辽宁省锦州市2023-2024学年高一年级上册期末考试数学试卷（含答案）

辽宁省锦州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级:___________考号：___________

一、单选题

1.已知集合4={无€可尤43},B={-1,0,1,3,5},则A()

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-1,0,1,3}D.{x|x<3}

2.命题-的否定为（

A.Vx<1,x-1<InA:B.Vx>l,x—1<lnx

C.3x<l,^-l<lnxD.Bx>l,x-l<lnx

3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上"，事件8="第二枚硬

币反面朝上”，则下列对事件A8的表述正确的是()

A.A与B互为对立事件B.A与B互斥

D-F（AB）=|

C.A与8相互独立

4.已知a>8>0,下列不等式中正确的是()

A.ab<b2B.—a1<—ab

11

C.->-D.-----<------

aba-1b-}

5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法

和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据七和小数记录法的数据V满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据

为()(^10«1.259)

A.0.8B.0.9C.1.2D.1.3

6.已知函数/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-。,0)单调递增，则()

7.如图，在梯形ABCD中A5=2DC,直线AC交3。于点P,Q为中点，设

UUU

AB=a,AZ>=6贝!jPQ=（）

B.—1—b

32

8.设xeR,用国表示不超过x的最大整数，例如：=—3,[2』=2,,贝力=国

称为高斯函数.已知函数〃x）=g-三，则函数y=[/（x）]+[/（r）]的值域是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

、多选题

9.某公司为了解用户对其一款产品的满意度，随机调查了10名用户的满意度评分，满

意度最低为。分，最高为10分，分数越高表示满意度越高.这10名用户对产品的满意

度评分如下：5,7,8,9,7,5,10,8,4,7.则下列说法正确的是（）

A.这组数据的众数为7

B.这组数据的80%分位数为8

C.这组数据的极差为6

D.这组数据的方差为3.2

10.若函数/（力=/+加+bx+c有三个零点-1,1,不，且x°e（2,3）,则下列说法正确的

有（）

A.b=lB.a+c=0C.ce（2,3）D.4a+2b+c<-8

11.已知函数〃尤）=ln（/-6尤-6+1）,则下列说法正确的有（）

A.当6=0时，函数的定义域为R

B.当b=0时，函数“X）的值域为R

C.函数/'（X）有最小值的充要条件为62+46-4<0

D.若/（x）在区间[1,+8）上单调递增，则实数匕的取值范围是（7,2]

12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，

该定理则被称为欧拉线定理.设点QG,“分别为三角形A3C的外心、重心、垂心，且M

为BC的中点，则（）

试卷第2页，共4页

A.AH=3OMB.GA+GB+GC=O

21

C.|041=|081=|OC|D.AG=-AO+-AH

三、填空题

13.幕函数"%)=(疗-1卜"用在(0,+s)上单调递减，则机=.

14.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,若甲、乙、丙各投篮一次(三

人投篮互不影响)，则至少有一人命中的概率为.

15.已知实数a,/?e(0,+oo),2m+3=匕，则l+26的最小值为.

-x2—2x,x<0

16.己知函数"x)=i।、，若方程/(尤)=0有4个不同的实数根占，尤2，三，匕

-|log3x|,x；0

且王<无2<%<无4，则左的取值范围为；玉+9+三+匕的取值范围为.

四、解答题

17.平面内给定两个向量G=(L2),Z7=(-3,2).

⑴若伽+26)〃(2a-甸，求实数左；

⑵若向量c为单位向量，且卜-可=2石，求c的坐标.

18.在①A=j<1],②人=,卜一心？｝,③A=,y=log2(-x2+2x+3»这三

个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.

设全集U=R,,B=^x2+x+a-a2<o1.

⑴若a=l,求Bu&A)；

(2)若“xeA”是“尤e夕’的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19.已知/(2%+1)=3《+1—43>0且。*1).

⑴求函数y=y(x)的解析式，并写出函数y=/(x)图象恒过的定点；

⑵若求证：(T上等-4.

a2

20.某高中为了解木校高一年级学尘的综合素养情况，从高年级的学生中随机抽取了〃

名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直

方阁和频数分布表，如下图.

