数学北师大版必修2课时作业1-6-2垂直关系的性质

课时作业9垂直关系的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(D)A．b⊥αB．bαC．b∥αD．b∥α或bα解析：当bα时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直，所以由直线a⊥直线b，且a⊥α，可知b∥α或bα，故选D.2．下列说法错误的是(C)A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l一定垂直于平面γ解析：C错误，平面α⊥平面β，在平面α内，平行于交线的直线和平面β平行．3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(D)A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α.∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交，∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，则m⊥α或m∥α或mα或m与α相交，则l∥m或l与m异面或l与m相交．4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(C)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直解析：设α∩β＝l，∵α⊥β，aα，bβ，a⊥b，∴当a∥l时，a∥β，b⊥α；当b∥l时，b∥α，a⊥β.5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(D)A．只有1个B．恰有3个C．恰有4个D．有无穷多个解析：过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.6.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线．因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.7.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且PB⊥α，AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(D)A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则(B)A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD解析：如图，连接AC，BD，AE，B1D1，∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.二、填空题9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1上一动点，则OP与AE的关系是垂直．解析：设AD的中点为F，则OP在AE所在平面ADD1A1内的射影为A1F.又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE，∴AE⊥平面A1B1OF.∴OP⊥AE.10．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是45°.解析：如图，过A作AO⊥BD于O点，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°.11．如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD＝3，则CE＝eq\r(13).解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，因为CD平面ABCD.所以DE⊥CD.因为DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).三、解答题12．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°.求证：MN⊥平面PCD.证明：证法一：PA⊥平面ABCD⇒PA⊥AD，∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC，又M是AB的中点，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(Rt△PAM≌Rt△CBM⇒MP＝MC,N是PC的中点))⇒MN⊥PC.设E为CD的中点，连接ME、EN，如图．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥CD,AD⊥CD))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD,PD∥NE))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒CD⊥NE,ME⊥CD,ME∩NE＝E))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒CD⊥平面MNE,MN平面MNE))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒MN⊥CD,MN⊥PC,PC∩CD＝C))⇒MN⊥平面PCD.证法二：取PD的中点F，连接AF，NF，∵F，N分别为PD，PC的中点，∴FN綊eq\f(1,2)CD.又∵CD綊AB，∴FN綊eq\f(1,2)AB，即FN綊AM，∴四边形AFNM为平行四边形，∴MN∥AF.∵PA⊥平面ABCD且∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，∴AF⊥PD，①又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，②由①②知AF⊥平面PDC，∴MN⊥平面PDC.13．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)如图，连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.——能力提升类——14．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(B)A.eq\r(7) B．2eq\r(7)C．3eq\r(7) D．2eq\r(3)解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值为2eq\r(7).15．如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