数理经济学 第五篇 14章

第五篇动态分析第14章动态经济学与积分学动态学与积分不定积分定积分广义积分积分的经济应用多马增长模型第15章连续时间：一阶微分方程具有常系数和常数项的一阶线性微分方程市场价格的动态学可变系数和可变项恰当微分方程一阶一次非先行微分方程定性图解法索洛增长模型第16章最优控制理论最优控制的特性其他终止条件自治问题经济应用无限时间跨度动态分析的局限性第14章动态经济学与积分学动态经济学的涵义其目的是探寻和研究变量的具体时间路径,或者是确定在给定的充分长的时间内这些变量是否会趋向收敛于(均衡)值.直接面对”可实现性”问题,而不像静态学和比较静态学那样假设”必然能够实现”.特征:确定变量的时间!时间可作为连续变量也可以作为离散变量.动态学与积分动态模型涉及的问题是,在已知变化模式的基础上,描述某些变量的变化时间路径如,假设已知人口规模H随时间以速率dH/dt=t-1/2变化,则想知道的是:人口H=H(t)的何种时间路径可以产生上述变化率?当然,如果我们事先就知道函数H=H(t),那么可以通过求导数得到变化率.但现在的问题恰恰相反:要从已知的导数求出原函数!上述问题揭示了动态经济学问题的实质:给定变量随时间变化的行为模式,设法求出描述变量时间路径的函数,在此过程中,遇到一个或多个任意常数,可以通过引入初始条件,确定常数的值.不定积分积分的性质积分是微分的逆过程给定原函数F(x),对其微分得到导数f(x),假设可以得到适当的信息以确定在积分过程中产生的任意常数,则可以”积分f(x)以求得F(x).”函数F(x)称为f(x)的积分或反导数.积分与微分两种运算类似研究家谱的两种方法:积分就是追溯函数f(x)的家系或出身,而微分则是寻找F(x)的后裔.注意两者的区别:尽管可微原函数总是产生一个后代,即唯一的导数f(x),但导数的积分则可能追溯到无数个可能的父母.积分的基本法则法则I(幂函数积分法则)法则II(指数函数积分法则)法则III(对数函数积分法则)法则IIa法则IIIa

运算法则法则IV(和的积分)法则V(倍数的积分)涉及代换的法则法则VI(代换法则)f(u)(du/dx)对变量x的积分,是f(u)对变量u的积分:法则VII(分部积分)v对u的积分等于uv减去u对v的积分:定积分定积分的含义对于连续函数f(x)的已知不定积分,若选择x定义域中的两个值a<b,依次将其代入,并形成差值[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a),从而得到不在包含变量x及任意常数c的具体数值,称为f(x)从a至b的定积分每一个定积分均有一个确定的值,在几何上可以解释为一条给定曲线下的特定面积定积分的性质性质I上下限的互换,使符号改变:性质II性质III性质IV性质V性质VI性质VII给定u(x)和v(x):广义积分无穷极限积分形如的定积分称为广义积分计算方法:无穷被积函数积分区间为闭区间[a,b]时,如果被积函数在区间中的某处为无穷大,则积分为广义积分,求解利用极限积分区间为开区间(a,b)时,则需要先将给定区间分割成子区间,当且仅当每个子区间有极限时,积分才是收敛的.积分的经济应用从边际函数到总函数给定一个总函数对其微分会产生边际函数,而积分使我们可以从已知的边际函数反推出总成本函数例1如果厂商边际成本MC是总产出的下述函数:C’(Q)=2e0.2Q,若固定成本CF=90,求总成本函数C(Q).求积分:将信息CF=90作为确定常数c的初始条件,当Q=0时的总成本只含有CF,于是得到:10e0+c=90,则c=80.总成本函数为:C(Q)=10e0.2Q+80.例2如果边际储蓄倾向(MPS)是收入的如下函数:S’(Y)=0.3-0.1Y-1/2,若当收入Y=81时,总储蓄S=0,求储蓄函数S(Y)求S’(Y)的积分:确定c值:0=0.3(81)-0.2(9)+c,所以c=-22.5储蓄函数为:S(Y)=0.3Y-0.2Y1/2-22.5上述两例可推广至已知边际函数求总函数的其他问题.投资与资本形成资本形成是增加给定资本存量的过程,此过程可视为连续的,将资本存量表示成时间的函数K(t),并以导数dK/dt表示资本的形成率,但是,在时间t的资本形成率与以I(t)表示的净投资(流量)率相等.所以资本存量K和净投资I通过如下两个方程联系起来:用Ig表示总投资,I表示净投资,两者关系为:Ig=I+

