2023-2024学年北京市门头沟区九年级上学期期末考数学试卷含详解

2024北京门头沟初三（上）期末

数学

2024.1

考生须知

1.本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

x2y-^

1.如果丁3,那么丁的值是（）

155

A.-C.一D.-

332

2.将抛物线>=必向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（）

A.y=(x+1)2—3B.y=(1)2—3C.,=(1)2+3D.丁=(犬+1)2+3

3.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A,B,C是网格线交点，贝iJsin/ABC=（）

R岳34

A.D.------------C.D.一

2255

4.已知。。的半径为4,如果OP的长为3,则点P在（）

O内B.。上C.。外D.不确定

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍.这个多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

8（9,2）,。（龙3,3）都在反比例函数丁=心的图象上,

6.若点-1),则占，尤2，马的大小关系是（）

X

A.xx<x2<x3B.x,<x3<x2C.x2<x3<玉D.x3<%!<x2

7.一个圆柱形管件,其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm,水的最大深度

CD为2cm,则此管件的直径为（）

O

C

A'B

D

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

①抛物线的开口向上

②抛物线的对称轴是直线x=-

2

③抛物线与y轴的交点坐标为（0,-3）

④由抛物线可知a?+bx+c<0的解集是一2（尤<3

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.已知二次函数y=2（x—Ip+3的顶点坐标为.

DE

10.如图，在ABC中，DE//BC,AE=1,EC=2,则——=

BC

11.如图，在。中，AB=BC，ZBDC=20°,则/A06的度数是.

12.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点尸处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反

射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知CDVBD,且测得A3=1.2米，3P=L8米，PD=12

米，求该古城墙的高度.

13.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为x=l,这个二次函数的表达式可以是.

3

14.如图，已知点尸是反比例函数y=—(x>0)上的一点，则矩形Q4P3的面积为.

X

15.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的坐标是

16.如图，已知E、歹是正方形A3CD的边和CD上的两点，且AB=4,△AEF'的面积S与

CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式_____.

三、解答题(本题共68分，第17〜22题每小题5分，第23〜26题每小题6分，第27〜28题每小

题7分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17计算：I-01+(-g)-1-2sin45°+(IT-2015)0.

18.如图，在ABC中，点。为AB边上一点，在AC边上找到一点E,使得VADE与原三角形相似，请画出所

有满足条件的图形，并说明理由.

19.下面是小李设计“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程.

己知：如图1,。及圆外一点P.

求作：过点P作;。的一条切线.

作法：①连接。尸；

②作0P垂直平分线，交O尸于点A；

③以A为圆心，OA长为半径作弧，交I。于点B；

④作直线PB.

即直线PB为所求作的一条切线.

根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)该作图中，可以得到N03P=。；依据：

20.已知二次函数y=X?+2x-3.

r——r~—-।——i—^4'——f———i——i--r

r--i'!-3''

IIIIIIII

IIIIIIII

L___I_____I_____I______I______I________I_J

-I---i--i---i--------i----1-----i-

-4-3-2-101234X

「——I----1-----II-----1--1

IIII*IIII

I111GillI

r一-i।^2.।।i--1

IIIIIIII

L--I----1------1=0-----I-----I------1--J

IiIiDIIII

IIIIIIII

—1—'^4r~~'—'—,__J

(1)求此二次函数图象的顶点坐标；

(2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标;

(3)当y>o时，直接写出X的取值范围.

21.如图，点P(2,l)是反比例函数y='的图象上的一点.

X

4-

3-

2-

P

-4-3-2-1。1234*

-1

-2

-3

-4

（1）求该反比例函数的表达式；

rrjirj

（2）设直线y=区与双曲线y=—的两个交点分别为尸和p,当一〉履时，直接写出x的取值范围.

xx

ADAC

22.如图，在中，ZACB=90°,点。在AB上，且——=——.

ACAB

（1）求证△ACDS/VIBC；

(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.

