解：依题意，/(X)满足∕[χ+∣)=∕(;-X

又是定义域为R的奇函数，/(-x)=-"x),即T¥=

因为当O≤x≤l时，/(x)=χ3,出=(；)=［，

故选：B

【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题.

10.曲线V=Xlnx上的点到直线x-y-2=0的最短距离是()

R

A.√2B.-C.1D.2

2

【答案】B

【分析】求出曲线与已知直线平行的切线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解作答.

【详解】依题意，曲线V=Xlnx与直线x-y-2=0相离，

设曲线y=xlnx在点(后,%)处的切线与直线彳-〉-2=0平行，

求导得yC=lnx+l,则y'L=ln/+l=l,解得Λ0=1,有％=0,切点坐标为(1,0),

因此切点(1,0)到直线χ-y-2=o的距离为"=仁"斗=《，

√l2+(-l)22

所以曲线y=xlnx上的点到直线x-y-2=0的最短距离是也.

2

故选：B

11.已知抛物线。：丁=2。匹5>0)的焦点为/，准线为/,点A是抛物线C上一点，AOL/于。.若

AF=2,NDAF=60,则抛物线C的方程为()

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=8xD.y2=χ

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义求得IMl=2,然后在直角三角形中利用NQV=60。可求得。=2,从而可得答

案.

【详解】如图，连接/)尸，设准线与X轴交点为〃

抛物线U"2px(p>0)的焦点为F仁,。｝准线/：X=/

又抛物线的定义可得IAFI=M。，又N04F=6O,所以皿尸为等边三角形，

所以IZ)Fl=IAFI=2,ADFM=60

所以在RtAD核中，∣M=2∣MF∣=2p=2,则2=1,所以抛物线C的方程为丁=2x.

故选：A.

12.已知可导函数/U)的导函数为/(x),若对任意的XeR,都有了。)>八幻+1,且/(0)=2021,则不

等式/(x)-2020∕<l的解集为()

A.(-∞,e)

B.(-∞,2021)

C.(0,+∞)

D.(2020,+∞)

【答案】C

【分析】构函数g(χ)=%二ɪ,由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.

e

【详解】构造函数g(x)=萼二ɪ,则g①f(X)-/(χ)+ι<0,

ee

•••函数g(x)在R上单调递减，∙.∙/(O)=2021,.∙.g(0)=驾二1=2020,

e

由/(x)-2020e'<1得"?一1<2020,Λg(x)<g(0),

e

Y函数g(x)在R上单调递减，.∙.x>0,

故选：C.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分洪20分.

’x+y≤3

13.若Xj满足约束条件，X-y≤2,则z=2x+y的最大值为.

x≥]

【答案】y

【解析】如图,画出可行域,y=-2χ+Z表示斜率为-2的一组平行线,当Z=O时,

首先画出初始目标函数y=-2x.当y=-2x平移至点C时,z取得最大值,

联立仁；二；得、=”=；抑ClMl却ZM=2χ∣+g*.

14.已知｛/｝是公比为4(4>0))的等比数列,且出吗,4成等差数列,则4=.

【答案】1

【解析】在等比数列｛«„｝中,右，的，%成等差数列,则2%=%+/，即2a4=a2+α√,fl∏a2≠0,整理得

√*-2q2+1=0,因为q>0,故解得夕=1.

15.已知/(x)=sin0x(0>θ),若在IOm上恰有两个不相等的实数小。满足“。)+〃》)=2,则实数。的取

值范围是.

【答案】［5,9)

【解析】因为O≤x≤g,所以0≤ox4胃,因为在日，外上恰有两个不相等的实数。、匕满足/(a)+fS)=2,

且/(x)=sin5(°>0),所以,函数"x)在用上恰有两个最大值点,所以,日啜碟,解得5≤o<9.

因此,实数。的取值范围是［5,9).