K,其中,

表示折旧率,

K表示重置投资率例3假设净投资流量以方程I(t)=3t1/2表示,在时间t=0时的初始资本存量是K(0),何谓资本K的时间路径?将I(t)对t积分,得到:令t=0,求得K(0)=cK的时间路径为:K(t)=2t3/2+K(0)如果希望求出某一段时间区间的资本形成数量就使用定积分:注意:资本K是存量而投资I是流量!例4若净投资是一个不变流量I(t)=1000美元/年,则在一年内的总净投资(资本形成)是多少?例5若I(t)=3t1/2,这是一个可变流量,那么,时期[1,4]的资本形成是多少?资金流量的现值仅用单一未来值V得到的贴现公式是:A=V(1+i)-t[离散情况]A=Ve-rt[连续情况]当假设有一个未来值的流-在未来各个时间可获得的一系列收益,或在各个时间要支付的成本,那么应该如何计算整个现金流的现值?离散情况:假设有三个在t年末可获得的收益数字Rt(t=1,2,3),每年的利息率为i,那么Rt的现值分别为R1(1+i)-1,R2(1+i)-2,R3(1+i)-3由此得到总现值和为连续情况:考察收益率为R(t)的连续收入流,在任意时点t,时期[t,t+dt]的收益量为R(t)dt,按当年贴现率r连续贴现,其现值为R(t)e-rtdt对三年收入流的总现值,那么可以通过定积分获得:例6连续收入流按每年D不变收益率持续y年,将其按年利息率r贴现,其现值为多少?按照上述公式有:例7酒窖藏酒问题在前述酒窖问题中,假定酒窖的藏酒成本为零,当时采用此假设是因为我们不知道计算成本流量现值的方法.现在已经解决了这个问题.假设酒商现在发生的采购成本为C,其未来销售额随时间变化而变化,一般表示成V(t),现值为V(t)e-rt.虽然销售额是一个未来值,但窖藏成本是支出流.假设成本是一个每年为固定比率s的不变支出流,在t年中所发生的窖藏成本的总现值等于酒商力求最大化的净现值可以表示成为使N(t)最大化,必须选择t值以使N’(t)=0即此方程为选择销售时间t*的最优化的必要条件经济解释:V’(t)表示若销售延迟一年销售额的变化率,或者V的增量,方程右边的两项分别表示由于延迟销售而导致的利息成本增量和窖藏成本增量(收益和成本均在时间t*计算)持久流量的现值如果资金流量永远持续,比如从持久债券获得的利息或从如土地等恒久资产获得的收益,资金流的现值将为:例8求每年按不变比率D获得的恒久收入，按贴现率r连续贴现的现值.计算广义积分时使用正常积分的极限上式讨论的是持久流量与持久收入领域中的资产”资本化”公式完全一致(现值=收益率/贴现率)多马增长模型多马增长模型前述人口增长问题及资本形成问题的目标是在已知变量变化模式的基础上描述时间路径多马的经典增长模型的思想是规定要满足某些均衡经济条件所需要的时间路径的类型框架(基本假设与均衡条件)年投资(流量)比率I(t)的任意变化会产生双重效果:它将影响总需求及该经济体的生产能力I(t)变化的需求效应通过乘数过程立即发挥作用I(t)的提高会通过I(t)增量的乘数作用增加年收入流量比率Y(t)乘数是k=1/s,其中s表示已知的边际储蓄倾向,假设I(t)是唯一的影响收入流量比率的支出流量,则有:dY/dt=(dI/dt)(1/s)投资的生产能力效应通过该经济能够生产的潜在产出能力的变化来度量假定能力-资本比率不变,有:/K(=常数),其中