23.永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的

仰角是30°,水平向前走了42m到达点E的位置，此时的仰角是45°,已知小亮的眼睛距离地面1.7m,请计算

永定楼的高度.（结果保留根号）

24.如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端8处，其身体（看成一

点）的路径是一条抛物线.现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为1米时，距地面的高度为九

米.

B

人梯

A

C。地面

d（米）1.001.502.002.503.003.50

h（米）3.404.154.604.754.604.15

请你解决以下问题:

(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接;

(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；

(3)求起跳点A距离地面的高度；

(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米.问此次表演是否成功？如果

成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？

25.如图，ABC内接于O。，A5为直径，点D在。。上，过点。作一。切线与AC的延长线交于点E，

ED//BC,连接A。交于点尸.

(1)求证：ZBAD=ZDAE；

(2)若AB=6,AD=5,求。歹的长.

26.在平面直角坐标系X0Y中，点"(％,%)，"(九2，%)为抛物线丁=依2+陵+。(。>。)上任意两点，其中

y八

5■

4'

3-

2-

1-

-3-2-1O12345%

-1

-2

-3

(1)若抛物线的对称轴为x=2,当石，龙2为何值时，%=%=。；

(2)设抛物线的对称轴为1=若对于％+々〉4,都有％<%,求f的取值范围.

27.如图，RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB,过点C在_ABC外作射线CP,且NACP=e,点A关于

CP的对称点为点。，连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CP于点M,N.

(2)当。=30°时，直接写出/QVB的度数；

(3)当0。<[<45°时，用等式表示线段BN,。心之间的数量关系，并证明.

28.对于平面直角坐标系中的任意点P(x,y),如果满足x+y=a(x20,a»0),那么我们称这样的点叫做

“关联点”.

(1)如果点(2,3)是“关联点”,则。=；

(2)如图1,当2<a<3时，在点4(1,2),8(1,3),C(2.5,0)中，满足此条件的“关联点”为；

3.•B

，A/»T[上1_A

-Io1234sx

-i

-2■

图1

(3)如图2,W的圆心为W(3,2),半径为1,如[W上存在“关联点”，请画出示意图，并求出“关联点”

的最小值.

图2

2024北京门头沟初三(上)期末

数学

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项另有一个.

x_2y-x

1.如果V3,那么y的值是()

1155

A.-B.-C.-D.一

3232

【答案】A

3

【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出y=—x,再代入要求的式子进行计算即可得出答案.

-2

x2

【详解】解：一-

y3

3

y=—九,

2

3

—x-x1

故选：A.

2.将抛物线>=必向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是()

A.y=(x+1)"—3B.y—(x—1)"—3C.y—(x—1)+3D.y—(x+1)"+3

【答案】D

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.

【详解】解：抛物线丁=三向上平移3个单位得到解析式：y=V+3,

再向左平移1个单位得到抛物线的解析式为：y=(x+l)2+3.

故选：D

【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的

变化是解题的关键.

3.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A,B,C是网格线交点，贝|sin/ABC=()

34

A.B.叵D.

225

【答案】C

【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答.根据题意作出合适

的辅助线，然后利用勾股定理可以求得A3的长，从而可以求得sinNABC的值.

【详解】解：作交的延长线于点。，如图所示，

由图可知，AD=3,BD=4,ZADB=90°,

,-.AB=^32+42=5-

.AD3

sin/APC=----——,

AB5

故选：C.

4.已知i。的半径为4,如果OP的长为3,则点P在()

A.。。内B.上C.外D.不确定

【答案】A

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点到圆心的距离小于半径，则该点在圆内，若点到圆心的距离等于

半径，则该点在圆上，若点到圆心的距离大于半径，则该点在圆外，据此可得答案.

【详解】解：：。的半径为4,如果。尸的长为3,且3<4,

...点?在「。内，

故选A.

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍.这个多边形的边数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】多边形的外角和是360。，则内角和是2x360=720。.设这个多边形是w边形，内角和是(n-2)xl80°,

这样就得到一个关于〃的方程组，从而求出边数w的值.

【详解】解：设这个多边形是〃边形，根据题意，得

(〃-2)xl80°=2x360,

解得：n=6.