16.已知抛物线V=4x的焦点为居点RQ在抛物线上,且满足NPFQ=I,设弦PQ的中点M到y轴的距离为

4则啰的最小值为.

d+1

【答案】1

【解析】由抛物线/=4x可得准线方程为x=-l,½IPFI=a,IQF∣=b,(a>O,b>0),由余弦定理可得

IPβ∣2=∣PF^+∖QF^-2∖PF∖∖QF∖CoSNPFQ=a2+b2-ab,

由抛物线定义可得P到准线的距离等于I尸尸I到准线的距离等于IQF\,

M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线X=—1的距离为T(IPFl+31)=g(a+。).

2222

…r、CCSl一KL→*,1z,、1.,IPQI,a+b-ah,(a+b)-3ab

则弦p。的中点”到y轴的距离〃=券+力-1,故E=4'G^=4X-^L,

,,,23(α+⅛)2

5La>0,h>O,.,.-Jab≤"",/.ab<("+"),贝!jIPQI-N4χ丝二ɪl=1,当且仅当。=匕时,等号成立,

24(d+Il(a+b)2

所以购的最小值为1.

4+1

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分).如图,在四棱锥「一ABCD中,底面4BCE>是边长为2的菱形,NR4f>=604C与8。交于点O,QP_L

底面ABCD,OP=√3,⅛E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF.

(1)求证：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱锥O-PEF的体积.

【解析】(1)因为底面ABCo是菱形4C与8。交于点。

所以。为AC中点，

点E是棱PA的中点产是棱P8的中点，

所以OE为三角形ACP的中位线,OF为三角形BDP的中位线,

所以OE”PC、OF”DP、

OEN平面OCRPCU平面DCPs.OEH平面DCP,

QoFa平面DCP,DPU平面DCP,：.OFH平面DCP.

而OECOF=O.OEU平面OfT7,0FU平面OEF.

・•・平面OEF〃平面PCD.

(2)因为底面ABCQ是边长为2的菱形./84。=60`

所以..84力为等边三角形，

所以OB=I,04=6

因为QPj_底面48CZ),

OAU底面ABCD,OBU底面ABCD,

所以OPJ_Q4,OP，O8,

所以/。4和一POB均为直角三角形，

所以PA=J(6/+(6)，=√6,PB=J(√3)2+12=2,

22+(√6)2-22底

所以cosZPAB=——一∙H=—=—，

2×2×√64

所以SpALgX2x向inNPAB='

设点。到平面际的距离为力,

根据体积相等法可知=KL,

所以JX——x∕2=!χL>∕5xl*5∕5,

3232

所以人限

•h=ɪ

8

故三棱锥O-PEF的体积为ɪ.

O

18.(12分)为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所

(1)求。的值以及这批产品质量指标的平均值;

(2)若按照分层的方法从质量指标值在［110,130)的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少有

一件的指标值在［120,130)的概率；

(3)为了调查AI两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了

部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质

量具有相关性.

A机器生产3机器生产

优质品20080

合格品12080

附:

P(K2≥Q0.0500.0100.001

k3.8116.63510.828

n(ad-bc)’

(α+⅛)(c+J)(α+c)(⅛+i∕)'

【解析】(1)由题图可知,0.005χ2χl0+aχl0+0.03χl0+0.04χl0=l,

解得α=O.02,

质量指标的平均值工=IO5x005+115x0.4+125x0.3+135x0.2+145x005=123.

(2)依题意,质量指标值在［110,120)的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在［120,130)的有3件,记为A、B、C.

则随机抽取2件,所有的情况为

(l,2),(l,3),(l,4),(l,λ),(l,B),(l,C),(2,3),(2,4),(2,Λ),(2,B).

(2,C),(3,4),(3,A),(3,8),(3,C),(4,A),(4,8M4,C),(A,8),(AC),(氏C)洪21件，

其中满足条件的为

(1,A),(1,3),(1,C),(2,A),(2,3),(2,C),(3,A),(3,3),(3,C),(4,A),(4,3).(4,C),(A,3),(AC),(民C),共15件，

故所求概率尸吟4

(3)完善表格如下：

A机器生产8机器生产总计

优质品20080280

合格品12080200

总计320160480

在本次试验中"≡u=黑黑无焉"

故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性.