表示生产能力或每年的潜在产出流量,表示已知能力-资本比率上式表示资本存量为K(t)的经济体每年能够生产的产出或收入等于

K由d=dK可以得到:d/dt=dK/dt=I在多马模型中,均衡被定义为生产能力得到充分利用的状态达到均衡时要求总需求恰好等于该年度能够生产的潜在产量即Y=.若从均衡状态出发,则要求生产能力变化与总需求变化相等,即dY/dt=d/dt,何种投资I(t)的时间路径能够时时满足这一均衡需要!求解先将假设条件2与3代入均衡条件,得到微分方程:上述式子设定了I变化的确定模式,应当能够由此求出均衡的投资路径.由方程左边给出:由方程右边给出:两式结合,合并常数为:ln|I|=

st+c反对数运算得到:|I|=e

stec

Ae

st.取投资I为正,有I=Ae

st,求取常数A:令t=0,得到I(0)=A投资路径为:I(t)=I(0)e

st经济意义:为使生产能力和需求在不同时间保持平衡,投资流量比率必须严格按照指数

s沿着图形描述的路径增长.显然,所要求的投资增长率越高,生产能力-资本比率和边际储蓄投资倾向也越大,但无论如何,一旦

和s的值确定,所要求的投资增长路径便完全确定了.I(0)刃锋问题:如果实际投资增长率(称其为比率r)与所要求的比率

s不同,会出现何种状况呢?定义一个利用系数:u=1意味着生产能力的充分利用可以证明u=r/s,如果实际的和所要求的比率间存在差距,那么最终将发现生产能力或者不足,或者过剩,具体情况视u的大小而定还可以证明,关于生产能力短缺或者过剩的结论可以在任意时间t应用,增长率为r意味着I(t)=I(0)ert,代入假设条件2和3后得到:上述比率揭示出在实际增长率为r的条件下,在任意时间t,投资的需求创造效应与投资的生产能力生成效应的相对大小如果实际投资增长率r大于要求的增长率

s,则需求效应将超过生产能力效应导致生产能力不足,相反,则导致生产能力过剩结论的奇妙在于:如果投资的实际增长率快于所要求的比率,那么,最终将导致生产能力短缺而非过剩!同样令人费解的是:如果实际投资增长滞后于所要求的比率,将面临生产能力过剩而非短缺!最终的结果:给定常参数和s,则避免生产能力短缺或者过剩的唯一方法是谨慎地控制投资流,使其沿着均衡路径以增长率r*=s增长.而且,任何对这个”刃蜂”时间路径的偏离都将导致多马模型中设想的生产能力充分利用的标准永远得不到满足.练习给定年固定收益率为1000元的连续收入流:若收入流持续2年,按年利率0.05连续贴现,那么现值为多少?若收入流恰好在第3年后终止,且贴现率为0.04,现值又为多少?第15章连续时间：一阶微分方程具有常系数和常数项的一阶线性微分方程一阶微分方程仅包含一阶导数dy/dt方程中导数所达到的最高幂数称为方程的次.在导数为一次因变量y也为一次,而且没有积y(dy/dt)等形式出现的情况下,此方程便为线性的.一阶线性微分方程的一般形式:(dy/dt)+u(t)y=w(t)其中u,w和y都是t的函数u和w还可以表示常数,当函数u为常数,且当函数w是一个可加性常数项时,上述一般形式简化为具有常系数和常数项的一阶线性微分方程!齐次方程的情况若u和w为常数,且如果w恰好恒为0,则方程变为:(dy/dt)+ay=0,称为齐次方程.上述方程还可以写成(1/y)(dy/dt)=-a,与前节多马模型中的方程形式一致.方程的解:通解:y(t)=Ae-at特解:(满足初始条件的值)y(t)=y(0)e-at对于微分方程的解不是一个数值,而是一个函数y(t),如果t表示时间,则y(t)就表示时间路径;解不含有任何导数或微分表达式,只要将t的具体数值代入此鸡就可以算出相应的y值非齐次函数的情况非齐次线性微分方程的一般形式

:(dy/dt)+ay=b方程的解是两项之和:余函数yc和特别积分ypyc是简化方程的通解:yc=Ae-atyp是完备方程的任意特解:最简单的情形即y=k(常数)时的解,由dy/dt=0,得到此时的特解为yp=b/a.(a

0)完备方程的通解为:y(t)=yc+yp=Ae-at+(b/a).利用初始条件确定常数A,当t=0时,y=y(0),那么y(0)=A+(b/a),则A=y(0)-(b/a)方程的解(a

