2023年高考数学汇编：函数

2023年高考数学汇编函数

第二节函数的基本性质

1.(2023全国甲卷理科13,文科14)若y=(x-l)2+av+sinX+])为偶函数，则4=

【分析】利用偶函数的性质得到一,从而求得"=2,再检脸即可得解.

【解析】因为y=/(x)=(x-l)-+ox+sin[x+'|J=(x-iy+ax+cosx为偶函数，定义域

此时=+2X+COSX=J?+1+COSX,

所以=-+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故为偶函数，所以a=2.

故答案为2.

2.(2023全国乙卷理科4,文科5)已知/(%)=就[是偶函数，则。=()

A.-2B.-lC.lD.2

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

Ye*

【解析】因为-----为偶函数，

一1

x

xe(一工卜-*x「e"-/一"]

则/W-/-(-%)=—--^2^=^--------^=0,

J\/J\/e^ax—1e八一⑪—1e^ax—1

又因为X不恒为0,可得e'—e("T"=0,即e*=,

则x=(a-l)x,即l=a-l,解得a=2.

故选D.

3.(2023新高考I卷11)已知函数/(x)的定义域为R,/(xy)=y2f(x)+x2f(y),则

A./(0)=0C./(x)是偶函数D.x=。为/(x)的极小值点

【解析】选项A,令x=y=0,则40)=0,故A正确；

选项B,令x=y=l,则=+所以/(1)=0,故B正确；

选项C,令x=y=-l,则=-1)+/(-1),因为=所以/(_1)=0,

令y=-l,则/(—x)=/(x)+x2/(-l)=/(x),所以是偶函数，故C正确；

选项D,对式子两边同时除以丁丁2=0,得到/£2=幺2+41,

%y%-y

/\]0，x=0

故可以设y(x)=,..八，

当x>0时，/(x)=x2lnx,/'(x)=2xlnx+x2•—=x(21nx+l),

令尸(x)>0,解得工>「：，令/'(%)<0,解得o<x<e《，

(-I)(

故/(x)在0,e2单调递减，在e2,+oo单调递增.

(」、(二、

又/(X)是偶函数，所以/(X)在一e",o单调递增，在一8,一©-5单调递减.

\7\)

/(x)的图像如图所示，所以x=o为/(X)的极大值点，故D错误.

故选ABC.

2r—1

4.(2023新高考H卷4)若/(x)=(x+a)ln相力为偶函数，则。=()

A.—1B.0C.-D.1

2

2,x—1

【解析】/(x)=(x+a)ln

2x+l

则/(-x)=(-x+tz)ln—~-=(-x+6z)ln^X—*

~~2>x12x1

因为/（X）为偶函数，所以/（力=/（一力,

s/、［2x—1z\-2x+1/、12x—1

即(x+a)ln-----=(-x+a)ln-----=(x-ez)ln-----

2x+12x—12x+1

所以有X+〃=得4=0.故选B.

5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

AJ（x）=-lnxB./（x）=?C./（x）=-^口./（力=3卜-"

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即

可.

【解析】对于A,因为y=inx在（o,+8）上单调递增，y=-x在（0,+8）上单调递减,

所以〃x）=-lnx在（0,+8）上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2*在（0,+8）上单调递增，y=1在（0,+8）上单调递减，

X

所以〃力=£在（0,+8）上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=L在（0,+8）上单调递减，y=T在（0,+8）上单调递减，

X

所以/（x）=-，在（0,+8）上单调递增，故c正确；

对于D,因为/（；）=3:《=33=百，/（1）=3|1-1|=3°=1,/（2）=3M=3,

显然〃x）=3M在（0,+8）上不单调，D错误.

故选C.

x-\-2,x<-a

6.（2023北京卷⑸设a〉0,函数〃3）=Va-磁ka,给出下列四个结论:

-yfx-\,x>a

①/（x）在区间（a—1,+00）上单调递减;

②当a..l时,存在最大值；

③设M(内a),N(w,/5))(七>a),则

④设可毛,/(七))(七<—。)，e(x4,/(x4))(x4...-«),若|PQ|存在最小值，则。的取值范围

是收.

其中所有正确结论的序号是.

【分析】先分析/(X)图像，再逐一分析各结论；对于①，取。=^,结合图像即可判断：

对于②，分段讨论“X)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；

对于④，取4=一，结合图像可知此时|P0|存在最小值，从而得以判断.