即这个多边形为六边形.

故选B.

6.若点1）,3（毛,2）,。（尤3,3）都在反比例函数丁=’的图象上，则玉，尤小马的大小关系是（）

X

A.%1<x2<x3C.x2<x3<XjD,x3<%!<x2

【答案】c

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式.

将点A（七,一1）,3（%2,2）,。（七,3）分别代入反比例函数丁=/，求得占,％，尤3的值后，再来比较一下它们的大

小.

【详解】•••点A（玉,一1）,8（巧,2）,。（七,3）都在反比例函数丁=丑的图象上，

Q-3<-2<6,

x2<x3<Xp

故选：C.

7.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽A5为8cm，水的最大深度

CD为2cm,则此管件的直径为（）

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.连

接。8,先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出。3的长，即可得到答案.

【详解】解：连接。8,如图所示：

由题意知，AB=8cm,CD=2cm,则BC=工AB=4cm,

2

设；。的半径为Rem,则O5=OD=R,OC=（R—2）cm,

在RtAOBC中，OB?=OC2+BC-，

.-.T?2=（7?-2）2+42,

解得R=5cm,

...此管件的直径为10cm,

故选：C.

8.二次函数丁=依2+法+c（aw0）的图象是一条抛物线，自变量X与函数y的部分对应值如下表:

.・・・・・

X-2-10123

.・・・・・

y0-2-3-3-20

有如下结论：

①抛物线的开口向上

②抛物线的对称轴是直线x=-

2

③抛物线与y轴的交点坐标为（0,-3）

④由抛物线可知cuc+bx+c<0的解集是一2<%<3

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关

键是明确题意，利用二次函数的性质解答.根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否

正确，本题得以解决.

【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线兀=空=1，

22

,；x>l时，y随x的增大而增大，

.,•抛物线的开口向上，故选项①②正确；

:当％=0时，y=-3,

•••抛物线与y轴的交点坐标为（0,-3）,故选项③正确;

•;%=—2和％=3时，y=0,

，当一2Vx<3,y<0,

/.ax2+bx+c<0的解集是—2<%<3,故选项④正确,

故选：D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.已知二次函数y=2（x—Ip+3的顶点坐标为

【答案】（1,3）

【分析】根据二次函数的顶点式的特点求解即可.

【详解】解:二次函数y=2（x—1）?+3的顶点坐标为（1,3）,

故答案为：（1,3）.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答的关键是熟知二次函数丁=。（无-犷+左的顶点坐标为（〃㈤.

DE

10.如图，在ABC中，DE//BC,AE=bEC=2,则一=

BC

DFAE

［分析］本题考查了相似三角形的判定和性质，根据DE//BC,得到AADE②八钻。，得到*；=丁，由AE=1,

nCAC

EC=2,即可求.

【详解】解:DE//BC,

•••AADE^AABC,

,DEAE

'AC)

AE=1，EC=2,

AC=AE+EC=3，

.DE1

,,—■一,

BC3

故答案为：—.

3

11.如图，在。中，A3=5C，ZBDC=20°,则/A05的度数是

AB

【答案】40°##40度

【分析】本题考查的是圆周角定理，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一

半，即可求得NAO3的度数.

【详解】解：AB^BC^ZBDC^20°,

:.ZAOB=2ZBDC=40°,

故答案为：40°.

12.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点尸处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反

射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABLBD，CDVBD,且测得A3=1.2米，3P=L8米，PD=12

米，求该古城墙的高度.

【答案】该古城墙的高度为8米.

【分析】利用入射与反射得到NAPS=NC?D,则可得到Rt^ABPsRt^cDp,于是根据相似三角形的性质

1912

得一=——，然后利用比例性质求出8即可.

CD12

【详解】解：根据题意得NAPB=NCQD,

■:AB上BD,CD1BD,

：.ZABP=ZCDP=90°,

：.RtAABP^RtACDP,

.ABBP1.21.8

..=,即nn=—,

CDDPCD12

解得CD=8.