[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

X4101284

⑴求为a,x的值;

(2)由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数(精确到0.01)

、平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(3)在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两人，求抽取的两名学生成绩属于

同一组的概率.

21.某高校为举办百年校庆，需要40L氨气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动

承担了这一任务.社团已有的设备每天最多可制备氨气8L,按计划社团必须在30天内

制备完毕.社团成员接到任务后，立即以每天迎的速度制备氢气.己知每制备1L氨气

所需的原料成本为1百元.若氯气日产量不足4L,日均额外成本为叱=4x2+16(百元)；

若氨气日产量大于等于4L,日均额外成本为W,=17x+=-3(百元).制备成本由原料

x

成本和额外成本两部分组成.

⑴写出总成本W(百元)关于日产量x(L)的关系式

(2)当社团每天制备多少升氢气时，总成本最少？并求出最低成本.

22.已知函数/(x)=log2(2，+l)+辰化eR),且满足/(-!)=/⑴.

⑴求实数上的值；

⑵若函数＞=/(%)的图像与直线y=+a的图像只有一个交点，求。的取值范围；

⑶若函数始)=2八吟+力4:1”[0,晦3]，是否存在实数机使得蛆)的最小值为

0?若存在，求出优的值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】先写出集合A,再利用集合的交集运算求解即可.

【详解】A={%eN|x<3}={0,1,2,3},B={-1,0,1,3,5},

AB={0,l,3}.

故选：B.

2.D

【分析】利用全称量词命题的否定求解.

【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，

因为命题“Vx>l,%-l>lnx”是全称量词的命题，

贝Vx>l,x-l>Inx”的否定为“Hr>l,x-l<lnx,,,

故选：D.

3.C

【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，

反），

事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），

事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），事件包含的结果有：（正，反），

所以A与8不互斥，且不对立，故A、B错误；

又P（A）二,P（B）=；,尸（附=；,所以尸（AB）=P（3）P（A）,所以A与8相互独立，故C

正确，D错误.

故选：C.

4.B

【分析】对于AB：根据不等式的性质分析求解；对于CD：举反例说明即可.

【详解】因为<3>6>0,可得/>">>2>o,贝故人错误，B正确；

例如。=0,可得£=合0,故C错误；

例如。=2,6=（,==即工>丁工，故D错误；

2a-1b-1a-1b—\

故选：B.

答案第1页，共13页

5.A

【分析】由题中等式和对数与指数的互化运算得出.

【详解】因为L=5+lgV,

所以y=,

代入数据可得1产=*=品=盛。。凡

故选：A.

6.D

【分析】根据题意结合偶函数可知］10g2j=〃10g23）,〃尤）在（。,+8）内单调递减，结合

11

指数函数、对数函数以及寻函数的单调性可得35<2万<log,3，即可得结果.

【详解】因为函数〃尤）是定义域为R的偶函数，则/1吗£|=川吗3）,

又因为在（-%。）内单调递增，则在（。,+e）内单调递减，

由y=3'在R内单调递增，则34<3—；

由y=无一！在（0,+。）内单调递减，则3T<24<fl=1；

由y=log2X在（0,+s）内单调递增，贝!|l=log22<log23；

2_£

综上所述:万<炉

3<log23

故选：D.

7.D

【分析】利用几何图形，对向量做加减线性运算即可.

【详解】因为AB=2OC,所以r）c==芸DP=1

ABBP2

uunuuno1011012z1011uun\iuuno1011

又因为。为8C中点，所以

uumiuunuun、iuuniuumuun、iumi<uumiuim>3uun1uum

AQ=—（zA5+AC）=—A5+—（zAO+Z）C）=—A5+—AD+-ABk-AB+-AZ）,

2/22，2212J42

UU1D

UUUULUUUUU3utm1uumA/1uun7\5uim1uum<r1r

所以尸Q=AQ-AP=-AB+-AD\-\-AB+-AD\=-AB--AD=—a--b.

42八33J126126

故选：D.

8.A

答案第2页，共13页

【分析】根据奇函数的定义可知"X）为奇函数，利用分离常数法可得了（X）的值域，由国表

示不超过X的最大整数可求得y=[/W]+[/（-%）]的值域.

