高一数学新教材同步教学讲义 奇偶性（解析版）

奇偶性

【知识点梳理】

知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1.函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个X,都有/(-x)=∕(x),那么/(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个X,都有"-χ)=-"χ),那么/(x)称为奇函数.

知识点诠释：

(1)奇偶性是整体性质；

(2)X在定义域中，那么r在定义域中吗？--具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

(3)f(r)=∕(x)的等价形式为：/(X)-/(-X)=O,$?=l(/(x)xθ),

ʃ(-ɪ)=-ʃ(ɪ)的等价形式为：f(x)+f(-χ)=o,4rv=T(f(X)≠0)；

ʃ(ɪ)

(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0;

(5)若/(x)既是奇函数又是偶函数，则必有F(X)=0∙

2.奇偶函数的图象与性质

(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，

如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，

则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

(D求函数八幻的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既

不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

(2)结合函数/(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；

(3)求f(,-x),可根据/(-X)与ʃ(ɪ)之间的关系，判断函数/(X)的奇偶性.

若f(-χ)=-f(X),则/(X)是奇函数；

若/(-X)=/(X).则Z(X)是偶函数；

若f(-x)≠±/(X),则/(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

若f(-x)=∕(x)且〃r)=-"x),则/(X)既是奇函数，又是偶函数

知识点二、判断函数奇偶性的常用方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；

若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(-x)与士∕(x)之一是否相等.

(2)验证法：在判断了(-x)与f(x)的关系时，只需验证f(-x)±f(x)=O及XR=±1是否成立即可.

/(ɪ)

(3)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.

(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；

两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

(5)分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量X的不同取值范围，有

着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法

也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与/(x)的关系.首先要特别注意X与T的

范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，/(x)与/(-X)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数

的定义进行比较.

知识点三、关于函数奇偶性的常见结论

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(x)是偶函数。函数/(x)的图象关于y轴对称：

函数/(x)是奇函数o函数/(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=∕(x)在X=O处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=f(x)必满足f(x)=/(IΛ-∣).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对

称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形

式∙i己g(x)=g"(x)+/(-X)］，〃(x)=g［∕(x)-ʃ(-ɪ)］，则f(x)=g(x)+h{x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所

得的函数，如/(x)+g(x),∕(x)-g(x),∕(x)×g(x),/(X)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶土偶=偶;奇士偶=非奇非偶；

奇X(÷)奇=偶；奇x(÷)偶=奇;偶x(÷)偶=偶.

(7)复合函数y=f［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

【题型归纳目录】

题型一：函数的奇偶性的判断与证明

题型二：已知函数的奇偶性求表达式

题型三：已知函数的奇偶性求值

题型四：已知函数的奇偶性求参数

题型五：已知/'(x)=奇函数+M

题型六：抽象函数的奇偶性问题

题型七：奇偶性与单调性的综合运用

题型八：利用函数奇偶性识别图像

【典型例题】

题型一：函数的奇偶性的判断与证明

例1.(2022•陕西・榆林市第十中学高一阶段练习)下列函数是奇函数的是()

A.y-y[xB.y=2x2+3C.y=---D.ʃ=-x2,x∈(-1,1)

X

【答案】C

【解析】对于A：y=«定义域为[0,+e),不关于原点对称，所以y=«为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：y=∕(x)=2f+3定义域为R,则/(r)=2(ry+3=2χ2+3=∕(x),即y=2f+3为偶函数，

故B错误；

对于C：y=g(χ)=-,定义域为(y,0)U(0,+∞),则g(-χ)=--L=L-g(χ),故y=-'为奇函数,故

X~~XXX

C正确；

对于D:丁=/?(力=一/,了€(—1,1)定义域为(一1,1),贝IJM-X)=-(-χ)2=-χ2=MX),所以y=-χ2,χe(-l,l)

为偶函数，故D错误：

故选：C

【方法技巧与总结】

判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇

偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先''的原则，即优先研究函数的定义域，否则

就会做无用功.