答：该古城墙的高度为8米.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即

相似三角形的对应边的比相等解决.

13.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为x=l,这个二次函数的表达式可以是.

【答案】y=2f—4x(答案不唯一)

【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.由抛物线开口向上可得

y=奴2+6x+c中。>0,对称轴为x=l,进而求解.

【详解】解：•••对称轴为x=l，开口向上，

•••抛物线解析式为y=2(x—Ip—2=2——4尤，

故答案为：y=2f—4x(答案不唯一).

3

14.如图，已知点P是反比例函数y=—(x>0)上的一点，则矩形Q4pB的面积为.

【分析】本题主要考查了反比例函数y=月中左的几何意义，即过双曲线上任意一点引X轴、y轴垂线，所得矩形

面积为网.熟练掌握以上知识点是解题的关键.

3

【详解】解：：点尸是反比例函数y=—(x>0)图象上的一点，

X

；•矩形Q4PB=左=3.

故答案为：3.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,I3,C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____

%

4----1----r---1----।--1

2i：;：C:

1----1----1----1---1---T

O12345^

【答案】(2,1)

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所不,则圆心是(2,1).

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”.

16.如图，已知E、尸是正方形A3CD的边和CD上的两点，且AB=4，△AEF'的面积S与

写出该函数的表达式

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质.证明RtABEQRtyW(HL),得出

BE=DF=4—X)由S=S正方形他8——^AABF—^ACEF可得出答案.

【详解】解：四边形ABC。是正方形，

AD=AB=BC=CD=4,ZB=ZD=90°,

在RtAABE和RtAADF中,

AB=AD

AE=AF，

RtAB£=RtADF(HL),

/.BE=DF=4—%，

所以CE=CE=x,

♦,S=S正方形A5CD_S^ABE_~\CEF，

111

/.S=49_——x4x(4-%)——x4(4-x)——x92

222

=—/+4x.

2

1

故答案为：S=——£9+4X.

2

三、解答题(本题共68分，第17〜22题每小题5分，第23〜26题每小题6分，第27〜28题每小

题7分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：卜血|+(-g)-1-2sin45°+(IT-2015)0.

【答案】-2

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数累法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值

计算，最后一项利用零指数幕法则计算即可得到结果.

【详解】I-夜1+(-；尸-2sin45°+(7t-2015)°

=近-3-2x直+1

2

=-2.

【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幕，特殊角的三角函数值，。指数暴，熟练掌握各运算的运算法则

是解本题的关键.

18.如图，在ABC中，点。为AB边上一点，在AC边上找到一点E,使得VADE与原三角形相似，请画出所

有满足条件的图形，并说明理由.

【答案】见解析

【分析】本题考查了作图-相似变换，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键.根据相似三角

形的判定定理作出图形即可.

【详解】解：如图所示：

①过点D悴DE〃BC交AC于点E,

DE〃BC，

.-.AADE^AABC；

②作NADS'=NC,

NA=ZA,NADE'=NC,

:._AE'D^_ABC.

19.下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1,。及圆外一点P.

求作：过点尸作的一条切线.

作法：①连接0尸；

②作0P的垂直平分线，交O尸于点A;

③以4为圆心，Q4的长为半径作弧，交(。于点8；

④作直线PB.

即直线PB为所求作的一条切线.

根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)该作图中，可以得到°；依据：.

【答案】(1)见详解，

(2)90,圆周角定理的推论.

【分析】此题考查了作图、切线的判定定理、圆周角定理的推论，准确作图和熟练掌握切线的判定定理是解题的

关键.

(1)按照作图步骤补全图形即可；

(2)根据直径所对的圆周角是直角即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示：

----------X

【小问2详解】

解：是直径，

Z(9BP=90o(直径所对的圆周角是直角)，

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角.

