求点到平面距离的基本方法

PAGEPAGE5寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．1.1二面角的相关概念OABOOABOABl从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.图1定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：图1二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.2.二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在的二面角的两个面内，分别有和两点．已知和到棱的距离分别为2和4，且线段，试求：（1）直线与棱所构成的角的正弦值；（2）直线与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作；在平面内作，，连结、．可以证明，则由二面角的平面角的定义，可知为二面角的平面角．以下求解略．例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为.例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABCMAFA1QPBCECBPEF图2(2)MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QEB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值tan∠COC1=分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=。PAＳBＳCＳDPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.PBADC图3例2PBADC图3解：作BC中点D，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=,易知AD=PD=,在RT∆PAD中，所以二面角P-BC-A的大小为.A图A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.例2如图，在平面内有一条直线与平面成，与棱成，求平面与平面的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过作；平面，连结．由三垂线定理可证，则为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．图4B1AA1BlEF（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作”、“图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=eq\r(2)，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE依次可求得AB1=B1B=eq\r(2)，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E,A1F)=eq\f(\r(6),3)EABCFE1A1B1C1D1D例2．(2009山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、EABCFE1A1B1C1D1D证明：直线EE//平面FCC；求二面角B-FC-C的余弦值。证（1）略EABCFE1A1B1C1D1DF1OP解（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,在RtEABCFE1A1B1C1D1DF1OP练习2（2008天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角的大小为）例3在正方体中，为面中心，求二面角的大小.解：在正方体中,且,ADCBM图5面,故ADCBM图5又面,可知过作于，连接则由三垂线（逆）定理可知为二面角的平面角.不妨令，于是，有,,，可得所以二面角的大小为三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知为内的一点，于点，于点，如果，试求二面角的平面角．分析：平面．因此只要把平面与平面、的交线画出来即可．证明为的平面角，（如图2）．注意：这种类型的题，如果过作，垂足为，连结，我们还必须证明，及为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4已知斜三棱柱中，平面与平面构成的二面角的平面角为，平面与平面构成的二面角为．试求平面与平面构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．P图5lCBA例4空间的点P到二面角的面、P图5lCBA为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.ACGEB图7分别在ACGEB图7AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.例5如图7,在正三棱柱中,截面侧面,若,求平面与平面所成二面角（锐角）的大小.解:设.因为面与面重合,由题意面面，而为面与面相交于棱上一点且，所以面为所求二面角的一垂面，为所求二面角的平面角.在正三棱柱中,,可知故所求二面角的大小为.四、平移平面法（无棱的一种）例5如图，正方体中，为的中点，为上的点，且．设正方体的棱长为，求平面与底面构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点作与相交于点，过点作，与相交于点．可证平面平面．这样，求平面与平面的二面角的平面角就转化为求平面与平面的二面角的平面角．显然为这两个平面的交线，过点作，为垂足，连结，可证．则为本题要寻找的二面角．例6（本题关键在利用平移棱AOAOCBFDE图8在正三棱柱中,是的中点，,求二面角的大小.解:作且交BD于F,则AE平面，连接,，并记它们的交点为O连接OF，由，知.由知OF,OE，而,RT∆∼RT∆,因此故有可得ADCBK图ADCBK图9EFO例7在棱长为1的正方体中，E是BC的中点，试求面与平面所成二面角的大小.解:取中点F，连FD,FB;取AD中点K连接A₁K,BK,A₁B.显然,DE₁BF为平行四边形.因为A₁K//FD,KB//DE,知平面A₁KB//平面DEB₁F。取A₁B中点O,连接OK,OA,由A₁K=BK,A₁A=BA知，OKA₁B,OAA₁B故∠AOK为二面角的平面角.可得故平面与平面所成二面角的大小为.五、找垂面，作垂线例6如图，正方体中，为棱的中点，求平面和平面所构成的锐二面角的正切．分析：平面与二面角的一个面垂直，与另一个平面相交，过点作，垂足为，过作，交于点，连结，由三垂线定理可证，则为二面角的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找所构成的二面角的平面角，可找平面，且，，过上任何一点作，垂足为，过作，垂足为，连结，可证为的平面角．六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1．