河北省邯郸市2024届高三第三次调研考试考试数学试题

邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数为纯虚数，则实数（）A． B． C． D．23．已知向量与共线，则（）A． B． C． D．4．在的展开式中，的系数为（）A． B． C．6 D．1925．已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．167．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（）A． B． C． D．8．已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线，则（）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A．共有18个顶点 B．共有36条棱C．表面积为 D．体积为11．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（）A．的取值范围是B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为C．若是锐角三角形，则的取值范围是D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．13．从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为，则__________．14．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前项和．16．（15分）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x12345招生人数y/千人0.811.31.72.2（I）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；（II）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．（I）求四棱锥的高；（II）求二面角的正弦值．18．（17分）已知椭圆经过，两点．（I）求的方程；（II）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．19．（17分）已知函数，．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．（i）求的取值范围；（ii）求证：．邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析，，所以．2．答案C命题意图本题考查复数的相关概念和运算．解析，因为为纯虚数，所以解得．3．答案B命题意图本题考查平面向量的性质．解析因为，所以，解得，所以．4．答案A命题意图本题考查二项式定理的应用．解析的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．5．答案D命题意图本题考查等比数列与等差数列的性质．解析设的公比为．因为，，成等差数列，所以，所以，解得舍去），从而．6．答案A命题意图本题考查抛物线的性质．解析由题知，准线方程为．如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13．7．答案B命题意图本题考查函数的综合性质．解析因为是偶函数，，在上单调递减，所以在上单调递减．，，因为，，所以，，所以，所以，故．8．答案C命题意图本题考查几何体的结构特征．解析由题意知与均为等边三角形，连接，，则，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等边三角形．设为的外心，为的中点，连接，则点O，P，Q都在平面内，建立平面直角坐标系如图．设，则，，所以．又，所以，因为，所以，则可得，，从而，．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AC命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，由，可知，的焦点只能在轴上，故B错误；对于C，设的半焦距为，则，，焦距为，故C正确；对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．10．答案BD命题意图本题考查空间几何体的结构特征以及相关计算．解析由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为，故C错误；正八面体的体积为，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．11．答案ABC命题意图本题考查正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的综合应用．解析由题意知，整理得，由余弦定理知，，，．对于A，，，，，的取值范围为，故A正确；对于B，为边的中点，，则，，当且仅当时，等号成立，，故B正确；对于C，，是锐角三角形，，，，故C正确；对于D，由题意得，即，整理得，即，，当且仅当时，等号成立，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案（答案不唯一，，等也正确）命题意图本题考查三角函数的性质．解析由题意知，所以，又，所以，，，…．13．答案8命题意图本题考查随机变量的分布列与期望．解析任取2张卡片的所有10种结果中，每个数字各出现了4次，故．14．答案2命题意图本题考查不等式的性质．解析若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查数列的性质与数列求和．解析（I）因为，所以，所以，即．当时，，又适合上式，所以．（II），故．16．命题意图本题考查线性回归分析的应用．解析（I）由题意知，，所以，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．（II），，所以关于的回归直线方程为．当时，，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．17．命题意图本题考查空间垂直关系以及空间向量的应用．解析（I）如图，过作的平行线，与的延长线交于点，连接，．由已知得，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以．由已知可得四边形为矩形，所以，因为为棱的中点，所以，从而．又因为，，所以平面，从而．因为，所以平面．所以四棱锥的高即．（II）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设是平面的法向量，则可取设是平面的法向量，则可取．所以，所以二面角的正弦值为．18．命题意图本题考查椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系．解析（I）因为过点，，所以解得故的方程为．（II）由题知的斜率存在且不为0．设．因为与圆相切，所以，得．联立与的方程，可得，设，，则，．所以，将代入，可得．用替换，可得．四边形的面积．令，则，可得，再令，，则，可得，即四边形面积的最小值为．19．命题意图本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质．解析（I），所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．（II）（i）由，得，该方程有一根为，且，所以即有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为．令，则，所以当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，且当无限趋近于时，且趋近于0，当从0的