江西省万安中学2022-2023学年高一年级下学期期中数学试题

江西省万安中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L“2<x<3"是‘'x>。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知i是虚数单位，Z=」-,则复数Z的实部为

3-1

1133

A.--LB.-LC.--D.—

10101010

3.一个棱柱是正四棱柱的充要条件是（）

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形

B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

4."BO的内角4SC的对边分别为α,b,c,若C=%,c=√7/=3”，则”席的面

3

积为（）

A.3√3b2-√Jc,0D,2+6

~44

5.在边长为1的正方形"'c0中，若须=£BC=B,AC=E,则|万-3+同等于（）

A.0B.1C.2D.&

6.在平行四边形/BCZ）中，AC与BD交于点、O，E是线段Oz）的中点，ZE的延长线

与。交于点尸.若在=Z,石=B，则丽=（）

试卷第11页，共33页

匕+Lɪ

A.B.ɑ-ɪðC.—ci4—hD.

412412124

7.在V43C中，〃，b,C分别为内角4B,。的对边,

l+sinficos^-∣∙-C)=Sin2J+—(cos28+cos2C),若b+c=85,则粗如面积的最大

值为()

A.述B.12√Jc.16D.16上

3

8.己知函数/(x)=COSg-je]eos[?+X)+2“SinX+6的值域为[-I']，则"+'-

()

A.—B.2C.”或3D,U或2

444444

二、多选题

9.命题"Vχe[l,2],χ2-α≤θ"是真命题的一个充分条件是()

B

A∙α>4-α≤4

cD

∙α≥5-a<5

10.给出下列命题，其中正确的是()

A.复数z=『1对应的点在第二象限

B.若z=W，贝IJZ为实数

C若Z]，z2为复数，且z：+z；=0，则4=Z2=O

D∙复数z=α+矶〃力∈R)为纯虚数的充要条件为Q=O

11.已知向量)=(1,2),⅛=(-4,2)»则()

试卷第21页，共33页

A.(5-6)±(a+⅛)θ∣5-fe∣=∣5+fe∣

C.加一。在"上的投影向量是VD.BI=W

12.已知,an。2,且Sine+cos。=JJ(Sin。一Cosθ)tang(-W9<5),函数

/(x)=2sinxcosx-sin(2x+^)),则卜列结论中正确的是()

A.点1年,0)是函数/U)图像的一个对称中心

B.直线X=与是函数/(x)图像的一条对称轴

C.函数/(x)在区间「_竺__］上单调递减

.26.

D.若Xj0间,则函数/(X)的值域为L正且

L2」252

三、填空题

13.V/8C中，角A,B,C所对应的边分别为。，b-c，已知2sin24=3cos/,

α=√3,b=B则8=-------

14.如图，某货轮在A处看灯塔8在货轮的北偏东75。，距离为12√^nmile,货轮由A

处向正北航行到Z)处时，再看灯塔£在北偏东］20。，则A与。间的距离为——nmiιe∙

试卷第31页，共33页

15.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡

除”.现有一个羡除如图所示，D4,平面/8FE，四边形4SFE,CDEF均为等腰梯形,

四边形/88为正方形，/8=2，后/=6，点尸到平血/8Cz)的距离为

16.在锐角Mg中，若SinJ=4sin8sinC'则tan√ltan8tanC的取小值--,

四、解答题

47r53TT

17.已知Sina=W，ae(^p7r)，cos^=--,βe(π,~),

(])求cos(α-S)；

(2)求sin(α+P);

18.己知锐角V/8C的内角4B,C的对边分别为“，b,c,已知

2ccosC=bcosA+acosB.

(1)求角C的大小；

Q)若C=Hh求VN8C的周长的取值范围.

19.在V/8C中，点分别在边BC和边力8上，且。C=2BO,BE=2AE,AD交

CE于点P，设沅=或BA^b-

试卷第41页，共33页

H

(1)试用"，B表示加；

(2)在边力C上有点b,使得就=5而，求证：B,P,F三点共线.

