安徽省亳州市黉学高级中学2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

2022级高一年级第一学期期末考试数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知4={-1,0,1,3,5},8=卜|2支一3<0},则ACCRBK)

A.{0,1}B.{-1,1,3}C.[-1,0,1)D.{3,5}

2,函数f(x)=(—/。92刀的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+8)

3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家

万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函

数图象的特征.我们从这个商标14人中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()

111

A-八")=两B./(%)=而刁C./(X)=nD.f(x)=/

4.已知a=0.32,b=203,c=log^yfS,贝lj()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

5.若sin/+a)=g,则sin偌一a)—cos(与+a)=()

A.0B.IC.D.申

J3

6.已知函数/(x)=aY—+i(a>0且a*1)的图象恒过定点4若点4的坐标满足关于x,y的方程

7,2

mx+ny=4(m>0,n>0),则五+”的最小值为()

A.4B.6C.12D.24

7.已知函数f(x)=—lg(3-ax)(a。1)在区间(0,4]上是增函数，则实数a的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,1)D.(1,+8)

8.如图，向量方=万，AC=b，CD=c)则向量而可以表示为()

A.方+b—cB.G—b+'?C.b-汇+"?D.b一方一？

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9,已知a,beR,且a>b,则下列结论中正确的有()

A.3a>3〃B.a3>b3C.a2>b2D.

ab

10.下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是()

A.a=3,b=4,A=30°B.a=3,6=4,cosB=-

C.a=3,b=4,C=30°D.a=3,b=4,B=30°

11.已知向量力=(2,1),2=(—3,1)，则()

A.（a+b）//aB.向量正在向量E上的投影向量为一百万

c.彼与0-石）的夹角余弦值为等D.若•？=（/,-竽），则方

12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在微书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法

是：“以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜累减上，余四约之，为实，

一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即s=J；[c2a2—（，2+彳-卜2>],现有△ABC满

&sinA：sinB：sinC=2：3：用,KSA/1FC=673,请判断下列命题正确的是（）

A24BC周长为5+近B.C=^

C.△ABC的外接圆半径为警D.△ABC中线CD的长为苧

三、填空题（本大题共4小题，共19.0分）

13.已知N=（l,2sin。），石=（sin（0*）,l）,6eR,Eli，则tern。的值为.

14.z+25=9+4i（i为虚数单位），贝“z|=

15.设复数Z满足者=[2023,则|l+z|=.

16.已知复数Z=与乎（i是虚数单位），则复数Z在复平面内对应的点位于第象限.

四、解答题（本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）己知复数z=3+bi（beR）,且（1+3i>z为纯虚数.

（1）求复数z及玉（2）若3=后，求复数3的模|3|.

18.(本小题10.0分)已知叵|=4,。=3,(2a-3h)-(2a+6)=61.

⑴初工;(2)求位+班

19.(本小题10.0分)已知在△ABC中，cosA=y.a,h,c分别是角4,B,C所对的边.

(1)求tan24(2)若sin(]+B)=竽,c=2«，求△4BC的面积.

20.(本小题10.0分)己知函数/(x)=sin2x—cos2x+2y/3sinxcosx.

(1)求/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)求人久)在［-：,与］上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.

21.(本小题10.0分)某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通

过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产x台该设备另需投入成本C(x)元，且C(x)=

flOx2+400%,0<x<30

1An4,10000onnn”，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.

(I)求厂商由该设备所获的月利润L(x)关于月产量支台的函数关系式；(利润=销售额-成本)

(E)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.

22.(本小题12.0分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+2,(aG/?).

<3-2乂恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a>0时，求不等式/'(x)20的解集；

(3)若存在m>0使关于x的方程f(|x|)=m+^+l有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

2022级高一年级第一学期期末考试数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知4={-1,0,1,3,5},8=卜|2支一3<0},则ACCRBK)

A.{0,1}B.{-1,1,3}C.{-1,0,1)D.{3,5}

【解析】解：vB=(x\2x-3<0}={x\x<|},1•.QRB=(x\x>|),

•••?!={-l,0,l,3,5},AnCRB={3,5},故选：O.

2.函数f(x)=:—的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+8)

解：丫连续减函数/'(x)=三-log2x,/(3)=2-log23>0,/(4)=^-log24<0,

・•・函数/(x)=：-1。贝》的零点所在的区间是(3,4),故选C.

3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数

形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象.

来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个----

商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()

1111

A.〃吗=西B.=C./0)=目D./(X)=K

解：函数的定义域为卜|%。±1},排除选项4和。，当x6(0,1)时，/(x)>0,

但在选项。中，由于好<1,所以/*(%)<0,可排除选项C,故选：B.

4.已知a=0.32,b=2。.3,c-贝!j()

A.b<c<aB.b<a<cC,c<a<bD.a<b<c

2Q031

解：va=0.3=0.09<1,2<b=2<2,c=log短遮=log25>log24=2,

a<b<c,故选：D.