11

【详解】由题意可知尤eR,且〃x）」」+e'T——+----

v72l+ex2l+ex

所以“X）为奇函数,

又因为廿(

e*e(0,+oo),^©0,1),-<1，所以“X）的值域为

22l+ex2PI,

1

根据国表示不超过x的最大整数可知当f（%）e时，

-g,o|2

[/(切+[/(-%)]=T+。=T，

当1寸，f（-x）e44[”x)]+"(-x)]=OT=T，

当/(x)=0时，〃T)=0,[/(x)]+[/(-x)]=O+O=O,

综上＞=[/（切+[/（r）]的值域为{-1,0},

故选：A

9.ACD

【分析】把这组数从小到大排列后，再根据相关数字特征的定义求出众数、百分位数、极差

和方差.

【详解】这组数从小到大排列为4,5,5,7,7,7,8,8,9,10.

对于A,众数为7,故A正确；

8+9

对于B,因为10x80%=8,所以80%分位数为第8个数据和第9个数据的平均数，即一「=8.5,

故B错误；

对于C,极差为10-4=6,故C正确；

对于D,这组数据的平均数为:（4+5+5+7+7+7+8+8+9+10）=7,

则方差52=£[（4-7）2+（5-7『＞＜2+0+（8-7）2'2+（9-7）2+（10-7）2]=3.2,故D正确.

故选：ACD.

10.BCD

【分析】由T和1是〃x）的两个零点求得6=-1,a+c=0,可判断选项A和B；然后得到

答案第3页，共13页

C也是函数“X)的零点，即%=C,可判断选项C；根据“2)<0可判断选项D.

【详解】-1和1是函数〃力=/+加+Zzx+c的零点，

/(-1)=-l+a-b+c=0

，</(1)_]+〃+〃+°_0，解得〃=-1,Q+C=0,故A错误，B正确；

“X)=%3-ex2—x+c=x2(x-c)-(x-c)=,

令/(尤)=。，得了=-1或%=1或%=。，

由题知，％o=c,即C£(2,3),故C正确；

/(2)=8-4c-2+c=6-3c<0,

即/(2)=8+4〃+2Z?+c<0,4a+2b+c<-8,故D正确.

故选：BCD.

11.AC

【分析】对于A、B,当b=0时，直接求解函数的定义域和值域即可，对于C,换元后，只

需要冒「：>0即可,对于D,换元后利用复合函数求单调性的方法求解即可•

【详解】当6=0时，/(x)=ln(x2+l),

x2+l>0对任意xeR恒成立，所以/(x)的定义域为R,

又因为Y+121,所以ln(x2+i"ini=o,的值域为[0,+s),故A正确，B错误.

“工c人2,,"力丫b2+4b-4l/+4b-4

对于C,t=X—bx—Z7+l=lx——I----------，则1m/min=-----------，

当襦=一匕子m>0时，“X)有最小值，反之也成立，故C正确；

对于D,令f=-—fcv-6+l=(x-g]»+：，_1,贝[Jy=lnf,

,、「、[-<1

当了(x)在区间[L+⑹上单调递增时，2,解得故D错误.

t(l)=l-b-b+l>0

故选：AC.

12.BCD

答案第4页，共13页

12

【分析】由题意可知：GO=5»G可得8G=§8O,根据向量的线性运算结合三角形各心

得性质逐项分析判断.

因为G是ABC的重心，。是ABC的外心，H是ABC的垂心，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以GO=《HG,

2

对于选项A：AH=AG-HG=2GM-2GO=2OM，故选项A不正确；

对于选项B：因为G是ABC的重心，/为8c的中点，所以AG=2GM，

又因为GB+GC=2GA/，贝1JGB+GC=AG，

即GA+G8+GC=0,故选项B正确；

对于选项C：设点。是ABC的外心，所以点。到三个顶点距离相等，

即|OA|=|O@=|OC],故选项C正确；

2umn1uuiroz1™uun\iuuirouum21M]uuu

对于选项D：-AO+-AH=-\AG+GO]+-AH=-AG+-GO+-AH

333、)3333

2uumiuuuiumr9uu®1uu®uum

=-AG+-HG+-AH=-AG+-AG=AG,故选项D正确；

33333

故选：BCD.