20.已知函数/(χ)=sin^2x÷-^-^+cos^y-2x^•

(I)求函数/(x)在卜-生,包］上的单调区间；

66

⑵若作D小一部；，求CoS(2夕+总的值.

21.已知函数/⑴=CoS%+2SinXCoSX-Sini4χ∙

⑴求/(x)的最小正周期；

(2)当χe∣^0,C^∣时,求/U)的最大值和最小值以及对应的X的值.

2

22.给定常数定义在R上的函数〃χ)=3in(*2xj+αsinr∙

⑴若/(X)在R上的最大值为2,求。的值；

(2)设“2」,〃为正整数.如果函数P=∕(x)在区间(°，常)内恰有2022个零点，求”的值.

2

试卷第51页，共33页

参考答案:

I.A

【详解】试题分析：若2<χ<3成立，则x>0一定成立；反之若χ>o成立，则2<x<3不

一定成立；因此"2<x<3”是:>0”的充分而不必要条件；

考点：充分必要条件；

2.A

【分析】根据复数的除法运算直接计算即可.

【详解】z=J-=i（3+i）=L+3i.

ɜ-ɪ101010

・•・复数Z的实部为--L

10

故选：A

3.C

【分析】由正四棱柱的定义及几何特征，结合充要条件的概念，依次判断即可.

【详解】若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四

边形，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；

若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为

斜棱柱，故B不满足要求；

若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此

时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C满足要求；

若卷个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D不满足要求.

故选：C.

4.A

【解析】由余弦定理求出0/关系，再结合6=30可求得α,3再用三角形面积公式

S=SinC计算出面积.

2

答案第11页，共22页

【详解】由余弦定理得：COSC=1+1二c'=二+忆7=8$工」

2abIab32

又b=3a'

所以1而一7=3%...α=l

S*="SinCfiχ3Xq=呼

224

故选：A.

【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题.利用余弦定理求得°/的关

系，并结合已知求得“力的值是关键，三角形的面积公式

S=LQz)SinC=-acsinB=—besinA.

222

5.C

【分析】利用平面向量的线性运算计算即可∙

【详解］|£_加+曰=所_瓦+园=阿+就+西=胸+画=2画=2.

故选：C

6.C

【分析】由VABE:VDEF,根据题意得到竺=竺;="=L利用而△律结合向

ABAEEB34

量的运算法则，即可求解.

【详解】如图所示，在平行四边形45CQ中，可得Y4BE:YDEF，

因为“是线段°。的中点，可得竺=二=匹=1，

ABAEEB3

答案第21页，共22页

----I-1-----1----I-------I_I_

所以EF=上NF=上QO+DF)=±(NZ)+2∕2)=±α+±6.

4443124

故选：C.

7.B

【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得/=宁，再根据

基本不等式结合面积公式求解最值即可

【详解】由l+sin8cos(T∣-C

=sin2/+5(CoS28+cos2C)，

1+sin3sinC=sin2J+l-sin25-sin2Cf

所以sin?β+sin2C-sin2A=-sinBsinC,即从+c2-a2=-be9

所以cos/="+/-"；*=」，因为加'<，所以H=与.

2bc2bc2

因为b+c=8√J,所以8G≥2痴，所以6c≤48,当且仅当z,=c=46时等号成立，所以

SAARC=Lcsin/≤'x48x^^=12Λ∕3•

fBC222

故选：B.

8.C

【分析】由题可得/(x)=-sin2χ+2αsinx+b+g,令'"sinx"∈,设

答案第31页，共22页

g(∕)=-Z2+2^+6+∣,贝∣Jg(f)e［T4］,再利用二次函数的性质分类讨论即求.