0时的定解)为:

y(t)=[y(0)-(b/a)]e-at+(b/a)如果a=0,方程变为比较简单的形式:(dy/dt)=b直接积分求得通解为:y(t)=bt+c通过确定任意常数,得到定解为:y(t)=y(0)+bt解的检验保证时间路径y(t)的导数与已知微分方程相一致确保定解满足初始条件市场价格的动态学微观动态市场模型:非齐次方程的应用对某一特定商品,假设其需求与供给函数如下:Qd=-PQs=-+P市场均衡价格为:P*=(+)/(+)(某确定常数)如果初始价格P(0)刚好在P*水平,市场显然已经处于均衡状态,无需动态分析;而更多时候,P*仅在经过适当调整以后才能达到.调整过程中价格随时间变化Qd和Qs是价格的函数,当然也要随时间变化.动态问题:给定调整过程所需要的充分时间,能够将价格调整至均衡水平P*吗?当t

∞时,时间路径P(t)趋向收敛于P*吗?时间路径首先描述价格变化的具体形式:一般而言,价格变化是由市场中供给和需求的相对强度决定的.假设在某一时刻价格对时间的变化率是在该时刻的超额需求的”比例”:(dP/dt)=j(Qd-Qs)(j>0)根据上述变化模式,当且仅当Qd=Qs时,dP/dt=0均衡价格的双重含义:跨期意义(P不随时间变化)和市场出清意义(均衡价格是Qd和Qs相等的价格)在本模型中两种含义重合!根据Qd和Qs将上述表达式转换成非齐次线性微分方程的形式:(dP/dt)+j(+)P=j(+)解得:P(t)=[P(0)-P*]e-kt+P*(k

j(+))均衡的动态稳定性(具体分析上述解)当P(t)的时间路径收敛于P*水平时,称均衡为动态稳定的.解的表达式包含三种可能的情形P(0)=P*,于是P(t)=P*,时间路径为水平直线P(0)>P*,随t增加,时间路径从上方趋向于均衡水平P(0)<P*,随t增加,时间路径从下方趋向于均衡水平一般而言,要具备动态稳定性,时间路径与均衡的偏差或者等于零,或者随时间而递减由上述解和一般形式的解可以知道,P*对应与b/a,是特别积分yp;而含指数的项是余函数yc.yp表示跨期均衡水平,特别积分为常数表示有跨期意义上的稳定均衡,如果不是常数,则解释为移动均衡yc表示均衡偏差,动态稳定性要求余函数随时间渐进为零模型的另一种应用前述分析是在给定参数条件下求取均衡另一类问题:要保证动态稳定性,对参数应该施加怎么样的限制?继续观察解:如果允许P(0)

P*,则当且仅当k>0,即j(+)>0,第一项才能趋近于零J是价格调整系数;

是需求曲线斜率的负值;是供给曲线的斜率而j>0,意味着

>-,所以,为实现动态稳定性,供给曲线的斜率必须超过需求曲线的斜率QPSDOGFENMP*P2P1

=1,-

=1/2(斜率为正的需求曲线)可变系数和可变项更一般的一阶线性微分方程:(dy/dt)+u(t)y=w(t),其中u(t)和w(t)分别表示可变系数和可变项.齐次方程的情况w(t)=0,(dy/dt)+u(t)y=0左边积分:右边积分:两边相等时得到:所求的y路径(微分方程的通解)可以求反对数得到非齐次方程的情况(需要利用恰当微分方程)通解:例求方程(dy/dt)+2ty=t的通解.u=2t,w=t,根据通解公式:恰当微分方程恰当微分方程给定二元函数F(y,t),其全微分为dF(y,t)=(F/y)dy+(F/t)dt,令上述全微分为0,得到的方程称为恰当微分方程,(F/y)dy+(F/t)dt=0一般而言,微分方程Mdy+Ndt=0,当且仅当存在一个函数F(y,t),使得M=F/y,N=F/t时是恰当的.根据杨氏定理,2F/ty=2F/yt,还可以得到当且仅当

