中考数学总复习《圆综合压轴题》专项提升练习附答案

第页中考数学总复习《圆综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．2．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆．（1）如图1，连接AO，延长AO交弦BC于点M，交BC于点P．连接PB，PC．求证：PA=PB+PC；（2）如图2，若P为BC上任意一点，连接PA，PB，PC，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．3．如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥PA，分别交射线PA，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC=2CF，且DF=34．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC＝8，DE＝2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度．5．如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M.（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长.6．如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点．（1）求证DA是⊙O的切线；（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由．（3）P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．8．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的长.9．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．10．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：PD（3）若PD=4，tan∠CDB=111．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.（1）求证：四边形DBEO是正方形；（2）若AB＝2，求⊙O的半径.12．在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图：（1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；（2）在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分．13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=45，求AF14．如图，Rt△ABC中，∠ABC为直角，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E为BC中点，连结DE，DB（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若∠C=30°，求∠BOD的度数；（3）在（2）的条件下，若⊙O半径为2，求阴影部分面积．15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．（1）求证：AF⊥EF；（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．17．如图，线段AB为的直径，点C、E在上，弧BC=弧CE，连接BE、CE，过点C作CM∥BE交AB的延长线于点M.（1）求证：直线CM是圆O的切线；（2）若sin∠ABE=3518．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且PA=PB.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠P=100°，则∠B+∠D的度数为°.19．按要求作图（1）如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；（2）如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．20．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40∘，∠APD=65∘．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．21．如图，A是圆O外一点，AC是圆O的切线，OB的延长线交AC于点A.（1）求∠ACB与∠COB的大小关系；（2）若AB=2，AC=4，求点C到直线OA的距离.22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

答案1．（1）解：连接BD，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1．在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=12（2）解：BC为⊙O的切线．证明如下：连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形．∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD．∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC．∵OB是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线．2．（1）证明：连接OB、OC

∵△ABC是等边三角形，

∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，

又∵OB=OP=OC，

∴△OBP与△OCP均为等边三角形，

∴OB=OP=BP，OP=OC=PC，则AP=2OP=BP+PC，

即证：PA=PB+PC.（2）解：PA=PB+PC仍然成立，理由如下，

如图，延长PB至点D，使得BD=CP，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，

又∵∠ABP+∠ACP=180°，

∠ABP+∠ABD=180°，

∴∠ABD=∠ACP，

∴△ABD≌△ACP(SAS)，

∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，

即PA=PB+PC.3．（1）解：如图所示，补全图形（2）证明：连接OD．∵DE⊥PA，∴∠PED=90°．∵依题意，PD是∠APB的角平分线，∴∠APD=∠DPB．∵OP=OD，∴∠DPB=∠PDO．∴∠APD=∠PDO．∴AP∥OD，∴∠ODF=∠PED=90°，∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵PC=2CF，∴设CF=x，那么PC=2x，OD=x．∵∠ODF=90°，∴在Rt△ODF中，OD=12又∵DF=3∴OD=1，OF=2，PF=3．∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，∴sin∠DFP=PE∴PE=34．（1）解：设圆的半径为r，∵D是弧AC中点，∴OD⊥AC，AE＝12在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即圆的半径长为5（2）解：连接BC，∵AO＝OB，AE＝EC，∴BC＝2OE＝6，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴BE＝EC25．（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝12∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）解：∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝3，∴BE＝B如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴BM∴BM＝B∴线段BM的长为36．（1）证明：如图，连接AO，∵∠=30°，∴∠AOB=2∠C=60°∴△ABO是等边三角形，AB=BD=1，∴∠ADC=∠DAB=12∵∠AOC=60°，∴∠DAO=90°，∴DA是⊙O的切线（2）解：如图1，当点P运动到A处时，即DP=DA=3时，∠BPC的度数达到最大，为90°．理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，连接BP，与⊙O交于一点，记为点E，连接CE，则∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°（3）解：如图2，作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′，当点C′，P，B三点共线时，（BP+PC′）的值达到最小，最小值为BC′．过点C′作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′，在Rt△DCP中，∠PDC=30°，∴△DCC′为等边三角形，故H为DC的中点，∴BH=DH﹣DB=12CD﹣DB=32﹣1=12，C'H=在Rt△BC'H中，根据勾股定理得，BC'=BH2+C'∴（BP+PC）的最小值为7．7．（1）证明：连接DE，OD．∵BC相切⊙O于点D，