π

【详解】V/(x)=cosXIcosIɪ+XI÷2t/sinX+ft，

.β./(x)=；(COS2x-sin2x)+2asinx+6=-sin2x+2asinx+6+^

令，=SinX,FTl],设g(f)j2+2w+H；,贝W(<HT4],

当α≤-l时，g(f)在［-1,1］上单调递减,

，用牛伶

g(l)=--÷2α÷⅛=-l

当α≥l时，g(f)在［7,1］上单调递增,

“+6=巨

g(-l)=------2α+6=-l

2,解得4

g(l)=-ɪ+2α÷6=4

-l<a<Og(')max=g⑷=∕+b+g=4

当时,无解,

g(，)min=g6=2a+b-；=-l

USaCIg(入x=g(α)=∕+6+:=4

当时，■2，无解.

g(%M=g(T)=-2α+6-5=-l

综上，α+⅛=-s⅛α+fe=—.

44

答案第41页，共22页

故选：C.

9.AC

【分析】先求得命题“Wxe[1,2]，χ2-q≤o"是真命题时。的范围，再由充分条件的定义

得出选项.

【详解】当命题"Wxe[L2],x2-α≤0"是真命题时，只需α≥,xe[1,2].又

yRd在[1,2]上的最大值是4，所以“≥4∙因为。25="24，α>4=>α>4,

故选：AC.

IO.AB

【分析】求出复数对应点坐标判断A；设出复数的代数形式推理判断B；举例说明判断

C；利用纯虚数的定义判断D作答.

【详解】对于A,复数z=i7对应的点(Tl)在第二象限，A正确；

对于B,设z=α+6i,α,6eR,由Z=I得α+bi=α-bi,解得6=0,α∈R,即z=α是实数，

B正确；

对于C,令z∣=l,z2=i，满足z；+z；=1+F=0，而ZlXo/2*0，C错误；

对于D,复数z=α+M(α,∕>eR)为纯虚数的充要条件为"0力#0,D错误.

故选：AB

11.BC

【分析】根据平面向量坐标表示的加减法运算，数量积的计算公式，模的计算公式，投影

向量的计算公式，分别判断每个选项即可.

【详解】对于A：”不=(5,0)，5+6=(-3,4),则伍-方•伍+很)=-15，所以(2-6)与

(万+私不垂直，故A错误;

22,

对于B：5-6=(5,0),3+5=(-3,4)，贝Um-Bl=疹万=5'∖a+b∖^√(-3)+4=5

答案第51页，共22页

所以Ia-Bl=Ia+故B正确：

b-a=(-5,0)b-aG(b-a)∙aa-5--

对于c：,所以在上的投影向量是一同—同=彳"=一"，故C正

确；

对于D：p∣=√l2+22=√5,∣⅛∣=√(-4)2+22=2√5,所以,卜忖，故D错误，

故选：BC.

12.AC

【分析】先利用弦化切的思想，求出tan,，由此求出P的值，然后利用三角恒等变换化简

函数/(x)的解析式，再利用正弦函数的性质求解即可.

【详解】：因为tanθ=2,由Sine+cose=VJ(sin6-COsθ)tan∕，

_zsin0+cos0tan0+12+1∏r

可r得ntanw=-=-----------------=-7=-------------=-=--------=√3

VτJ(Sin，一COSe)√3(tan0-1)√f3(2-l)

而—烈夕＜—,所以¢=工,

223

于是/(x)=2sinxcosx-sin(2x+(P)=sin2x_sin

•ɔ1•ɔʌ/ɜɔ1.ɔʌ/ɜɔ

=sin2x—sin2x------cos2x=-sɪn2x------cos2x

2222

■fɔ吟

=sm2x—.

Iɜj

/圉吧SinJxL=sinπθ=,点仔,0)是函数小)图像的一个对称中心，

答案第61页，共22页

直线X=与不是函数/(x)图像的对称轴，A选项正确，B选项错误;

ππn_LCπ4兀2兀

x∈时，2%——∈--，是正弦函数的单调递减区间，所以

2,^^633333

/(x)在区间生:-一］上单调递减，C选项正确；

_26.

当0≤Y时，W-⅛x-y≤y,一当sin(2χ-1≤l,

则/(χ)的值域为L在J,D选项错误.

2，

故选：AC

13.