例2.(2022・湖北•华中师大一附中高一开学考试)已知函数〃力=.+：+".

⑴若g(x)=/(X)-2,判断g(x)的奇偶性并加以证明.

(2)若对任意x<l,+e)J(x)>θ恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)g(x)="x)-2=二=

当4=0时，g(χ)=χ,定义域为R,止匕时g(-x)=—X=—g(x),

所以g(x)为奇函数,

当α*0时，定义域为(y,0)U(0,+∞),且g(-χ)=-χ-∕=-g(χ),

所以g(x)为奇函数，

综上：g(χ)为奇函数.

(2)x∈[l,+∞),∕(x)>0.

即〃X)=卫生H=X+@+2>o,在χe[1,+8)上恒成立,

XX

整理为Q>_2X在X∈[1,+8)上恒成立，

⅛Λ(x)=-x2-2x=-(x÷l)2+1,

当X=I时，Wme=-(l+I)?+1=—3,

所以α>-3,

故实数。的取值范围为(-3,转).

例3∙(2022・全国•高一专题练习)已知函数/(X)=/ɪ,g(x)=xθx,则()

A./(χ+i)为奇函数，g(χ-D为偶函数

B./(χ+i)为奇函数，g(χ+D为偶函数

/(x+g)为奇函数，g(χ-D为偶函数

C.

D.为奇函数，g(χ+D为偶函数

【答案】D

,定义域为卜定义域不关于原点对称，故/(x+l)既

【解析】∕ω⅛-∙∙∙∕(-0=⅛

不是奇函数又不是偶函数;

—,定义域为｛χ∣χ≠o｝，定义域关于原点对称，令尸(X)=(，旦F(-x)=F(x),所以fX÷i

为奇函数；

g(x)=x2-2x,：.g(x-l)=(x-l)2-2(x-l)=f-4χ+3既不是奇函数又不是偶函数；

g(x+l)=(x+l)2-2(x+l)=f-1为偶函数.

故选：D.

例4.(2022•全国•高一课时练习)设/(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A./(x)”-力是奇函数B.“χ)∣"-χ)∣是奇函数

c.F(X)-/(T)是奇函数D./(x)+f(-x)是奇函数

【答案】C

【解析】A选项：设尸(X)="x)f(τ),F(-x)=∕(-x)∕(x)=F(x),则”x)”T)为偶函数,A错误；

B选项：设G(X)=f(x)∣∕(r)∣,则G(T)="τ)∣f(x)∣,G(X)与G(-x)关系不定，即不确定"x)∣f(-x)∣

的奇偶性，B错误；

C选项：设M(X)=/(力―/(r),则M(—x)=∕(r)-∕(x)=TW(X),则f(x)-/(T)为奇函数,C正

确；

D选项：设N(X)=/(x)+∕(-x),则N(—x)=∕(-x)+∕(x)=N(X),贝∣J/(x)+∕(-x)为偶函数，D错误.

故选：C.

例5.(2022.全国•高一课时练习)已知F(X)=(丁一2x)∕(x),且/(x)是定义在R上的奇函数，/(l)≠0,

则F(x)()

A.是奇函数B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【解析】由已知F(X)的定义域为R,

因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(-x)=∙√(x),

所以F(T)=(—Y+2x)〃T)=(X3-2x)/(X)=F(X),

所以F(X)为偶函数，

又产(T)=(T+2)/(T)=-F(1),F(l)=(l-2)∕(1)=-∕(1),又*1)*0,

所以F(-l)≠-F⑴，所以尸(力不为奇函数，

故选：B.