17

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用已知条件GO=5»G得8G=w»O,利用向量

的线性运算结合AG=2GM可得出向量间的关系.

13.-V2

【分析】根据幕函数的性质即可列关系式求解.

【详解】由题意可得।，解得加=-0，

[机+1<0

故答案为：m=-y[2

91

14.0.91/——

100

【分析】利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求出结果.

答案第5页，共13页

【详解】甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,

甲、乙、丙各投篮一次，则他们都没有命中的概率为(1-。.7)(1-0.5)(1-04)=0.09,

则至少有一人命中的概率为1-0.09=0.91.

故答案为：0.91.

15.8+4月

3

【分析】把2H+3=b变形为2。+7=1,再利用乘力”法和基本不等式求出结果.

b

【详解】因为。力£(0,+8),2而+3=6,

3

所以2a4—=1,

b

所以(工+26］(20+。］=2+且+446+6上8+2/」.446=8+4若，

\a八口abVab

当且仅当4而=二时即5=3+6,a=叵」时，取等号.

ab4

故答案为：8+4^3.

64

16.(0,1)(0,-)

【分析】分析函数〃无)的性质，并作出函数图象，结合方程根的意义及对勾函数单调性求解

即得.

【详解】函数y=-x2-2x的图象对称轴是x=T,当x40时，函数f(x)=-/-2x在(^0,-1］

上单调递增，

函数值集合为(-8,1］,在上单调递减，函数值集合为［0,1］,

当x>0时，函数/(尤)=：|1。83刈在(。/］上单调递减，函数值集合为［。,+s),

在口,+«0上单调递增，函数值集合为［0,+8),

由/(x)-左=0,得/。)=左，因此方程f(x)-左=0的根即为直线、=左与函数y=/(x)图象

交点的横坐标，

在同一坐标系内作出直线，=%与函数y=/(x)的图象，如图，

答案第6页，共13页

观察图象知，当Ovkvl时，直线丁=左与函数>=/（%）的图象有4个交点，

因此方程“X）-左=0有4个不同的实数根，k的取值范围是（0,D；

111

显然芯+%2=-2,当一|log3%|=l时，X=入或％=9,于是一<七<1<%4<9，

299

由!|10g3%31=，|1。83兀4I，得WI4T，即％3=',则工3+工4='+工4,

22%4%4

1c18282

显然函数一+Z在（L9）上单调递增，从而2<一+工4<玄，即2<F+Z<J,

X4匕9'"9

6464

则0<占+超+$+无4<§，所以玉+尤2+W+Z的取值范围是（。，§）.

【点睛】思路点睛：涉及同一函数的几个不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直

线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.

17.（1）左=一1

⑵c=（i,o）或

【分析】（1）根据平行关系，列出方程，求出实数左；

（2）根据平行关系和模长，列出方程组，求出C的坐标.

【详解】（1）3+26=（左一6,2无+4）,2a—46=（14,T）,

因为（左。+2b）〃（2d-48）,

所以伏-6）x（T）_（2左+4）xl4=0,解得k=-l；

（2）设向量c=（无,y）,因为向量C为单位向量，所以同=小量+,2

又因为c-b=（x+3,y-2）,

所以k-W=y/（x+3）2+（y-2）2=2亚②,

答案第7页，共13页

（X一]

由①②解得T八或<

[y=o12，

13

所以c=(l,O)或

18,⑴3口@4)=卜,<0蛆23}

(2)(-oo,-3]u[4,+co)

【分析】（1）根据分式不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下

的集合A；

（2）对集合B中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.

【详解】（1）若选①：三2X-2^<1,.•?.X工-2^—1<0,

即"<0,等价于（x-3）（x+l）<0,解得一1<X<3,

A={x[-l<x<3},

因为Q=1,所以3=卜,2+%<o}={%卜1<%<0},

2A={x[x<-1或x>3},

八应力=冲<0或xN3}；

若选②：|x-l|<2,-2<x-l<2,解得-1<%<3,AA={x\-l<x<3},

因为Q=1,所以3=卜,2+%<o}={%卜1<%<0},

2A={x[x<-1或x>3},

八应力=冲<0或xN3}；

若选③：一/+2%+3>0,解得一4={%]—1<%<3},

因为々=1,所以3=卜,2+%<o}={%卜1<%<0},

①A=„<-1或x>3},

八应力=冲<0或xN3}；

答案第8页，共13页

(2)由(1)知A={x|-l<x<3},

B={尤卜2+x+a-a2<0^={x|(x+a)[x+(l-a)]<0

因为“xd4”是“xeB”的充分不必要条件，所以A是B的真子集.