【解析】依题意，a>0,

当x<-a时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当一aWxWa时，y(x)=\Ja2—x2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上

方的图像(即半圆)；

当x>a时，/(x)=-V^-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xe(a-l,+8),即时，“X)在卜;,0)上单调递增，故①错误;

对于②，当aNl时，

当x<-a时，f(x)=x+2<-a+2<\；

当一时，/(x)=x/a2—f显然取得最大值。：

当x>a时，/(x)=--Vx-1<-4a-\<-2,

综上：取得最大值。，故②正确；

对于③，结合图像，易知在再="，/>a且接近于x=a处,

J(xi)g"IM%,/(&))(马>a)的距离最小,

当西=4时，y=/(xJ=O,当超>。且接近于x=a处，y2=/(x2)<-Va-l,

此时，|MN|>y-%>G+1>i，故③正确；

因为喉，/⑸)(&<-a)，C(x4,/(x4))(x4>-a),

结合图像可知，要使户。|取得最小值，则点P在/(x)=x+2(x<-g)上，点。在

同时|尸。|的最小值为点0到/(x)=x+2的距离减去半圆的半径a,

，〈一《卜勺斜率为1,则"op=T,

此时，因为f(x)=y=x+2

故直线QP的方程为丁二一人，

[y=-xfx=-1/、

联立）.解得,,则PT1,

[y=x+2[y=1

显然在/（x）=x+2（x<—g）上，满足|P0|取得最小值，

即a=1也满足归。|存在最小值，故。的取值范围不仅仅是10,；,故④错误.

故答案为：②③.

【评注】本题解决的关键是分析得/（x）的图像，特别是当rVxWa时，f（x）=y/a2-x2

的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.

第三节哥函数

1.（2023天津卷3）若4=1.01°5,/7=1.0464=0605,则。力，。的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【分析】根据对应赛、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【解析】由y=1.01"在R上单调递增，则a=L0105V6=1010.6,

由y=X05在[0,”）上单调递增，则67=1,01°5>c=0.6°‘,所以Z?>a>c.

故选D.

第四节指数与指数函数

（）

1.（2023天津卷3）若4=1。1°5,6=1（）1。.6£.=065,则a,。,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【分析】根据对应寐、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【解析】由y=1.0F在R上单调递增，则Q=1.0产5

由y=x05在[0,+oo）上单调递增，则Q=1.01°$>c=0.6°6.所以〃

故选D.

2.（2023全国甲卷文科11）已知函数/（耳=下（1『.记4=/[事/b=f

，则（）

\.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即

可.

【解析】令g（x）=-（x-l）2,则g（x）开口向下，对称轴为x=l,

因为乎一1一1一岑=,而（遥+6尸一4：=9+6忘-16=6五-7>0,

而（&+立）2—4?=8+46—16=4后-8=4（百—2）<0,

即乎-1<1-孝,所以8停）>8（辛，

综上'g（#）〈g（乎）<gg），

又〉=;’为增函数，故a<c<b,即b>c>a.

故选A.

3.（2023新高考I卷4）设函数〃x）=2G-"）在区间（0,1）单调递减，则。的取值范围是（）

A.（—co,—2]B.[-2,0）C.（0,2]D.[2,+oo）

【解析】令。=x（x-a）,要使得/（x）=2MI）在区间（（）,1）单调递减，需要满足

r=x（x—a）在区间（0,1）单调递减，所以羡21,所以a的取值范围是[2,+8）.故选D.

4.（2023北京卷11）已知函数〃x）=4'+晦*,则/佶]=.

【分析】根据给定条件，把》=•!■代入，利用指数、对数运算计算作答.

2

【解析】函数/(x)=4'+log2X,所以/(；)=42+log2；=2-l=l.

故答案为1.

第五节对数与对数函数

1.(2023北京卷11)已知函数y(x)=4'+10g2》，则=.

【分析】根据给定条件，把x=1代入，利用指数、对数运算计算作答.

2

(解析】函数/(x)=4'+log,x,所以/(g)=42+log,1=2-1=1.

故答案为1.

