2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入

数学元素，下列大学校徽内圆的图案是轴对称图形的是（）

6

a

c.

2.下列运算正确的是（）

A.2a+3a=5a2B.a-a-a=3a

(

C.0(3)2-a5D.a(m+n)=am+an

3.如图，直线且Nl=70。，贝叱2的度数为（）

A.95°

B.100°

C.110°

D.120°

4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）

A.(Q+3)(a—3)——a2—9B.m2—4=(m+2)(m—2)

C.a2—b2+1=(a+b)(a—b)+1D.(%+5)(x-1)=x2+4x—5

5.如图，AC1BC,CDLAB,则点C至必B的距离为（）

A.线段BD的长度

B.线段力。的长度

ADB

C.线段CD的长度

D.线段BC的长度

6.计算：2302-60x230+302的结果是（）

A.200B,28900C.40000D.67600

7.为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航大知识克赛活动，经过几轮筛选，本班决定从

甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平

均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那

么应该选样（）

甲乙丙T

平均数98969895

方差0.421.60.4

A.甲B.乙C.丙D.T

8.在如图4x4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到AMiNiPi，则其旋转

中心可能是（）

A.点4B.点BC.点CD.点。

9.我国古代数学名著用'子算经J）中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人

步.问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若

每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）

z-x-y2=y+2y-2

zx・

-)3

!3BcD

A.91X9

l-x--y1+-y=y

<2

10.如图，两个正方形的泳池，底面积分别是Si和$2,且工+

S2=160,点B是线段CG上一点，设CG=16,在阴影部分铺上

防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（）

A.24

B.32

C.48

D.96

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.对于方程-2x+y-1=0,用含x的代数式表示y,则丫=.

12.当a+b=2,ab=-3时，则&2匕+。/）2=.

13.一位大学毕业生参加教师招聘，其笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、90分、

90分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为2：2：1.则该毕业生的综合成绩为分.

14.如图，三角形4BC的周长为10,。为边AC上一点，将三角形48c

沿着射线B。的方向平移3个单位长度到三角形EFG的位置，则五边形

48CGE的周长为.

15.如图，将三角形力BC绕着点4逆时针旋转得到三角形4DE,

使得点B的对应点。落在边4c的延长线上，若AB=12,AE=7.5,

则线段CD的长为.

16.在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将1

1I

下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做

12

“杨辉三角”.33

(cz+b)°=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

请观察这些系数的规律，探究（x+I）'的展开式中/项的系数是.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

因式分解：

（l）x2-16；

（2）x2-10x+25.

18.（本小题6.0分）

先化简，再求值：（X+1）2+（3+X）（3-X）,其中X=-2.

19.（本小题8.0分）

解方程组：

⑴断

⑵臂，丁.

20.（本小题8.0分）

完成下面的证明过程：

己知：如图，Z/4=70°,AAEF=110°,乙BFE=LC.

求证：zl=Z2.

证明：•••乙4=70。，N4EF=110。（已知），

•••乙4+4AEF=180°,

•••//（____），

又,：乙BFE=NC（已知），

•­.//（同位角相等，两直线平行），

•••//（）＞

.•・41=42（两直线平行，内错角相等）.

AB

21.（本小题8.0分）

综合与实践：

【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践

活动.

【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单

位：cm）,宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：

12345678910

芒果树叶的长宽比3.73.74.03.43.93.53.63.93.63.9

荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.41.9

【实践探究】分析数据如表:

平均数中位数众数方差

芒果树叶的长宽比3.72a3.9.0.0356

荔枝树叶的长宽比b1.95C0.0556

【问题解决】

（1）上述表格中：a=,b—

（2）甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大乙同学说：“从

树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍上面两位

同学的说法中，合理的是（填“甲”或“乙”）；

（3）现有一片长10cm,宽5.1cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？

并给出你的理由.

22.（本小题8.0分）

如图，直线48、CD相交于点。，Z.AOD=35°,。后_1,48于点。，。8平分”。尸.

⑴求“OF的度数；

⑵求“OF的度数.

E

23.(本小题8.0分)

阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2/一万一3的方法(如图).

第一步：二次项2/=%.2x；

第二步：常数项一3=-1X3=lx(-3),画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项一无即2%2一x-3=(x+l)(2x-

3);

像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘

运用结论：

(1)将多项式/一工一2进行因式分解，可以表示为/一X-2=；

(2)若3/+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值.