4

【分析】化简得到(2C°SZT)(COSN+2)=0,A=%,再利用正弦定理计算得到答案.

【详解】2sin2A=3cos√4,即2cos?4+3cos4-2=0，(2cosA-l)(cosJ+2)=0,

c°s"2≠0,故os/=LN=9,sin8-四一包，"(“，故人人

2a24

故答案为：--

4

【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.24

【分析】利用正弦定理直接解三角形.

【详解】如图，可知乙4£)8=60°，ZB=120°-75°=45o

答案第71页，共22页

*乙ABDA4十:+∕>½E4B力。_AB

在中t，由正弦1定理得：SinNB=SinZJOB'

所以/O=;id⅛Fgdn/8=詈g=24

T

故答案为：24.

15∙12+12√2

【分析】先证得点F到平面ABCD的距离为尸到Al§的距离，再根据平面几何性质求各表

面面积，即得结果.

DC

1≡1/……

因为。/J,平面/BFE，D4u平面/8CD,所以平面4BCD工平面4BEF'

过尸作尸于根据面面垂直的性质定理得

01/80,尸Ol平面Agc0,

所以点尸到平面abcd的距离为f到ab的距离，

因此等腰梯形/诋的高为2,

腰但将隹PA6

答案第81页，共22页

因为四边形4BCO为正方形，且力8=2

DE=AD2+AE2=2√3

等腰梯形CDEF的高为K(E7一咛=2后,

所以该羡除的表面积为2χ2+gχ(2+6)χ2+gχ(2+6)χ2√∑+2χgχ2χ2√∑=12+12√∑

故答案为：12+12√∑

【点睛】本题考查面面垂直判定与性质定理、几何体表面积，考查基本分析论证与求解能

力，属基础题.

16.16

【分析】结合三角形关系和已知可得SinBCoSC+cosBsinC=4sin5sinc，进而得到

tan8+tanC=4tan8tanC,再结合函数的性质可求出最小值.

【详解】解：因为sin∕=sin(π∙-Z)=Sin(8+C)=sin5cosC+cos8sinC

SirL4=4SinBSinC

所以sinBcosC+cos8sinC=4Sin8sinC,

因为ZUBC为锐角三角形，

所以cosC>0,cosB>09

所以tanB+tanC=4tan8tanC,

又因为tan力=-tan(π-A)=-tan(B+C)=--------------------

1-tantanC

所以tan4tanBtanC=--∙n'+tanCBtanC

1-tantanC

答案第91页，共22页

2

4(tanfitanC)----------------------

1-tanβtanC

ʌtanBtanC=/.ʌ.>—tan5>O,tanC>O,tanB+tanC八

令，由为锐角z可r得zs，tanJ=-------------------->0,

1-tantanC

所以l-tanBtane<0，得f>l

4z24

所以tarL4tan^tanC=-

I-Z1_1，

因为由'）ι得，—-≤"-<0,

所以taMta同anC的最小值为16

故答案为：16

【点睛】此题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性的知识，有一定的灵活性，属于

难题.

3316

17.(1)-----;(Z)-----•

6565

【分析】（1）由所给条件求出cosa、sin/?,利用两角差的余弦公式求解即可；（2）利

用两角和的正弦公式求解.

【详解】(1)sinα=-,α≡(-,π),..cosa=-->

525

∙.∙cosβ=一--,β∈(πi-),sinβ=,

答案第101页，共22页

(2)∣⅛(1)得sin(α+夕)=gx(-∙^)+(一∣∙)χ(-j∣∙)=[.

【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系、两角和与差的正弦、余弦公式，属于基础题.

18.(1)-

3

(2)(√21+√7,3√7]

【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可昨C角;

(2)由正弦定理把α+6用A角表示，并由两角和与差的正弦公式化简，由锐角三角形得

A的范围，然后由正弦函数性质得α+b取值范围，从而得周长范围.