TT

19.(12分)在.4?C中,/ABC=],点。,E在边BC上,N34)=ND4E=NE4C且3O=3,OE=5.

⑴求AB；

(2)求AAEC的面积.

.„-AB×AZ)sinZDAB,-×AB×BD

ςBD3

【解析】（）由题意知=γ-------------------------=1也=γ---------------

1~DE

AELAEXADsinZDAEδAED-×AB×DE5

22

设A8=3x,所以AE=5x.

在Rt∆ABE中,8E=4x=8,

所以X=2,从而AB=3x=6.

(2)设/3AD=/ZME=NE4C=。,

“Λ+BD31

在RtAABDl1,tana=——=一=一，

AB62

.ʌ,BE84

在RtZSABE中，tan2]=——=—=—»

AB63

14

—I—

tancr÷tan26z∏

所以tan3α=23

1-tan6ztan2«1.1×42^

23

RrRr11

在RtΔABC中,由tan3α==——=—,得BC=33.

AB62

所以EC=25,

从而Z∖AEC的面积为,EC∙AB=→25×6=75.

22

20.（12分）已知双曲线C-£=1（。＞0）的左、右焦点分别为耳，鸟,4是C的左顶点,C的离心率为2.设

过工的直线/交C的右支于p、。两点,其中P在第一象限.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线AP、AQ分别交直线x=g于V、N两点,证明：•叫为定值;

(3)是否存在常数4,使得=NPA名恒成立？若存在,求出力的值；否则,说明理由.

【解析】(1)由题可得α=l,∙=2,故可得c=2,则U=C2-"2=4T=3,

a

故C的标准方程为d-¢=1.

3

(2)由(1)中所求可得点A,a的坐标分别为(TO),(2,0),

乂双曲线渐近线为y=±辰,显然直线PQ的斜率不为零，

(用

故设其方程为X=玖y+2,m≠±M,

\/

联立双曲线方程χ2-li=i可得：(3,"-1)/+12,町+9=0,

设点P,Q的坐标分别为(χ,,y1),(χ2,γ2).

∖2m9

则llllX+%=-τ-ι-r，y%=τ-^-τ，

37n-15m-1

x1+x2=∕n(y1+y2)+4=-^-j-,

2_/∖.-3m~—4

XlX2=%χ%+2〃?(％+%)+4=";2一J；

JlTl—1

又直线AP方程为：y=Trτ(χ+l),令X=4,则y=f∙T7,

-

∙ΛI-t*1，44]I1

故点M的坐标为-ɪ-ɪ；

(22x,+lj

直线AQ方程为：y=∕(x+l),令X=4,则y=l∕,

•^2+ɪ2ZX)^∙ɪ

V、

故点N的坐标为；

(22x2+1J

πl(33%1133/1

则MF,2∙NE,=---------1--------

2(22xi+∖22x,+l)

9

,9.9K%_99W∑

------1--------------------------------------------------1---------------------------------------1-----------------

44xix2+x1+x2+144-3λ∏'-44十］

3m2—13/—1

999c

44-9

故g∙Ng为定值0.

(3)当直线尸。斜率不存在时，

2

对曲线C:/-匕=1,令X=2,解得y=±3,

3

故点P的坐标为(2,3),此时NPEA=90。，

在三角形PKA中,I伤卜3,∣P闾=3,故可得NPAB=45。，

则存在常数A=2,使得^PF2A=2NA4g成立；

当直线尸。斜率存在时，

不妨设点尸的坐标为(x,y),XH2,直线PF?的倾斜角为α,直线PA的倾斜角为β.

则NPEA=%-α,NPA用=£,

假设存在常数X=2,使得^PF2A=2ZPAF2成立,即万一α=2〃.