24.(本小题10.0分)

某超市第一次用6500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少60件，

甲、乙两种商品的进价和售价如表(利润=售价-进价)：

甲乙

进价(元/件)3735

售价(元/件)5042

(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？

(2)第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品.其

中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变.甲商品打折销售，乙商品按原价销售.第二

次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多300元，求第二次甲商品是

按原价打几折销售的？

25.(本小题10.0分)

如图1,直线4B、CD相交于点0,N40C：Z.BOC=5：7,将一直角三角板中60。角的顶点放

(1)在图1中，求4DON的度数；

(2)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转角a((T<aW360。)，恰好使得MN〃CD,求此时旋转

角a的大小；

(3)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转角a,当0<a<105。时，求4coM与4BON的数量关

系.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：B,C,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

4选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形.

故选：A.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】D

【解析】解：A.2a+3a=5a,故此选项不合题意；

B.a-a-a=a3,故此选项不合题意；

C.(a3)2=。6,故此选项不合题意；

D.a(m+n)=am+an,故此选项符合题意.

故选：D.

直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数基的乘法运算法则、单项式乘多项式分

别化简，进而得出答案.

此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数基的乘法运算、单项式乘多项式，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：如图:

vzl=70°,

43=180°-70°=110°,

vAB//ED,

42=43=110°

故选：C.

首先求出41的补角，再由平行线的性质得出42等于41的补角.

本题考查了平行线的性质和补角的定义，求出43的度数即可解决问题.

4.【答案】B

【解析】解：4等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

C.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

。.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：B.

根据因式分解的定义逐个判断即可.

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整

式的积的形式叫因式分解.

5.【答案】C

【解析】解：vCDLAB,

•••点C到4B的距离为是线段CD的长度.

故选：C.

根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离进行解答.

本题主要考查了点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题

的关键.

6.【答案】C

【解析】解：2302-60x230+302

=(230-30)2

=2002

=40000.

故选：c.

利用完全平方公式进行运算即可.

本题主要考查完全平方公式,解答的关键是熟记完全平方公式的形式:（a±b）2=a2+2ab+b2.

7.【答案】A

【解析】解：•••甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，

.••应从甲和丙同学中选，

•••甲同学的方差比丙同学的小，

甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学.

故选：A.

先比较平均数得到甲同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到甲同学的状态稳定，于是可决定

选甲同学去参赛.

本题主要考查了根据平均数和方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫

做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度

越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点

到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上.

连接PPi、NNi、分别作PPi、NN1、Al%的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就

是旋转中心.

【解答】

解：•・•△MNP绕某点旋转一定的角度，得到AMiNiPi，

.，•连接PPi、NN】、MM。

作PPi的垂直平分线过B、D、C,

作NN】的垂直平分线过B、A,

作MMi的垂直平分线过B,

•••三条线段的垂直平分线正好都过B,

即旋转中心是B.

故选:B.

9.【答案】B

专=y+2

【解析】解：依题意得收_9

故选：B.

根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于X,

y的二元一次方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：设正方形4BC0的边长为a,正方形BEFG的边长为b,则a+b=CG=16,a2+b2=

Si+S2=160,

所以〃=（a+b）2；a2+b2）

_256-160

二2

=48,

所以所需防滑瓷砖的面积为=gx48=24,

故选:A.

设正方形ABC。的边长为a,正方形BEFG的边长为b,则a+b=16,a2+b2160,利用ab=

（。+/＞）2-储+庐）求出ab的值,再计算;ab即可.

22

本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提.

11.【答案】2x+l

【解析】解：-2%+y-l=0,

移项，可得y=2x+l.

故答案为：2x+1.

根据-2x+y-l=0,通过移项，用含x的代数式表示y即可.

此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤:

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

12.【答案】—6

【解析】解：a+b=2,ab=-3,

a2b+ab2=ab（a+b）=-3x2=-6.

故答案为：—6.

利用提取公因式法进行因式分解，再将a+b=2,ab=-3代入计算即可得出答案.

本题考查了因式分解在代数式求值中的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单.

13.【答案】92

【解析】解：该毕业生的综合成绩为生笥爵竺=92（分），

故答案为：92.

根据加权平均数的定义求解即可.

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

14.【答案】16

【解析】解：根据题意得：AE=BF=CG=3,EG=AC,

•••三角形4BC的周长为10,

•**AB+BC4-AC=10,

：•AB+BCEG=10»

•••五边形ABCGE的周长=AB+BC+EG+AE+CG=10+3+3=16.

故答案为：16.

根据平移的性质得到4E=BF=CG=3,EG=AC,再将五边形ABCGE的五条边相加即可得到周

长.

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与

原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等.