,o,*,_八、,---,.⅛zp,abc”、、2ccosC=bcos"+αcos8

【r详解7】（1）由正r弦+定τ理m得：—r=-代入

sɪnAsinBsinC

∙*∙2sinCcosC=Sin8cos4+sinZcos6=sin（力+8），乂4+B=冗-C，

∙,∙2sinCcosC=sinC,而°<0<九'则SiIlCH0'

cosC=ɪ,故C=二.

23

abc√72√21

（2）由正弦理得：Sin/sin8sinCG3，

2

,2√21.42√2T.D2√21.）2√2T.（2ππ八c行•）

a+b=-------Sm4+--------SmB=--------sinJ+--------Sm-------A=2√7sinA+—,

333313yl<6）

因为V/8C为锐角三角形，所以o5<g,0<2<二，

22

答案第Ill页，共22页

兀7Γ7Γ

由内角和为，则//<孑，

62

所以*%sin[∕+k)≤l，则√H<2"sin(z+:)≤2√7,

VABC周长为4+6+6="7+。+人

故VMC的取值范围为(历+√7,3√7].

—14-

19.(↑)BP=-a+-b

77

（2）证明见解析

【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解;

（2）利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解.

【详解】（1）设EP='EC,由题意丽=20=2不，

33

2

所以反=丽+第=N-—b^P=BE+^EP=~BE+tEC=-b+t∖a=ta+-(∖-t}b①,

3

设而=呵由丽=/十，共滋+而从中,

BP=BD+DP=^(\-k)a+kb®,

21

由①、②得，ta+-(∖-t)h=-(∖-k)a+kb,

答案第121页，共22页

，=;（一）1

7

所以解得

k=%

7

__14-

所以8尸=一方+—6；

77

(2)由"=得箫=』就』

55、

，，———.14-

所以8尸=8/+//=；1+16,

__7__

所以BF=-BP,

5

因为丽与丽有公共点8,

所以8,P,厂三点共线.

r_述.

20.（1）递增区间为-生,工7π5π,递减区间为πlπ(2)

,,

61212^"6^12l2^3

【解析】（I）化简函数的解析式为/（x）=sin2x+g,根据Xe瑞，得到

2x+ge[0,2π],结合三角函数的性质，即可求解.

（2）由夕结合sin（2夕+总=；＜5,得到20+∕∣j,π）,利用三角函数的基本

关系式，即可求解.

【详解】（I）山题意得/（x）=Sinl2x+g^+cos（ι-2x）=4∙cos2x-gsin2x+sin2x

答案第131页，共22页

ʌ/ɜʌlπ.ʌ

——cos2x+—sin2x=sin2,x+-

22

π5π

因为x∈所以2x+今∈[θ,2兀],

6,^6

令。≤2x+箸晨解得,中石

令警X+]≤∙y,解得Xeπ7π

12,ll2

7π5π

令一≤2x+-<2π,Wxe

23

所以函数/（x）在「_巴?匚上的单调递增区间为-歹一，空L

.66._612jL126

单调递减区间为「处J.

1212

（2）由（1）知/（夕=Sin（24+彳）=§

因为万U,所以2夕+詈

又因为sin（2/?+t）=；<5，所以2夕+f至（5,兀），

所以

【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：

1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转

化为求特殊角的三角函数值问题；

2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于

答案第141页，共22页

‘'变角"，使相关角相同或具有某种关系；

3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角

的范围).

21.(1)"；(2)当Xq时J(X)取得最小值T;当X=?时J(X)取得最大值及.

Zo

【分析】(1)利用降基扩角公式先化简三角函数为标准型，再求解最小正周期；

(2)由定义域，先求oχ+w的范围，再求值域.

【详解】(1)/,(X)=^cos2x+sin2x)(cos2X-sin2x)+sin2x

=cos2x+sin2x

=V2sin^2x+-^-j

所以/(x)的最小正周期为生=7T∙

2

(2)由χ∈θ,ɪ，得x=2x+工∈-,-π，

L2]4|_44」

当2χ+工=』〃，即X=1时，A”取得最小值「I

442

当2x+gq,即Xq时，/U)取得最大值夜.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，之后