5.若sin(*+a)=2，则sin得一a)-cos(与+a)=()

A.0B.1C.D.

333

【解析】解:因为sin(,+a)=则sin/-a)-cos虑+a)=sinpr一/+a)]—cos[^+([+a)]=

sin/+a)-[-sin/+a)]=1-1)=

故选：B.

6.已知函数f（x）=必-3+i（a>0且aK1）的图象恒过定点4若点4的坐标满足关于x,y的方程

mx+ny=4（m>0,n>0）,则指+：的最小值为（）

A.4B.6C.12D.24

【解析】解：函数-支）=a>3+1的图象横过定点4

所以4（3,2）,将点A代入方程可得3m+2n=4,

所以2+三=）（2+三）（3根+2n）=）（6+6+%+%）（12+2/—■—）=6-

mn4n八,4、mny4K7mnJ

当且仅当例=也，即m=gn=l时等号成立.故选：B.

mn3

7.已知函数/（乃=-电（3-。乃（£1$1）在区间（0,4］上是增函数，则实数a的取值范围为（）

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,1)D.(1,+00)

【解析】解：因为X£（0,4］04,3-ax>0恒成立，所以｛；j：a>0=a<：'设t=3-ax，

因为函数y=-是减函数，所以要使/（x）在（0,4］上是增函数,

则需函数t=3-ax是减函数，可得a>0,所以0<a<,,实数a的取值范围为（0揖）.故选：A.

44

8.如图，向量方=万，AC=~b，CD=c>则向量而可以表示为（）

A.方+b—cB.n-b+'?C.b-a+c?D.b-u—c

解：如图，向量方=方，AC=b<CD=c,则向量前=瓦？+而，

BA+AD=BA+AC+CD=-a+b+~c.故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知a,bER,且a>b,则下列结论中正确的有（）

A.3。>3bB.a3>b3C.a2>b2D.-<|

ab

解：对于A,因为函数y=3,为增函数，又a>b,所以3a>3匕，故/正确;

对于B,因为函数y=炉为增函数，又a>b,所以>〃，故8正确；

对于C,因为a>b,取a=2,b=-3,则a2cb2,故C错误；

对于。，若a>0>b,则工〉与故。错误.故答案选：AB.

ab

10.下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（）

A.a=3,b=4,A=30°B.a=3,b=4,cosB=-

C.a=3,b=4,C=30°D.a=3,b=4,B=30°

解：根据题意，在4条件下，=>sinB=-xsinA-

bsmba3

因为:<I<多所以角B在（舞）和片片）上各有一个解，

并且这两个解与角力的和都小于兀，所以4不满足；在B条件下，a=3,6=4,cosB=|,

根据余弦定理可得cosB=与±，解得c=5或c=-。舍），所以只有1个解，满足题意；

在c条件下，条件为边角边，所以有唯一解，满足题意；

在D条件下，1=^=^SinA=^xSinB=1，因为|<；，所以角4在（0谭）和弓㈤上各有一个解，

当解在（半，兀）时，角B与角A的和大于江，所以只有1个解，满足题意，故选BCD.

11.已知向量五=（2,1）,方=（一3,1），则（）

A.0+司/伍B.向量五在向量方上的投影向量为-：了

C.彼与0—出的夹角余弦值为竽D.若下=（噂,一等），则万

解：对于4,向量五=（2,1）,1=（—3,1），所以五+石=（一1,2），且一lxl-2x2=-5w0,

所以汇+了与万不平行，/错误；

对于B,向量正在向量石上的投影向量为限•了=喘7=—；及所以8正确；

网41UZ

对于C,因为应一5=（5,0），所以cos〈方，卷一了>=粤目=黑=竿，所以C正确；

'J|a|x|a-b|V5x55

对于。，因说=（冷,一等），所以,1=2xg+lx（—等）=0,所以万1己选项。正确.

故选：BCD.

12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在微书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法

是：“以小斜幕并大斜累减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜暴减上，余四约之，为实，

一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即s=R[c2a2_（02+彳-振尸].现有△ABC满

足sin4：sinB：sinC=2：3：币,且=6声，请判断下列命题正确的是（）

周长为5+bB.C=2

C.△ABC的外接圆半径为容D.△ABC中线CD的长为?

【解析】解：现有△ABC满足si?M：sinB：sine=2：3：所以a：b：c=2：3：木,

设a=2t,b=3t,c=>/7t,利用余弦定理cosC=必?丁=密学27tz=3

由于Ce(0,7T),所以c=],故8正确；利用SA48C=6g，

所以〈弧加。=6旧，整理得£6百=6后解得t=2.所以:

Q=4,b=6,c=2V7,

24

所以△力BC的周长为10+2«，故/错误；

利用正弦定理^=誓=蜉=2/?,.../?=殍，故C正确;

T3

如图所示：

利用正弦定理等=福，解得S讥4=与，所以cos4=空，

—77

利用余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cosA=19,

解得CD=g,故。错误.故选：BC.