∴∠CDA=∠AED，

∵AE为直径，

∴∠ADE=90°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACD=90°，

∴∠DAO=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；（1）（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵BC相切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，∴OD=BD，

∴∠BOD=45°，

设BD=x，则OD=OA=x，OB=2x，

∴BC=AC=x+1，

∵AC2+BC2=AB2，∴2（x+1）2=（2x+x）2，

∴x=2，∴BD=OD=2，

∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=12×28．（1）证明：连接OP，∵AB=AC，∴∠C=∠B，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠B，∴∠C=∠OPB，∴OP∥AD；又∵PD⊥AC，∴∠CDP=90°，∴∠DPO=∠CDP=90°，∴PD是⊙O的切线.（2）连接AP，∵AB是直径，∴∠APB=90°；∵AB=AC=6，∠CAB=120°，∴∠ABP=30°，∴AP=12∴BP=6∴BC=2BP=639．（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．10．（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴BD=BC，∴∠DOP=∠COP，在△DOP和△COP中，DO=CO∠DOP=∠COP∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO=∠PCO=90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠PDO=90°，∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠PDB，∵∠BPD=∠BPD，∴△PDB∽△PAD，∴PDPB∴PD（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，∴∠A=∠CDB，∵tan∠CDB=1∴tanA=1∵△PDB∽△PAD，∴PB∵PD=4，∴PB=2，PA=8，∴AB=8-2=6．11．（1）证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，∴BD＝12AB，BE＝1∵AB⊥BC，∴∠DBE＝90°，∴四边形DBEO是矩形，∵AB＝AC，∴BD＝BE，∴四边形DBEO是正方形，（2）解：∵∠ABC＝90°，∴AC为直径，∵AB＝BC＝2，∴AC＝22+2∴OA＝2，∴⊙O的半径为2.12．（1）解：如图1，∠BCE为所作；理由：∵∴∠CAB=∠BEC，∵CE是直径，∴∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠CAB=90°，∴∠BCE与∠CAB互余；（2）解：如图2，直线AF为所作．理由：∵AD∥BC，∴∠C=∠DCB，∵AC∴∠B=∠D，∴∠DCB=∠B，∴JF垂直平分BC，则AF是△ABC的中线，∴AF将△ABC的面积平分．13．（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．∵AB是直径，∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，∴四边形DEHC是矩形，∴∠EHC=90°即OC⊥EB，∴DC=EH=HB，DE=HC，∵cos∠CAD=45=AD∵cos∠CAB=45=AC∴AB=254a，BC=15在Rt△CHB中，CH=CB2+B∴DE=CH=94a，AE=AB2∵EF∥CD，∴AFFC=AEED=14．（1）证明：连结OD，∵AB为⊙O为直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，又∵E是斜边BC的中点∴DE=BE=CE，∴∠BDE=∠DBE，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°即DE与⊙O相切．（也可以通过证明△OBE≌△ODE得到∠ODE=∠OBE=90°）（2）解：若∠C=30°而DE=CE，∴∠DEB=60°在四边形OBED中，则∠BOD=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°（3）解：连结OE，则∠OED=∠OEB=30°∵OD=OB=2∴DE=BE=23∴S阴影部分=S四边形OBED﹣S扇形OBD=S△OBE+S△ODE﹣S扇形OBD=23+23﹣120π×22360=43﹣4π15．（1）解：连接AD，OD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴D是BC的中点.∵O是AB的中点，∴OD//AC.∴∠ODF+∠DFA=180°∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°.∴∠ODF=90°.∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线.（2）解：连接OE∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=22.5°∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°.∵OA=OE，∴∠OEA=∠BAC=45°.∴∠AOE=90°.∵OA=OE=4.∴S阴影=S扇形AOE－S△AOE=4π－8.16．（1）证明：如图1，连接OD，∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，∴OD⊥EF，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴∠ADO=∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF；（2）解：如图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD，∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，∴BD=CD，DG=DF，在Rt△ADF和Rt△ADG中AD=AD∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，∴AB=AG+BG=8+2=10，∴⊙O的半径OA=1217．（1）证明：连接OE，OC∵弧BC=弧CE∴OC⊥BE∵CM∥BE∴OC⊥CM∴直线CM是圆O的切线（2）解：设半径为r∵CM∥BE∴∠CMO=∠ABE在Rt△OCM中sin∠CMO=OCOM=sin∠ABE=∴∴圆O的半径是618．（1）证明：连接OA