高一数学新教材同步教学讲义 函数的应用（一）（原卷版）

函数的应用(一)

【知识点梳理】

知识点一：一次函数模型的应用

1.一次函数的一般形式：y=kx+b(k≠O'),其定义域是R,值域是R.

知识点二：二次函数模型的应用

1.二次函数的一般形式是y=αr2+bx+c(a≠0),其定义域为R.

2.若α>0,则二次函数y=αχ2+⅛x+c在X=^时有最小值W_—；

2a4a

若α<0,则二次函数y=αχ2+⅛r+c在X=---时有最大值.

2a44

3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模,

解答.

知识点三：解决实际应用问题

1.解决实际应用问题的过程

2.解决实际应用问题的步骤：

第一步：阅读理解，认真审题

读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解

叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.

第二步：引进数学符号，建立数学模型

设自变量为X，函数为y,并用X表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物

理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建

立数学模型.

第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果.

第四步：再转译为具体问题作出解答.

3.函数模型的综合应用

函数的应用题是利用函数模型解决实际问题.

在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：

第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对

象和研究的目的.

第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以

变量和参数的形式表示这些因素.

第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达

式来描述.

第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果.

第五阶段，解释数学模型的结果.

根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常

用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等.

【题型归纳目录】

题型一：一次函数模型

题型二：二次函数模型

题型三：分段函数模型

题型四：幕函数模型

题型五：耐克函数模型

【典型例题】

题型一：一次函数模型

例1.（多选题）（2022•全国•高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家

到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程

y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0Vx≤30时，y与X的关系式为y=ɪx

【方法技巧与总结】

关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次

函数的解析式.

例2.（2022•全国•高一课时练习）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计

出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是y=gx+3和y=-1x+:,为保证采光，竖直窗

户的高度设计为1m,那么点力的横坐标为

竖直窗户

————-------------------------------->

。Aχ（m）

例3.（2022•全国•高一课时练习）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30

天）内的日销售量相。）（百件）与时间第，天的关系如下表所示：

第，天1310L30

日销售量”⑺（百件）236.5L16.5

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润/；（/）（元）与时间第r天的函数关系式为

工⑺=-31+88（掇115,且，为整数），而后15天此商品每天每件的利润人（。（元）与时间第r天的函数关

系式为人⑺=岑+2（16蒯30,且r为整数）.

（1）现给出以下两类函数模型：①nι（t）=kt+b（我力为常数）；②m（f）=6∙43、。为常数，〃>0且αHl.分析

表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；

（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型；

并说明理由.

题型二：二次函数模型

例4.（2022•全国•高一课时练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m,渠深为1.8m,斜坡

的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.

(1)试将横断面中水的面积A(∕?)(m2)表示成水深/7(m)的函数;

(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.

【方法技巧与总结】

建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法.

例5.(2022•全国•高一课时练习)如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年X月X日，天气：阴；能

见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线

按上述信息，小红将"交叉潮'’形成后潮头与乙地质检的距离X(千米)与时间f(分钟)的函数关系用图3

表示.其中:“11:40时甲地，交叉潮，的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B坐标为(九0),曲线BC可

用二次函数；S=总产+6+cS,C是常数)刻画.

(1)求加值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟

与潮头相遇？

(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最

高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？(潮水加速

2.

阶段速度v=%+7^(f-30),%是加速前的速度)

例6.(2022•全国•高一课时练习)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型

产品的年收益”x)与投资额X成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益鼠尤)与投资额X的

算术平方根成正比，其关系如图2.

⑴分别写出两种产品的年收益f（χ）和g（χ）的函数关系式；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年

收益是多少万元？

例7.（2022•全国•高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个

矩形花园ABCr>,已知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为X米.

<---------25m-------->

M~71VD^^N

BC

（1）当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

（2）若围成的矩形ABCZ）的面积为S平方米，当X为何值时，S有最大值，最大值是多少？

例8.（2022•全国•高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生

态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用

的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本V（元）与月处理量X（吨）

之间的函数关系可近似的表示为y=gχ2-200Λ∙+80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值

为100元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位

不亏损？

题型三：分段函数模型

例9.（2022•全国•高一课时练习）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度V（单位：千克/年）表示为养殖密

度X（单位：尾/立方米）的函数.当0<x≤4时，V的值为2；当4<x≤20时∙，V是关于X的一次函数.当X

=20时，因缺氧等原因，V的值为0.

