湖南省长沙市长郡双语实验中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖南省长沙市长郡双语实验中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，一定正确的是（）A．若，则a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，则C．若a＞b，a+c＞b+d，则c＞d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【分析】A．由a＞b，=＞0，可得ab＜0，因此a＞0＞b，即可判断出正误．B．b＜0时不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，即可判断出正误．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，即可判断出正误．【解答】解：A．∵a＞b，=＞0，∴ab＜0，因此a＞0＞b，正确．B．b＜0时不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，满足a＞b，a+c＞b+d，而c＜d，因此不正确．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，满足a＞b，c＞d，则ac＜bd，不正确．故选：A．2.点M的直角坐标是（1，﹣），则点M的极坐标为（）A．（2，） B．（2，﹣） C．（2，） D．（2，2kπ+）（k∈Z）参考答案：B【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】利用直角坐标与极坐标互化公式即可得出．【解答】解：点M的直角坐标是（1，﹣），则点M的极坐标=2，tan=﹣，可得θ=﹣．∴极坐标为．故选：B．3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.

B．[－2,2]

C．[－4,4]

D．[－1,1]参考答案：D4.设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是 （

）

参考答案：A5.已知函数，若函数在区间[0,1]上是单调递减函数，则的最小值为(

)

A、

B、

C、2

D、1参考答案：A6.已知命题p:3≥3,q:3>4，则下列判断正确的是(

)A．pq为真，pq为真，p为假

B．pq为真，pq为假，p为真C．pq为假，pq为假，p为假

D．pq为真，pq为假，p为假参考答案：D略7.下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④ B．①③ C．①② D．②④参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A8.已知双曲线与抛物线y2=4x的交点为A，B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（）A．+1 B． C．﹣1 D．2﹣2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得c=1，利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出a．【解答】解：∵与抛物线y2=4x，∴c=1，∵直线AB过两曲线的公共焦点F，∴（1，2）为双曲线上的一个点，∴﹣=1，∵a2+b2=1，∴a=﹣1，∴2a=2﹣2．故选：D．9.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J参考答案：D【考点】69：定积分的简单应用．【分析】根据胡克定律F=kx，得：k=，即W=Fdx═100xdx，解得答案．【解答】解：根据胡克定律F=kx，得：k===100N/m，∴W=Fdx═100xdx=0.18J，故选：D．【点评】本题考查的知识点是定积分的简单应用，其中得到功的表达式是解答的关键．10.对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是

()A．k越大，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大B．k越小，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大C．k越接近于0，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越大D．k越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．参考答案：0【分析】根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展开式中x3的系数为110．故答案为：0．【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.12.．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值为________．参考答案：略13.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由已知可得q=，a1=16，代入等比数列的求和公式可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则可得a1q?a1q2=2a1，即a4==2又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解之可得q=，故a1=16故S6==故答案为：【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属中档题．14.已知，且，则

▲

.参考答案：2

略15.f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分别是

参考答案：21，.16.从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取2个球，使它们的编号之和为奇数的概率是________

参考答案：略17.已知椭圆内部的一点为，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则的最小值为

▲

．参考答案：右准线方程为，设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.答案：2－1点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F（1）求证：PC⊥面AEF；（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.

参考答案：（Ⅰ）∵平面，面∴，又，∴面,面，∴∴面,面，∴，又∵,∴面.

（Ⅱ）设平面交于，由（Ⅰ）知面∴,由（Ⅰ）同理面,面，∴∴面,面，∴，19.（12分）等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.20.已知△ABC的三个顶点，其外接圆为圆H．（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH（包括端点）上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．参考答案：（1）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为．设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．

…………6分

（2）解法一：直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,又，所以对成立．而在[0,1]上的值域为[,10]，所以且．又点在圆外，所以对成立，即．故圆的半径的取值范围为．

…………15分解法二：过点作交弦于点，则点为弦的中点．设，则有，．由勾股定理知，整理可得，所以对恒成立．令，由，可得，所以且，又，所以圆的半径的取值范围是．

…………15分21.在等差数列{an}中，．数列{bn}满足，且为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可得：，所以；，所以因此；┄┈┈

6分（2）由（1）知，数列的前项和为，数列的前项和为22.设m为实数，函数．（1）求f(x)的极值点；（2）如果曲线与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围．参考答案：(1)函数的定义域为,-------------------------------------------------（1分）令,解得或,------------