例6.(2022•全国•高一课时练习)下列说法中错误的是()

A.奇函数的图像关于坐标原点对称B.图像关于y轴对称的函数是偶函数

c.奇函数一定满足/(O)=OD.偶函数的图像不一定与y轴相交

【答案】C

【解析】根据奇偶函数的性质知A,B正确；

对于C,如/(x)=JX∈(^,0)O(0,-HX>),易得函数“力是奇函数，但它的图像不过原点，故C错误;

对于D,如g(x)=±,x∈(^,0)u(0,^),易得函数g(x)是偶函数，但它的图像不与)，轴相交，故D

正确.

故选：C.

例7.(2022・浙江绍兴•高二期末)已知/(x),g(x),"x)为R上的函数，其中函数/O)为奇函数，函数g(x)为

偶函数，则

A.函数〃(g(x))为偶函数

B.函数〃(/(x))为奇函数

C.函数gS(x))为偶函数

D.函数/S(X))为奇函数

【答案】A

【解析】设F(X)=〃(g(X)),因为g(χ)为偶函数，所以g(-χ)=g(χ),则尸(-χ)=Mg(-χ))="(g(χ))=F(χ),

所以函数∕z(g(x))是偶函数，故选A.

考点：函数的奇偶性.

例8.(多选题)(2022.全国.高一课时练习)已知函数/(x),g(x)均为定义在R上的奇函数，且"x)≠0,

g(x)*0,则()

A./(x)+g(x)是奇函数B./(x)-g(x)是奇函数

C./(x)g(x)是偶函数D./(x)∣g(x)∣是偶函数

【答案】ABC

【解析】因为函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数，所以/(r)=-/(x),g(r)=-g(x),

对于A选项，设尸(X)=/(x)+g(x),则尸(-x)=∕(-X)+g(-X)=-/(x)-g(x)=-b(x),所以/(x)+g(x)

为奇函数，故A正确;

对于B选项，设尸(X)=/(x)-g(x),贝∣JF(-x)=∕(-x)-g(-x)=∙√(x)+g(x)=-F(x),所以/(x)-g(x)

为奇函数，故B正确;

对于C选项，设E(X)=/(x)g(x),则F(-x)=f(r)g(r)=-f(x)[-g(x)]=F(x),

所以/(x)g(x)为偶函数，故C正确;

对于D选项，设F(X)=Ig(X)I,则F(r)=∕(T)Ig(T)∣=-∕(x)卜g(x)∣=-F(x),所以/(x)Ig(X)I是

奇函数，故D错误.

故选：ABC.

例9.(多选题)(2022•全国•高一课时练习)下列判断正确的是()

I匕上是偶函数X,+x,x<;是奇函数

A./(x)=(x-l)B.f(X)=

X-I-x^+x,x>()

2

J∖-x

C./(x)=j3-χ2+-3是奇函数D."χ)=r⅛7是非奇非偶函数

X+3-3

【答案】BC

1-∣-γ

【解析】对于A,由匚』°口」-.。,得一1≤x<1,

则/(X)的定义域不关于原点对称,

所以函数/(X)为非奇非偶函数，故A错误;

对于B,函数/(x)的定义域关于原点对称，当QO时，-X<O,

/(x)+/(-x)=-x2+x+(-x)^-X=O,

当x<0时，也有“x)+∕(f)=0,所以“X)为奇函数，故B正确；

对于C,由3-f≥0且χ2-3≥0,得/=3,g∣Jχ=±√3,

"x)的定义域关于原点对称，此时/(x)=0,

所以/(x)既是奇函数又是偶函数，故C正确；

对于D,由l-χ2≥0且∣x+3∣—3≠0,得一l≤x≤l且Λ≠0,

/(χ)的定义域关于原点对称，因为〃X)=曲2=^3，

4_月=_正£=_/(》)，所以函数〃x)为奇函数，故D错误.

故选:BC.