⑴当0<x≤20时，求函数V(X)的表达式；

(2)当X为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)/(x)=X∙v(x)可以达到最大？并求出最大值.

【方法技巧与总结】

分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者.分段函数应用题是高考命题

的热点.

例10.(2022•河南•范县第一中学高一阶段练习)某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单

价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件

的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)设一次订购量为X个，零件的实际出厂单价为尸元，写出函数P=∕(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单

价-成本)

例IL(2022•全国•高一专题练习)2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期

五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销

量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内(以30天计)的销售情况进行调查发现：该

款冰雪运动装备的日销售单价Pa)(元/套)与时间X(被调查的一个月内的第X天)的函数关系近似满足

P(X)=I+±α为正常数).该商品的日销售量Qa)(个)与时间X(天)部分数据如下表所示：

X10202530

Q(χ)110120125120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

⑴求上的值；

(2)给出两种函数模型：①。(x)=αt+8,②Q(X)="∣x-25∣+"请你根据上表中的数据，从中选择你认为

最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(X)与时间X的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入Ax)(l≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.

例12.(2022•全国•高一课时练习)吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同

品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩'’玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万

元.每生产X万盒，需投入成本MX)万元，当产量小于或等于50万盒时MX)=I80x+100；当产量大于50

万盒时MX)=X2+60X+3500,若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以

全部销售完(利润=售价一成本，成本=固定成本+生产中投入成本)

（I）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量X（万盒）的函数关系式；

（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

例13.（2022•全国•高一课时练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.

本届进博会有4000多项新产品、新技术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中

国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,

IOx2+0v,0≤x<40

生产X千台空调，需另投入资金R万元，且R=901χ2.9450x+10000.经测算，当生产10千台空

------------------------------,x≥40

.X

调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量X（千台）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

例14.（2022•全国•高一课时练习）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设

高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提

高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度V（单位：千米/小时）和车流

60,0<x≤30

密度X（单位：辆/千米）所满足的关系式：V=8o__J3O<x<12θ（%eR）∙研究表明：当隧道内的车

流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

（1）若车流速度V不小于40千米/小时，求车流密度X的取值范围；

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y=χ∙u,求隧道内车流量的

最大值（精确到1辆/小时）,并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：石42.236）

例15.（2022•全国•高一课时练习）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计

规律：每生产产品W百台），其总成本为G（X）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成

本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（X）满足R（X）=［；：：厂+42》-0—8（0：弋），假定

该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：

（1）要使工厂有盈利，产品数量X应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？

题型四：募函数模型

例16.（2022•全国•高一课时练习）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对

文件加密，有一种加密密钥密码系统（PriVateKeyeryPtoSyStem）,其加密、解密原理为：发送方由明文一

密文（加密），接收方由密文τ明文.现在加密密钥为履:如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接

1

到密文“256，，，则解密后得到的明文是（）

111

A.2B.4C.2D.8

【方法技巧与总结】

幕函数模型为y=以"+/，（“，b为常数,a≠0）,

在计算嘉函数解析式、求恭函数最值的时候，通常利用基函数图像、单调性、奇偶性解题.

例17.（2022•河南三门峡•高一期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清

洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为X（O<x<D,并预计8年后碳

排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

（1）求X的值；

（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的受，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放

2

量的上?

16

例18.（2022•全国•高一课时练习）为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排

放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是

例19.（2022•全国•高一课时练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020

年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元,该公司经营状态良好、收入

稳定，预计每年总收入比前一年增加2。亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求

从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的f倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年

总收入的60%,则，的值至少为（）

A.V∑4B.源C.际D.国

题型五：耐克函数模型

例20.（多选题）（2022•全国•高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此

产品获得的月利润P（X）（单位：万元）与每月投入的研发经费X（单位：万元）有关.已知每月投入的研

p（x）=-ɪɪ2+6x-20y=P（X）

发经费不高于16万元，且5,利润率'X.现在已投入研发经费9万元，则下列判

断正确的是（）

A.此时获得最大利润率B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润

【方法技巧与总结】

耐克函数模型为y=clχ+-(a>0,⅛>0),利用基本不等式或者图像法解决.

