2023年高考数学压轴题-圆锥曲线第06讲：向量问题三（原卷版）

第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示;

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析儿何中的向量问题（直角，锐角和

钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的

计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置

关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用

向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中.

1、在圆上

直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当＜＞为直角时，则IB=O;

2、在圆内

直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则［石＜0；

3、在圆外

直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当＜23＞为锐角时，则

【考点剖析】

考点一：直径圆过定点(已知定点)

例1.已知椭圆W→g∙=l(a>b>0)的离心率e=；,过点/(0,-6)和8(α,0)的直线与原点的距离为阻.

⑴求椭圆的方程；

(2)已知定点E(T0),若直线y=b+2化HO)与椭圆交于C,。两点，问：是否存在出的值，使以CQ为直径

的圆过E点？请说明理由.

变式训练1：已知椭圆C的离心率e=4,长轴的左右端点分别为4卜血,0),Λ(√2,θ)

⑴求椭圆C的方程；

⑵设动直线/：y=丘+，与曲线C有且只有一个公共点p,且与直线X=2相交于点。，求证：以P。为直径的

圆过定点N(LO).

变式训练2：椭圆。:捺+卷=1（。>6>0）的离心率为J设O为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，动直线4

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过线段4。的中点8,且与椭圆C相交于尸、。两点.已知当直线4的倾斜角为45。时，∖PQ∖=~.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵是否存在定直线4：x=f,使得直线4P、力。分别与，2相交于“、N两点，且点8总在以线段MN为直径

的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线右的方程；若不存在，请说明理由.

变式训练3：已知椭圆C与双曲线χ2-1=ι有公共焦点，且右顶点为N（2,0）.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设直线/:y=h+，”与椭圆C交于不同的A,8两点（A,B不是左右顶点），若以48为直径的圆经过

点N.求证：直线过定点，并求出定点.

考点二：直径圆过定点(求定点)

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例1.设椭圆C：Ar+4=l(a>/>>0)的离心率为:，点A为椭圆上一点，△我明月的周长为6.

alb-2

⑴求椭圆C的方程；

(2)设动直线/号=丘+用与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点0.问：X轴上是否存在定

点M,使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点”的坐标；若不存在，说明理由.

变式训练1：已知点G(T,0),圆J(X-I)?+/=8,点Q在圆巴上运动，。片的垂直平分线交于点P.

⑴求动点尸的轨迹的方程C;

⑵过点(0,-；)的动直线/交曲线C于48两点，在N轴上是否存在定点7,使以48为直径的圆恒过这个

点？若存在，求出点7的坐标，若不存在，请说明理由.

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变式训练2：如图，椭圆E：下v方p=1(。>6>0)的左焦点为不右焦点为月，离心率e=j过6的直线

交椭圆于4B两点，且△/8用的周长为8.

⑴求椭圆E的方程；

(2)设动直线/：P=H+，”与椭圆E有且只有一个公共点尸，且与直线

x=4相交于点。，试探究：在X轴上是否存在定点M,使得以尸。为直

径的圆恒过点M?若存在，求出点"的坐标；若不存在，说明理由.

变式训练3：已知。/I:/+/+©-2。=。，直线/过8(2,0)且与。/交于C,。两点，过点8作直线4C的平

行线交于点E.

⑴求证：∣以∣+∣E8∣为定值，并求点E的轨迹7的方程；

⑵设动直线〃？=云+机与T相切于点P,且与直线X=3交于点。，在X轴上是否

存在定点收&0),使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出M的坐标；

若不存在，说明理由.

考点三：直径圆过定点(求圆的方程)

3

例L已知定点Z(O,行)，5(0,-√3),动点P与48连线的斜率之积即小%=-7

⑴设动点P的轨迹为G,求G的方程；

⑵若C,。是G上关于ʃ轴对称的两个不同点，直线AC,BD与X轴分别交于点M,N.试判断以收V为直径的

圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

变式训练1：如图所示，椭圆C:J+S=l(a>6>0)的左、右焦点分别为£、F2,左、右顶点分别为A、

B,P为椭圆上一点，连接尸耳并延长交椭圆于点0,已知椭圆的离心率为Z\P。鸟的周长为8.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点P的坐标为(XoJo).