20.已知二次函数_y=+2%一3.

r---'---'--'-4---,----•--•--r

r■-1—1—3—1—1~~1

L_____I_____I____I_J__I________I___I___J

-I----1---1--1-------1-----1--1--

-4-3-2-101234》

r—।---1---1■—।-----1---1—1

।।।।AIIII

1

L__!__________!一___1_______J

।।।I-ZIIII

IIII1111

I--।-----1-------1=9------------।-------------1-----------1--J

।।।।3IIII

IIIIIIII

L-----------------------'^4[--''-J

(1)求此二次函数图象的顶点坐标；

(2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标；

(3)当y>0时，直接写出x的取值范围.

【答案】(1)顶点坐标(一LT)

(2)与无轴的交点坐标为(—3,0)、(1,0)

(3)%<-3或x〉l

【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与无轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c^a,b,c是常数，aw0)

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

(1)把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标；

(2)解方程丁+2%_3=0可得到抛物线与x轴的交点坐标；

(3)画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.

【小问1详解】

解：y=¥+2x-3=(x+l)2-4,

抛物线的顶点坐标(—LT)；

【小问2详解】

解：当y=0时，x2+2x-3=0-

解得%=-3,々=1,

抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)；

【小问3详解】

解：二次函数丁=炉+2%-3的函数图象如图所示:

结合函数图象得x<—3或x>l时，y>0.

21.如图，点P(2,l)是反比例函数y='的图象上的一点.

X

4

3-

1।1।_________________।।।]a

-4-3-2-\O123

-1

-2-

-3-

-4-

(1)求该反比例函数的表达式；

mTY1

(2)设直线y=区与双曲线y=一的两个交点分别为尸和尸'，当一〉"时，直接写出x的取值范围.

xx

【答案】(1)反比例函数表达式为y=2

X

(2)x<—2或0vxv2

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数

的解析式，数形结合是解题的关键.

(1)直接把尸点坐标代入y=—,可求出机的值.从而确定反比例函数的解析式；

x

(2)根据反比例函数以及正比例函数的对称性求得尸’的坐标，然后根据图象即可求得.

【小问1详解】

解：•.•点P(2,l)是反比例函数图象上的一点，

m

1=—,解得，m=2,

2

反比例函数表达式为y=2；

X

【小问2详解】

解：：直线y=近与双曲线y=一的两个交点分别为P和P',P（2』），

X

**•Pf的坐标为（—2,—1）,

当一〉质时，尤的取值范围为x＜—2或0＜尤＜2.

x

ADAC

22.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,点。在AB上，且——=——

ACAB

（1）求证

(2)若AD=3,BD=2,求CO的长.

【答案】（1）见解析；（2）V6

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出ACD-ABC

（2）由“CD〜-ABC得/4DC=NACB=90。，ZACD=NB,推出，LCD一CBD,由相似三角形的性质得

CD

—,即可求出CD的长.

~ADCD

ADAC

【详解】（1）V——ZA=ZA,

ACAB

一ACD〜ABC；

(2)V^ACD~_ABC,

：.ZADC=ZACB^90°,ZACD=ZB,

ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

/._ACDCBD,

,CDBD

1*AD~CD

CD=娓.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

23.永定楼是门头沟标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的

仰角是30°,水平向前走了42m到达点E的位置，此时的仰角是45°,已知小亮的眼睛距离地面1.7m,请计算

永定楼的高度.（结果保留根号）

A

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解

题的关键.

连接班），作尸于点H，根据NAD〃=45°,ZAHD=90°,设=贝!==在

Rt.AHB中，根据tanZABH=更=旦列方程解答即可；

BH3

【详解】连接BD，作于点

由题意可知点3、D、H共线，

VZADH=45°,NASD=90°,

AH1

tanNADH=-----=I,

DH

设AH-x,

贝！==%，

.**BH=%+42,

在心_AHB中，

■:ZABH=30°,

.AH百

••tan/ABH-——，

BH3

即x=立，

x+423

解得，x=216+21,

AF=AH+HF=216+21+1.7=(21/+22.7)m

答：永定楼的高度为：(21^+22.7)m..

24.如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端8处，其身体(看成一

点)的路径是一条抛物线.现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为/?

米.