M/t=N/y时微分方程Mdy+Ndt=0是恰当的.解法设想其初步结果为如下形式:由于在F(y,t)对y偏微分过程中,任何含有变量t和(或)某些常数(不含有y)的相加的项会消失,所以积分过程中必须多加小心以恢复这些项.加入一般项

(t)的原因就在此!实例解释(诀窍在于利用N=F/t)解恰当微分方程2ytdy+y2dt=0M=2yt,N=y2第一步:写出初步结果第二步:将上述结果对t求偏导(F/t)=y2+’(t);而N=F/t=y2,所以立即有’(t)=0第三步:求积分后得到(t)=k第四步:将第一步与第三步结合得到F(y,t)=y2t+k,而恰当微分方程的解应为F(y,t)=c,同时将k纳入到c中,方程的解可以写成y2t=c,或y(t)=ct-1/2积分因子将微分方程的每一项都乘以一个特定的公因子,非恰当方程也可以成为恰当方程,这样的因子称为积分因子.实例解释微分方程2tdy+ydt=0不是恰当的(因为它不满足

M/t=N/y)将方程的每一项都乘以y,使其变为前例,从而成为恰当微分方程,y是本例中的积分因子.一阶线性微分方程的解一般的一阶线性微分方程可以表示成dy+(uy-w)dt=0的形式积分因子为令I为尚属未知的积分因子,以I通乘上述方程可以将其变为恰当微分方程Idy+I(uy-w)dt=0观察M和N的表达式可知,M仅由I构成,u和w仅是t的函数,所以如果I也只是t的函数,则恰当性检验(M/t=N/y)将简化为非常简单的条件:dI/dt=Iu想让上式成立,不妨有将该因子代入,产生恰当微分方程,可以通过”四步骤”方法解之.一阶一次非线性微分方程一阶一次非线性微分方程的一般形式当y以高于一次幂的形式出现时,即便方程只含有一次导数,它也是非线性方程.一般形式:f(y,t)dy+g(y,t)dt=0,或(dy/dt)=h(y,t),其中对y和t的幂没有限制只讨论其中简单的三种类型恰当微分方程可分离变量的方程可化简为线性的方程可分离变量的方程方程恰好具有方便的性质:函数f仅有变量y,而函数g仅含有变量t,所以方程简化成为特殊形式f(y)dy+g(t)dt=0称上述情况中变量是可分离的.只需要简单的积分方法便可以求解.解方程3y2dy-tdt=0将方程重写:3y2dy=tdt两边同时积分:通解为:可化简为线性的方程如果微分方程dy/dt=h(y,t)恰好取特定的非线性形式:(dy/dt)+Ry=Tym,其中R和T是两个关于t的函数,m是不为0和1的任意数,称这样的方程为伯努利方程.转化为线性方程求解以ym除上式,得到:y-m(dy/dt)+Ry1-m=T令z=y1-m,那么(dz/dt)=(dz/dy)(dy/dt)=(1-m)y-m(dy/dt),则方程可以写成(1/1-m)(dz/dt)+Rz=T重新整理将方程化为dz+[(1-m)Rz-(1-m)T]dt=0求得其解后用逆代换将z变换成y.定性图解法相位图给定一般形式的一阶微分方程dy/dt=f(y),是变量y的线性或非线性方程.只要dy/dt仅是y的函数,便可以用几何方式表示,称其为相位图,表示函数f的曲线称为相位线.一旦相位线已知,其图象将给出关于时间路径的重要信息在横轴上方任意点(dy/dt>0),y必随时间而递增,对y轴而言,y必向右移动.同理,横轴下方的任意点必与向左移动相联系,dy/dt<0意味着y随时间而递减.如果y的均衡水平(跨期意义上的均衡)存在的话,也仅能存在于横轴上,dy/dt=0(y对时间是稳定的),所以为求得均衡水平,只需要考虑相位线与横轴的交点.同时,为检验均衡的动态稳定性,不管y的初始状态如何,都应该检验相位线在对应交点处是否总指向均衡位置.ABCyOdy/dtyaybycyc’时间路径的类型一般而言,相位线在其交点处的斜率是决定均衡动态稳定性或者时间路径收敛性的关键.(有限)正斜率,比如在ya点会产生动态不稳定性(有限)负斜率,比如在yb点是动态稳定的对于相位线C尚有待讨论,它不是函数图线,只表示dy/dt和y之间的关系