Ill,

①当国j,而］，冲可成等差数列时，求点P的坐标;

②若直线尸/、尸8分别与直线'=4交于点〃、N,以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出

定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【答案】⑴4+且=1;(2)①P(O,√J)或P(0,-百);②过定点(7,0)、(1,0),理由见解析.

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变式训练2：已知椭圆uE→[=l(α>6>0)过点/(0,l),离心率为好.

a2b∙3

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点A作直线/,/与直线y=2和椭圆C分别交于两点M,N(N与A不重合).判断以MN为直径的圆

是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.

考点四：点在圆内或圆外

例L已知椭圆cJ+,=l(α>6>0),离心率为正，椭圆上任一点P满足I尸耳∣+∣PKI=4.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若动直线y=b-2与椭圆C相交于M、N两点，若坐标原点。总在以MN为直径的圆外时，求火的取值

范围.

22

Xy

变式训练1：已知椭圆C:R万ω>⅛>o),以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积

为8的正方形，斜率为左的直线/经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵当椭圆C的右焦点厂在以ZB为直径的圆内时，求k的取值范围.

变式训练2：已知椭圆C：/+3∕=3,点片，巴分别为椭圆的左、右焦点.

⑴求椭圆C的短轴长和点月，鸟的坐标；

⑵设P(XojO)为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线工P与N轴相交于点。，若点片在以为直径的圆

的外部，求毛的取值范围.

22

变式训练3：如图，椭圆C：£+方=l(.>b>0)的离心率e为去，左顶点为A,直线/过其右焦点尸且与

椭圆交于DE两点，已知三角形mD面积的最大值为36.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线NE分别与一条定直线X=Ww>0)交于Λ/N两点，若

点F始终在以仞V为直径的圆内，求〃7的取值范围.

【当堂小结】

1,知识清单：

(1)椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；

(2)直径所对圆周角为W，即向量的数量积为零；

(3)在圆内，所对应的角为钝角，向量的数量积小「零；在圆外，所对应的角为锐角，向量的数量积大于

零；

2、易错点：圆内，圆外的角度翻译，即向量数量积与零的大小关系；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

fJ?

经过点(设右焦点

1.已知椭圆C：7+F=l(a>6>0)/0,-1),F椭圆上存在点。，使。尸垂直于X轴

Wl=y∙

⑴求椭圆C的方程;

⑵过点8(0,2)的直线/与椭圆交于RG两点.是否存在直线/使得以。G为直径的圆过点E(-l,0)?若存在，求

出直线/的方程，若不存在，说明理由.

2.已知抛物线C：∕=4x,直线/经过点/(见0),且与抛物线C交于Λ1,N两点，其中,">0.

⑴若机=1,且MMI=4,求点W的坐标；

⑵是否存在正数“，使得以MN为直径的圆经过坐标原点。，若存在，请求出正数〃?，若不存在，请说明

理由.

3.已知焦点在y轴上的抛物线过尸（2,2）

⑴求抛物线的标准方程及准线方程；

⑵已知直线Ly=x+6仅WO）与抛物线交于点A,B,若以45为直径的圆过原点O,求直线/的方程.

4,已知椭圆C:/V=1（α>b>0）的左、右顶点分别为4,4,上下顶点分别为用，B,四边形444约

7+F2

4

的面积为4,且该四边形内切圆的方程为

⑴求椭圆C的方程;

⑵直线/：y=h+w（3加均为常数）与椭圆C相交于M,N两个不同的点（M,N异于4,4）,若以MN为直

径的圆过椭圆C的右顶点4,试判断直线/能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由.

5.已知抛物线C