三、填空题(本大题共4小题，共19.0分)

13.已知N=（l,2sin。），E=（sin（0一乳1）,9eR,aA.b，贝旺即。的值为

【解析】解：因为方=(l,2sin。)，石=(sin(。一引,1),。6/?11万，

所以五.石=0,即sin(®T)+2s讥。=0,

f^^sindcos^-cosdsin^+2sin0=0,即qsin。一号cos。=0，所以tan。=g故答案为:g

JJ2255

14.z+25=9+4i(i为虚数单位)，则|z|=

解：由题意得设z=a+bi(a,b€R),则，=a-bi,(a,bER):.Q+bi+2(a-hi)=9+43

・・.3a-bi=9+43・・・a=3,b=-4,/.z=3-4i,则有|z|=J32+(—4'=5.故答案为5.

15.设复数Z满足辔=?。23,则|l+z|=—.

解：因为咎=/23=一心所以z=六=片黯=1一,所以|l+z|=|2—i|=遍.

1—Z1-2(■1—1)(!.十I)1111

16.已知复数2=号。是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于第象限.

解：7:|3-旬回+(-4)2一5_5(2+i)_„

―2-12^1~~~i~(2-t)(2+t)-

复数Z在复平面内对应的点为(2,1),在第一象限.故答案为一.

四、解答题(本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)已知复数z=3+bi(beR),且(1+3i>z为纯虚数.

(1)求复数Z及王(2)若3=*,求复数3的模|3|.

解:(1)由已知得(l+3i)(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i,・・・(1+3i)z是纯虚数，

・，・3—3b=0且9+bH0,则b=l,从而z=3+i.z=3-G

(2)由(1)知3=7+7=2+1=(2+i)(2-i)=5-5'"lwl=J(|)2+(~|)2=鱼.

18.(本小题10.0分)已知同=4,正|=3,(2a-3fe)-(2a+b)=61.

⑴求无方;(2)求回+瓦

解：(1)因为(2五一35)•(2E+E)=61，所以4回2-4元•5一3向2=61.

又回=4,历|=3，所以64-4方工-27=61，所以①，=一6.

(2)|a+fe|2=同2+2a-~b+\b\2=42+2x(-6)+32=13.所以叵+了|=V13.

19.(本小题10.0分)已知在△ABC中，cosA-y,a,b,c分别是角4B,C所对的边.

(1)求tan24；(2)若sin(1+B)=苧,C=2VL求△ABC的面积.

解：(1)因为cosZ=乎所以sin4=g则tcmA=W所以tan24==2v2.

332J.—tan/t

(2)由sin(^+B)=孚，得cosB=竽，所以sinB="

则sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=孚

由正弦定得，得。=萼=2,所以△ABC的面积为S=4QCS比8=乎.

20.(本小题10.0分)已知函数f(%)=sin2%—cos2%+2y/3sinxcosx-

(1)求/(%)的最小正周期及单调递增区间；

(2)求f(x)在[-,年]上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.

解：⑴因为/(无)=sin2x—cos2%+2y/3sinxcosx=y/3sin2x—cos2x=2sin(2x-。

所以f(%)的最小正周期7=y=7T，

令一?+2/CTT42x—，45+2k〃，kEZ,得一£+kzrWxWk",kGZ

LOLb3f

所以/■(工)的单调递增区间是[Y+时5+阿，kez.

(2)由⑴知f(%)=2si?i(2%—7)因为1学],所以2%一看E[—.,亨],

所以sin(2x—^)G[—1,1],/(x)=2sin(2x—^)E[—2,2],

所以当2%一5=一看即“一押，人乃取得最小值一2；当2%—髀宏即“狎h/(%)取得最大值2.

21.(本小题10.0分)某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通

过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产x台该设备另需投入成本C(x)元，且C(x)=

flOx2+400%,0<x<30

1An4,10000onnn”，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.

(I)求厂商由该设备所获的月利润L(x)关于月产量支台的函数关系式；(利润=销售额-成本)

(E)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.

解：(I)当0<x430时,L(x)=1000%-10x2-400x-5000=-10x2+600x-5000；

当x>30时，L(x)=1000%-1004%-+9000-5000=4000-(4x+

f-lOx2+600x-5000,0<x<30

所以收)=14。00-(©+等),乂>3。；

(n)当0cxs30时，L(x)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000,

所以当x=30时，L(x)取得最大值4000；

当x>30时，/,(%)=4000-(4%+<4000-2]轨.^^=3600.

当且仅当4x=逊，即x=50时取等号，

X

综上所述，当月产量为30台时，制造商由该设备所获得的月利润最大为4000元.

22.(本小题