2.(2023新高考I卷10)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级。,=20xlg二，其中常数〃o(〃o>O)是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不

Po

同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为Pl,P2,P3,

则()

A./?!>p2B.P2>1（）P3C.P3=100/?0D./?!<100p2

【解析]选项A,L|_〃=20xlg且一20xlg卫=20x]g且Tg卫=20xlg且NO,

PoPoIPoPo）Pi

所以P]N，所以A正确；

选项B,L,-L,=20xlg&N10,所以恒上之工，所以卫之屈，故B错误;

PiP32P3

选项c,4=20xlg2.=40,所以lg2-=2,所以上=100,故c正确;

P。PoP。

选项D,A,-L,=2OxlgA<9o_5o=4O,所以怆红42,所以旦•4100,故D正确.

P2P2Pi

故选ACD.

第六节函数的图像及应用

1.(2023全国甲卷理科10,文科⑵已知f(x)为函数y=cos12x+力向左平移2个单位

所得函数，则y=/(x)与y=gx-g交点个数为()

A.lB.2C.3D.4

【解析】因为函数y=cos(2x+.J向左平移聿个单位可得，(x)=-sin2x.

结合图像可知有3个交点.故选C.

【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.

x+2,x<-。

2.(2023北京卷15)设〃>0,函数={二P",一通Aa,给出下列四个结论:

—yfx—1,x>a

①/(x)在区间(a—1,+8)上单调递减；

②当a..l时,“X)存在最大值；

③设〃(5,/(演)乂5,,a),Ng"(七))(/>a),则

④设网玉,/(七))(退<-a),e(x4,/(x4))(x4...-a),若|PQ|存在最小值,则。的取值范围

是收.

其中所有正确结论的序号是.

【分析】先分析/(x)图像，再逐一分析各结论；对于①，取a=g，结合图像即可判断：

对于②，分段讨论〃x)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；

对于④，取。=^,结合图像可知此时归。|存在最小值，从而得以判断.

【解析】依题意，a>0,

当x<-a时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当一时，f(x)=\la2-x2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上

方的图像(即半圆)；

当时，/(x)=-V^-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xc(a-l,+oo),即引时，在卜g,o］上单调递增，故①错误;

对于②，当时，

当x<-a时，/(x)=x+2<-a+2<1；

当一时，=一X。显然取得最大值。;

当时，/(x)=-\/x-l<-Va-I<-2,

综上：取得最大值a,故②正确;

对于③，结合图像，易知在X1=a,%>a且接近于X=a处,

M(%,/(嘲(％<a),N(x2,f(X2))(X2>。)的距离最小,

当玉=4时，y=f(xj=o,当々>。且接近于x=a处，y2=f\x2)<-4a-\,

此时，>%-%>6+1>1，故③正确；

对于④，取“=1，贝l/(x)的图像V口下，

因为「(七，/(七))(退<-a)，e(x4,/(x4))(x4>-«),

结合图像可知，要使|PQ|取得最小值，则点尸在“x)=x+2(x<-g)上，点。在

同时|尸。|的最小值为点0到〃x)=x+2的距离减去半圆的半径。，

此时，因为/(x)=y=x+2[x<-g)的斜率为1,则%。?=一1,

故直线。尸的方程为y=-x,

[y=-xfx=-1,、

联立.解得则P(—1,1,

[y=x+2[y=1

显然在/(x)=x+2[x<-g)上，满足|PQ|取得最小值,

4,,。的取值范围不仅仅是(0,：,故④错误.

即a=g也满足|PQ|存在最小值，故

故答案为：②③.

【评注】本题解决的关键是分析得f(x)的图像，特别是当时，f(x)=yJa2-x2

的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.

3.(2023天津卷4)函数“X)的图象如下图所示，则〃x)的解析式可能为()

C.5(一+尸)r5cosx

X2+2

【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在(0,+8)上的

函数符号排除选项，即得答案.

【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(—2)=/(2)<0,

5sin(-x)_5sinx

,且定义域为R,即A,B中函数为奇

(-x)2+1x2+1

函数，排除选项A,B：

当x>0时，5/+e)>0,即C中(0,物)上函数值为正，排除选项C：

X2+2

故选D.

第七节函数与方程

1.(2023全国甲卷理科10,文科⑵已知f(x)为函数y=cos(2x+,向左平移,个单位

所得函数，则y=f(x)与y=交点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】因为函数y=cos(2x+^J向左平移个个单位可得/(x)=-sin2x.

结合图像可知有3个交点.故选C.

【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.

2.(2023天津卷15)若函数/(》)=加一2万一,2-0¥+1]有且仅有两个零点，则。的取值范

围为.

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断。的取