11

则一定有tan(^-α)=-tanα=tan2β=J：,也即一如；=^⅛":

1-tan/7-l-k；A

?y

y2kPA_χ+l_2y(x+l)

225

乂FL一二Tl-⅛^1/~(χ+n-v

(x+l)2

2

又点P的坐标满足χ2-ɪ=l,则y2=3χ2-3,

3

卜,2%=2y(x+l)=2y(x+l)

“1-编(x+l)2-y2(x+l)2-3x2+3

=2y(x+l)=2y(ι+l)=__y_

-2x~+2x+4-2(x-2)(x+l)x—2

=Mg；

故假设成立,存在实数常数Λ=2,使得ΛPF1A=2NPA后成立；

综上所述,存在常数4=2,使得gA=2NPA玛恒成立.

21.(12分)设函数.∕∙(x)=ex-gαχ2-∕(θ)x.

(1)从下面两个条件中选择一个,求实数〃的取值范围；

①当x≥0时J(X)≥1;

②f(x)在R上单调递增.

(2)当">1时,证明：函数/(x)有两个极值点方,赴(不<天)，且々-玉随着”的增大而增大.

【解析】(1)令X=O,则"0)=1,所以/(x)=e*-g以2-x,则f'(x)=e"-6一1,

令A(X)=/(幻,则MX)=e*-α,

选①：当α≤l时,因为x≥0时e≥l,Z'(x)20,所以/'(X)在［0,+s)匕单调递增，

又/'(0)=0,所以当x≥0时,/'(x)≥0,说明"x)在［0,+向上单调递增，

所以“x)河(。)=1,符合题意；

当“>l时,ln4>0,当0<x<ln4时,&'(x)<0,所以/'(x)在(O,Ina)上单调递减，

又/'⑼=0,所以当0<x<lnα时,r(x)<O,说明/(x)在(0,Ina)上单调递减，

所以当0<X<lnαH寸J(X)</⑼=1,此时不符合题意；

综上,实数”的取值范围(e1］.

选②：/(x)在R上单调递增,所以/'(X)≥0在R上恒成立，

当α≤0时K(X)>0,所以/'(x)在R上递增,

又/'(0)=0,所以当χ<0时,r(χ)<o,所以“X)在χ<0上单调递减,不符合题意；

当”>0时,当x<ln40寸,M(x)<0,所以r(x)在(-8,Ina)上单调递减，

当X>Ina时,MX)>0,所以f'(x)在(Ina,田)上单调递增，

从而/(x)>/(lna)=a-αlnα-l,⅛∕,(x)≥0⅛R上恒成立,得α-alnα-l≥0,

令屋4)=4-〃11〃-1，8，(4)=-111。.说明g(。)在(0,1)单调递增,在(l,+∞)单调递减，

所以g(4)≤g⑴=0,当且仅当4=1时取得等号,故α=L

综上,实数”的取值范围{1}.

(2)当a>l时Ina>0,当X<Ina时k'(x)<0J'(x)在(-∞,Inα)上单调递减,又/'(0)=0,

当x<O时,砍x)>0,说明/(x)在(-8,0)上单调递增，

当0<X<Ina时,(x)<0,说明/(x)在(O,Ina)上单调递减，

所以Xl=O为极大值点.

由(1)有e"≥x+l>x,则e*=e2e2>二，

4

所以当x>l时,有∕,(X)=6Λ-0r-l>^--(α+l)x,

所以当x>4(α+l)时,∕S")>0.

,

所以3X2e(lnα,4(α+1))使得∕(x,)=0.

当XW(Ina,W)时J(X)<0,当x∈(j⅛,4(α+l))时,井㈤>0,

所以X=X2为极小值点，

综上,函数f(X)有两个极值点4，%；

,e--1

其中X=X2满足f'(w)=O,所以"=一^—,

设MX)=一(Λ∙>0).则”(X)=e"(e：：xT).

由(1)知e--r+l,所以"@"。,〃⑴单调递增，

所以