B

人梯

A

C。地面

d(米)1.001.502.002.503.003.50

h(米)3.404.154.604.754604.15

请你解决以下问题:

(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接;

(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度;

(3)求起跳点A距离地面的高度;

(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米.问此次表演是否成功？如果

成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？

【答案】(1)见解析(2)4.75米

(3)1米

(4)不成功；应调节人梯到起跳点A的水平距离为1米或4米才能成功.

【分析】(1)建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接；

(2)根据表格中的数据或函数图象分析力的最大值即可；

(3)利用待定系数法求出函数的解析式，令d=O,求〃；

(4)对比表格中数据可知2=3时3.4,故不成功，只需计算当/?=3.4时d的大小，由此可知调节人梯的

方案.

【小问1详解】

解：如图所示.

y

【小问2详解】

解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为4.75米.

【小问3详解】

解：设抛物线的表达式为h=a(d—2.5)2+4.75(。关0),

将点(1,3.4)代入，得3.4=々(1—2.5)2+4.75，

解得a=—0.6.

该抛物线为h=—0.6(d-2.5)2+4.75.

当d=O时，A=-0.6(0-2.5)2+4.75=1.

•••起跳点A离地面的高度为1米.

【小问4详解】

解：由表格可知，当2=3时，为。3.4,故不成功.

令人=3.4,即—0.6(d—2.5『+4.75=3.4,

解得2=1或d=4.

•••应调节人梯到起跳点A的水平距离为1米或4米才能成功.

【点睛】本题考查了二次函数实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握

二次函数的图象与性质.

25.如图，ABC内接于A5为直径，点。在「，。上，过点。作。切线与AC的延长线交于点E，

ED//BC,连接A。交于点

(1)求证：ZBAD=ZDAE-,

(2)若AB=6,AD=5,求。歹的长.

【答案】（1）见解析（2）y

【分析】（1）连接0。，由ED为。。的切线，根据切线的性质得到QDLEO,由A3为。。的直径，得到

NACB=90°,根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又因为Q4=OD,得到NB4O=NA。。，推出结论

ZBAD=ZDAE；

（2）连接3。，得到/4。5=90°,由勾股定理得到BD=YAB?—AD?=而,根据三角函数的定义得到

tanZCBD=tanABAD=-----，由£>尸=3£>-tanNCBD-

5

【小问1详解】

解：连接0。，

E

ED为「。的切线，

：.ODLED,

AB为.。的直径，

:.ZACB=90°,

BC//ED,

:.ZACB=ZE=AEDO,

.AE//OD,

:.ZDAE=ZADO,

OA=OD,

:.ZBAD=ZADO,

:.ZBAD=ZDAE-,

【小问2详解】

连接BD,

:.ZADB=9Q°,

AB=6,AD—5,

BD=JAB?-AD?=VT1，

ZBAD=ZDAE=ZCBD，

•••tanZCBD=tanZBAD=叵，

5

在RtABDF中，

DF=BD-tanZCBD=—.

5

【点睛】本题考查了切线性质，平行线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是正确的作出辅

助线.

26.在平面直角坐标系中，点以(％,%),"(%，%)为抛物线丁=依2+陵+。(。>。)上任意两点，其中

x1<x2.

y八

5-

4-

3-

2-

1-

III____L1111A

-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

(1)若抛物线的对称轴为x=2,当属,马为何值时，%=%=。；

(2)设抛物线的对称轴为*=/,若对于占+%2〉4,都有/<%，求/的取值范围.

【答案】(1)占=0,%=4

(2)?=--<2

2a

【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)根据抛物线的对称性解决问题即可.

(2)由题意点(和0),(马，。)连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2,利用二次函数的性质判断即可.

【小问1详解】

解：,•*ax*2+bx+c-c，

**•ax2+bx=0，

M"+5)=0,

••%—0x=，

a

xx<x2,

%]=0,x2=4；

【小问2详解】

解：由题意可得：

端+如+c<axI+bx2+c,axf+如<办；+bx2,

-XX

axf-axf+如-bx2<0,Q&2)(I+%2)+人(%