15.【答案】4.5

【解析】解：•••三角形ABC绕着点4逆时针旋转得到三角形4DE,

AD=AB=12,AC=AE=7.5,

CD=AD-AC=12-7.5=4.5.

故答案为：4.5.

先根据旋转的性质得到AD=AB=12,AC=AE=7.5,然后计算2。-AC即可.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.

16.【答案】10

【解析】解：（a+b>=a5+5a4b+10a3b2+10。2b3+5ab'+b5；

.•.（x+1）5的展开式中婷项的系数是：10.

故答案为：10.

观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而

其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.

本题考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字

规律是正确解题的关键.

17.【答案】解：（1）16=。+4）。-4）；

（2）x2-10x+25=（x-5）2.

【解析】（1）根据平方差公式分解因式即可；

（2）根据完全平方公式分解因式即可.

本题考查了公式法的综合运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键.

18.【答案】解：原式=(7+2x+1)+9—-

=2x+10,

当x——2时，

原式=2x(-2)+10

=6.

【解析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将％的值代入化简后的式子

即可解答本题.

本题考查了整式的化简求值，掌握整式化简求值的方法是关键.

y=2X(T)

19.【答案】解：(1)

2x+y=8②'

将①代入②得：2x+2x=8,

解得：x=2,

将x=2代入①得：y=2X2=4,

x=2

故原方程组的解为

y=4：

3x—y=-6①

⑵x+y=2@

①+②得：4尤=-4,

解得：X=-1

将x=-1代入②得：—l+y=2,

解得：y=3,

x=-1

故原方程组的解为

,y=3-

(解析［(1)利用代入消元法解方程组即可；

(2)利用加减消元法解方程组即可.

本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.

20.【答案】ABEF同旁内角互补，两直线平行CDEFCDAB平行公理的推论

【解析】证明：•••乙4=70。，乙4EF=110。（已知），

NA+Z.AEF=180°,

（同旁内角互补，两直线平行），

又：乙BFE=/C（已知），

・•・CZV/EF（同位角相等，两直线平行），

CZV/AB（平行公理的推论），

N1=42（两直线平行，内错角相等）.

故答案为：AB,EF,同旁内角互补，两直线平行；CD,EF；CD,AB,平行公理的推论.

根据平行线的判定方法和法则解答即可.

本题考查了平行线的判定和性质，熟记相关判定方法和性质是解题关键.

21.【答案】3.71.922.0乙

【解析】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7,3.7,故

平均数为b=2QX4+2.4+1.8X2+1.9X2+1.4=]92,

10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0,故众数c=2.0；

故答案为：3.7,1.92,2.0；

（2）•••0.0356<0.0556,

・•・芒果树叶的形状差别小，故甲同学说法不合理；

•.・荔枝树叶的长宽比的平均数1.92,中位数是1.95,众数是2.0,

•••乙同学说法合理；

故答案为：乙；

（3）•••一片长10cm,宽5.1cm的树叶,长宽比接近2.0,

这片树叶更可能来自荔枝.

（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；

（2）根据题目给出的数据判断即可；

（3）根据树叶的长宽比判断即可.

本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键.

22.【答案】解：（1）•••AAOD=35。,

Z.AOD=Z.BOC=35°,

•••。8平分"OF,

•••Z.COF=2/B0C=70°,

•・•4COF的度数为70。；

(2)•••OE1AB,

乙EOB=90°,

•••OB平分乙COF,

•••ACOB=乙BOF=35°,

乙EOF=4EOB+4BOF=125°,

•••4E。尸的度数为125°.

【解析】(1)根据对顶角相等可得UOD=4BOC=35°,然后利用角平分线的定义可得“。尸=

2Z.BOC=70°,即可解答；

(2)根据垂直定义可得4EOB=90。，然后利用角平分线的定义可得/COB=NB。产=35。，从而利

用角的和差关系进行计算，即可解答.

本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析

是解题的关键.

23.【答案】2)(x+l)

【解析】解：(1)将多项式因式分解，可以表示为/—X—2=2)(x+1)(2)根据画好的“十

字图”，求出p的所有可能值：16,8,-8,

3x5

1X

5X3x+lXlx=16x1X3x+5Xx=8x

②

3x-53x

(—5)Xx+(—l)X3x=-8x(-l)Xlx+(-5)X3x=-16x

③

根据材料来把二次项写成相乘形式，常数项也写成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次项，最

后进行因式分解.

本题考查了用十字相相乘法对一元二次方程进行因式分解.

24.【答案】解：(1)设第一次购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，

根据题意得：｛%:艺益65