(i)若一a<—(1—a),Bptz>—,止匕时3={一丫一。＜》＜_(1_＜7)},

-1>-a

所以等号不同时取得，解得a24.

3<-(l-a)

(ii)若一。=—(1—a),即a=；,则8=0,不合题意舍去;

即〃

(iii)若—aJ止匕时3=卜卜(1_〃)<%<_〃},

2

所以3Vl)‘等号不同时取得‘解得“针3.

综上所述，。的取值范围是(-p-3］。［4,钙).

x+l/、

19・⑴〃元)=3。号-4，(TT)

(2)证明见解析

【分析】(1)用换元法令2x+l=f,代入函数解析式即可求出;

(2)作差，利用指数函数的单调性即可证明.

t—1t-1,t+1

【详解】(1)令2光+1=，，得%=；-,则/⑺=3。了+—4=3小"—4，

X+1

所以/(%)=3〃2—4

令罟=0,得x=_l,M/(-l)=3a°-4=-l,

因此，函数y=/(x)图象恒过的定点坐标为

1(1

X_H-43X_H-4-_x_2

(2)证明：因为--4-4=3〃2—4---+4=3a2—a2

X

a2、

又因为x+：Y+x+：卜

当且仅当X=时等号成立,

2I2J-22>0

答案第9页，共13页

二匚［、1%+1、x2

所以——>——

22

又由可得手4

a2>a2

'x+lx2、

所以30T-不20,即/(九)一A_4>0

\7

7

3

即/(无)之三-4

a2

20.(1)〃=40,x=1,a—0.010

⑵平均数73,中位数为73.33

⑶1

【分析】(1)根据题意结合频率和频数之间的关系分析求解；

(2)根据中位数、平均数的定义结合频率分布直方图运算求解；

(3)求低于60分的各组人数，利用列举法结合古典概型分析求解.

【详解】(1)由图知第三组的频率为0.25,又由第三组的频数为10,所以〃=忌=40,

所以x=40x0.05=2,“=4+40+10=0.010.

(2)由(1)可知:每组的频率依次为0.05,0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,

平均数元=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73,

设中位数为b,且0.05+0.1+0.25=0.4,0.05+0.1+0.25+0.3=0.7,可知人e［70,80),

所以0.05+0.1+0.25+。-70)x0.030=0.5,解的6。73.33.

(3)记事件E：从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组，

由(1)知样本中位于［40,50)内的有两人，分别记为A8；

位于［50,60)内的有四人，分别记为a,6,c,d；

从低于60分的学生中随机抽取两人的样本空间

O={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd},

共包含15个样本点，

所以E={AB,必ac,4d,6c,加/,cd}共包含7个样本点，

答案第10页，共13页

77

所以P(身=”，即从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组的概率为二.

/16.4/4

404x+——+1,-<x<4

x)3

21.⑴W=,

40-^--+18|,4<x<8

XX)

(2)当社团每天制备2L氯气时，总成本最少，最低成本为680百元

【分析】(1)根据生产天数要求，可确定x的取值范围；计算可得日产量不足4L和大于等

于4L时，1L氨气的平均成本，由此可得关系式；

4

(2)分别在§Wx<4、4WxW8的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求

得最小值，综合两种情况可得结论.

【详解】(1)若每天生产迎氢气，则需生产丝40天，.•.4空0W30,则xN4；；

xx3

若氯气日产量不足4L,则1L氨气的平均成本为咀+l=4x+3+l百元；

若氯气日产量大于等于4L,则1L氨气的平均成本为%+1=二-3+18百元；

XXX

16八4/4

404Ax+----Fl<x<4

x)3

,W=<

93、

40F一一+18,4<x<8

xx)

(2)当±Wx<4时，4x+—>2./4x-—=16(当且仅当以=3，即>2时取等号)