X

例21.(2022•全国•高一课前预习)某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分〃次等量

进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件

每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？

例22.(2022•全国•高一专题练习)如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPM

要求M在射线AB上,N在射线4。上,且对角线MN过C点•已知A8=4米，AD=3米,设AN的长为x(x>3)

米.

(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)求当AM,AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

例23.(2022•云南•曲靖市沾益区第四中学高一阶段练习)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每

个电子元件单价为。元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分〃次进货，每次购买元件的数

量均为X,每次单价不变，购一次货需手续费500元.己购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均

库存量为gx件，每个元件的库存费是一年2元.

(I)将公司每年总费用尸表示成X的函数；

(2)请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小.

【同步练习】

一、单选题

1.(2022•全国•高一专题练习)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间r的函数关

系如图所示，则下列说法正确的是()

A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多

C.甲比乙先到达终点D.甲、乙两人的速度相同

2.（2022•全国•高一课时练习）向高为”的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量U与水深〃的函

数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（）

3.（2022•全国•高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成

本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本

工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位（x+竿-30）元（试剂的总产量为X

单位，50≤x<200）,则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）

A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位

4.（2022•全国•高一课时练习）某产品的总成本y万元与产量X（台）之间的关系是y=30+2x-x?,

X«0,11],若每台产品的售价为9万元,则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.3台B.5台C.6台D.10台

5.（2022•全国•高一课时练习）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产

龙件，则平均仓储时间为:天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用

与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A.30件B.60件C.80件D.100件

6.（2022•全国•高一课时练习）甲、乙两人走过的路程s∕（f）,S2（f）与时间f的关系如图，则在[0,m这个

时间段内，甲、乙两人的平均速度V夕，V/的关系是（）

A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B.甲厂的总费用W与证书数量X之间的函数关系式为y=0.5x+1

C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量X之间的函数关系式为%=；x+|

12.(2022•湖北•黄石市有色第一中学高一期中)记实数外,々，…，当中的最大数为max{∕W,…，七}，最

小数为min{Λ1,Λ⅛,…,则关于函数/(x)=min{x+l,χ2-x+l,-x+6}的说法中正确的是()

A.方程/(∙r)-l=0有三个根B."x)的单调减区间为18,g)和(|,+8)

73

C.“X)的最大值为]D./(x)的最小值为:

三、填空题

13.(2022•全国•高一课时练习)设奇函数/(χ)的定义域为[—5,5].若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，

则不等式/“)<0的解集是.

fy

O三

14.(2022•全国•高一课时练习)某商人将每台彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾，八

折优惠”，结果是每台彩电比原价多了270元，则每台彩电原价是元.

15.(2022•全国•高一课时练习)现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这

样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第

二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩

则红豆和白豆共有粒.

一/—6x—5,X<0,

16.(2022•河南南阳•高一期末)已知函数〃"=〃丫，八若关于X的方程

Gl-I,X20,

[/(X)T+(2α-1)+/-α=0有5个不同的实数根，则”的取值范围为.

四、解答题

17.(2022•全国•高一课时练习)第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中

国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个

分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑

雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办

可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产

企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产X千件，需另投入成本C(X)(万元).经计算若年

产量X千件低于IOO千件，则这X千件产品成本C(X)=；/+IOx+1100；若年产量X千件不低于100千件

时，则这X千件产品成本C(X)=I20x+驾:-5400.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设

X-90

该企业生产的产品能全部售完.

(1)写出年利润L(万元)关于年产量X(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

18.(2022•全国•高一课时练习)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情

况下，大桥上的车流速度”单位：千米/小时)是车流密度X(单位：辆/千米)的函数.当桥上的的车流密度

达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米

/小时，研究表明；当20≤xV200时，车流速度V是车流密度X的一次函数.

(1)当20≤x≤200时，求函数V(X)的表达式；

(