三线合一例7如图，空间四边形中，，，，．试求二面角的余弦值．分析：如图1，，，则△和△为等腰三角形．过作，垂足为，连结．根据三线合一，且为中点，可证，则为二面角的平面角．2．全等三角形例8如图，已知空间四边形，，，，．试求的余弦值．分析：过作，垂足为，连结．根据已知条件，△和△全等，可证，则为二面角的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9如图，四棱锥中，和与面垂直，△为正三角形．（1）若时，求面与面的夹角；（2）若时，求面与面的夹角．分析：如图，面与面的交线蜕化成一点，但面与面与面相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线与互相平行，所以肯定有过且平行于的一条交线．可过作，平面与平面的交线即为．过作于，过作于．可证，，则为面与面的夹角．如图，与不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长、相交于点，连结．即为平面与平面的交线，通过一些关系可证为平面与平面的夹角．通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．七、面积法（不作二面角求法）DAM图6ECBC1A1B1HG如图1DAM图6ECBC1A1B1HG例5如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，则△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰△A1B1C1的面积为，又正△ABC的面积为.设所求二面角的大小为，则cos=例4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；ACBEP分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出SACBEP于是得到下面解法。解：（Ⅰ）证略（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，A1D1B1C1EDBA1D1B1C1EDBCA图5设二面角的大小为，则∴二面角的大小为练习4：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1图13CBAOS分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D图13CBAOS（答案：所求二面角的余弦值为cosθ=）.例10求正四面体任意两个面所成二面角的大小.解:如图13，正四面体S-ABC,由正四面体的对称性,不妨求侧面与底面所成二面角的大小.易知而S的射影为的中心，所以ADCADCBE图14F故正四面体任意两面所成二面角的大小为.例11如图14,在正方体中,E为CC₁中点，F在BB₁上,且BF=BB₁,求平面A₁EF在底面ABCD所成二面角的余弦值.解:如图14所示，在正方体中，.由射影面积公式知故所求二面角的余弦值为.八、将无棱二面角转化为有棱二面角直接作出无棱二面角的棱，将无棱二面角转化为有棱二面角，按有棱二面角来处理，作棱有两种常用的方法：①作交线，由交点得棱；②作平行线，即为棱.例3（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略ABCEDPFGH解:（Ⅱ）延长ABCEDPFGH过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，ACBB1C1ACBB1C1A1L练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC（1）求证：AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1与平面ABC提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为45O）如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点P，图中没有给出二面角的棱.此时,若在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行,则过P分别作这两条直线的垂线PQ和PR,则∠QPR就是二面角的平面角.例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为,求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.解:如图，过P点作,则.故在P-ABCD中有.FE图12FE图12DCAB作AB中点E,CD中点F.连接PE,PF.易知PEAB,PE,又PFCD,PF,可知∠EPF为所求二面角的平面角.由条件PE=PF=，得到故平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.九、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。若二面角两个半平面,的法向量分别为且知道二面角为锐角（钝角），则.定理1设二面角为，，则，有ALALMB图19EEAF图18B文给出另一结论：定理2如图19，空间任一条直线L,A,B是直线L上的两个点，M是空间任一点,MNL于N,则AMAMDCB图20EFN利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N坐标的判断.例14如图20,已知正方形ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直，,M是线段EF中点，求二面角A-DF-B的大小.解:如图建立空间直角坐标系，则.作AMDF于M,BNDF的延长线于N,则所成的角的大小与二面角A-DF-B的大小相等.故二面角A-DF-B的大小为.例12如图15,在矩形ABCD外存在一点P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.APDCB图APDCB图15则有由及得注意到B-PC-D为钝角，故B-PC-D的大小为.例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1⊥（答案：，且）总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。十、其他（有关二面角的最值问题等）求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图7EDCBAl例6二面角-l-的大小是变量，点B图7EDCBAl上，A、D分别在面、内，且AD⊥BC，AD与面成角，若△ABC的面积为定值S，求△BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图9，作AE⊥BC于E，连DE，则由AD⊥BC得BC⊥平面ADE，则DE⊥BC，∠AED=，∠ADE=.在△AED中，由正弦定理得，所以，则当时，有Qmax=2S.△BCD和△ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如图1，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.(Ⅰ