例10.(多选题)(2022•全国•高一课时练习)下列函数中，在(0,+8)上单调递增且图像关于N轴对称的是

()

A./(x)=x3B.f(x)=x2C./(x)=√xD./(x)=∣x∣

【答案】BD

【解析】关于A选项，函数/(x)=d为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；

关于B选项，函数/(χ)=f为偶函数，其图像图像关于y轴对称，且函数f(χ)在(0,+8)上单调递增，故

B正确：

关于C选项，函数/(x)=G的定义域是［0,+8),故函数f(x)为非奇非偶函数，故C错误：

关于D选项，函数/(x)=W的定义域为R,∕(r)=∣T=∣x∣=∕(x),所以函数F(X)为偶函数，当x>0时•，

“x)=x,所以函数/(x)在(0,+8)上单调递增，故D正确.

故选：BD.

例11.(2022•全国•高一课时练习)判断下列函数的奇偶性.

⑴/(χ)=丁

⑵“χ)=(ι)侣；

(3)∕(X)=√3-X2+√√-3;

—2x,X<—1

⑷∙f(x)=∖2,-l≤x≤l.

2x,x>I

【解析】⑴"X)的定义域是(e,o)u(o,m),关于原点对称,

又/(T)=(Ty-(=—卜一J)=-4》)，所以/(X)是奇函数.

(2)因为/(x)的定义域为［T,l),不关于原点对称，

所以/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(3)因为的定义域为16},所以/(x)=0,

则/(x)既是奇函数又是偶函数.

(4)方法一(定义法)因为函数“X)的定义域为R,所以函数“X)的定义域关于原点对称.

①当x>l时，-x<-l,所以/(-x)=(-2)x(-x)=2x=f(x);

②当-l≤x≤l时，/'(尤)=2；

③当x<-l时,-x>l,所以f(-x)=2x(-X)=-2X=F(X).

综上，可知函数f(x)为偶函数.

方法二(图象法)作出函数/(x)的图象，如图所示，易知函数/(x)为偶函数.

-3-2-10\1233

例12.(2022•江苏•盐城市田家炳中学高一期中)已知函数/(x)=,nr+j∕n∈R).

⑴当〃?=1时，判断函数/(x)的奇偶性;

(2)当加=0时，判断函数/(x)在(0,+8)上的单调性，并证明.

【解析】ɑ)当加=1时，"x)=x+J,定义域为{x∣x≠0},关于原点对称，

/(-ɪ)=~x~~==-∕(x)，所以/(χ)是奇函数.

(2)当机=0时，f(x)=L证明：取O<x∣<x,,/(ɪi)-/(ɪɔ)=-------=———,

V

'XXlX2XIX2

所以XIX2>0，J⅛r∣>0,则Fa)-F(W)>0,g∣J∕(xl)>∕(x2),

所以"x)在(0,+e)上是单调递减函数.

例13.(2022・全国•高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：

⑴"i⅛;

(2)/(x)=(XT)后I；

(3)/(x)=Jl-χ2+Jx2-1；

x2-2x+3,x>0

(4)/(x)=<O,x=O.

-x2—2,x—3,x<O

_∖4-X2≥O

【解析】⑴由1χ+3卜3≠θ,得-2≤N≤2,且XW0,

所以/(x)的定义域为［-2,0)U(0,2］,关于原点对称，

所以〃X)=Qi=.匹I=@三:

∣x+3∣-3x+3-3X

又/(T)=也±立=_3三I=_〃x),所以/(X)是奇函数.

—XX

(2)因为/(x)的定义域为［T,l),不关于原点对称，所以/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(3)对于函数/(x)=√Γ∕+4r=i,p；：U，,x=±i,其定义域为{τι},关于原点对称.

因为对定义域内的每一个X，都有"x)=0,所以"τ)="x),/(-x)=-∕(x),

所以“x)=√∏+4r二［既是奇函数又是偶函数.

(4)函数/(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.

①当X=O时，-x=0,

所以/(r)=f(O)=0,/(x)=∕(0)=0,所以/(-%)=-"力；

②当x>0时，—X<0»所以J(―x)=—(―x)—2(—x)—3=—(r—2x+3)=—/(x)；

③当x<0时，一x>0,所以.f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-χ2-2x-3)=-∕(x).

综上，可知函数/(x)为奇函数.

题型二：已知函数的奇偶性求表达式

例14.(2022.全国•高三竞赛)已知/(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数.若〃x)-g(x)=f+2x+3,

则f(x)+g(x)=().

A♦-x^+2x-3B∙Λ2+2x—3

C.-X2-2x÷3D.X2-2x+3

【答案】A

【解析】由F(X)是奇函数,有“τ)=-∕(χ).又g(x)是偶函数，有g(τ)=g(x).

在/(X)-g(x)=d+2x+3中，以-X代X,

得/(-X)-g(-x)=2x+3,

即-f(x)-g(r)=χ2-2x+3.

故/(x)+g(x)=-f+2x-3.选A.

【方法技巧与总结】

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得

f(x)的解析式.

例15.(2022•福建・泉州鲤城北大培文学校高一期中)函数f(x)是R上的偶函数，且当QO时，函数的解

2

析式为/(χ)=*-1

X

(1)求f(-l)的值：

(2)用定义证明/(x)在(0,+∞)上是减函数；

(3)求当x<0时，函数的解析式.

【解析】⑴/(T)=AD=I;

222(X—X)

(2)证明：任取0<玉<%2，贝IJf(XI)—/(工2)=——1----+1=1,所以玉工2>°，々一七>。，即

f(X1)>f(X2)t所以八幻在(0,+∞)上是减函数；

22

(3)任取x<0,则一x>0,故/(T)=——一可⑴，即x<0时，函数的解析式为/0)=———1.

XX

例16.(2022•全国•高一课时练习)函数〃X)=竽二1是定义在(-3,3)上的奇函数，且"1)=J.

9—XO

⑴确定“X)的解析式；

⑵判断了(X)在(-3,3)上的单调性，并用定义证明.

【解析】(1)因为函数〃X)=詈⅜是定义在(-3,3)上的奇函数

所以/(。)=9=0,解得b=0∙

经检验，当6=0时，"X)=言是(-3,3)上的奇函数，满足题意.

乂川)=言="，解得。=1，

所以"X)=5⅛∕≡(-3,3)∙

(2)/(x)在(一3,3)上为增函数.证明如下：

在(一3,3)内任取外,马且王</，

.∣f(.ʌf(ʌX2_____4_(-一4)(9+百工2)

则lll/⑸χ-/㈤γ=-土-亏-万出回才

ς

因为超一元∣>0,9+xlx2>0,9-X(>0,9一只>0,

所以/(w)二f(5)>0,即/(8)>“石)，

所以/(x)在(-3,3)上为增函数.

例17.(2022.全国•高一课时练习)已知/(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=3x2-x+l,试求"x)和g(x)的表达式.

【解析】解析：以一X代替条件等式中的X,则有/(τ)+g(τ)=3χ2+χ+l,

又/(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，

故-/(》)+8(》)=3/+》+1.

又“x)+g(x)=3x2-X+1,

联立可得/(x)=r,g(x)=3∕+l.

例18.(2022•全国•高一专题练习)已知函数y=∕(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，/(X)≈X2-2X

⑴试求/(x)在R上的解析式；

(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

【解析】(1)/S)的图象关于原点对称，

∙∙"(x)是奇函数，∙∙J(-X)=-/(X).

又/(X)的定义域为R,.∙∙/(O)=-Z(O),解得/(0)=0.

设x<0,则-x>0,

；当X>0时，f(x)=X2-2x,

f(-x)=(-X)2-2(-x)=X2+2X=-f{x}

:.f(x)=-X2-2x,

X2-2x(%>0)

所以/(X)=0U=O);

-X2-2x(x<0)

(2)由(1)可得/(x)的图象如下所示：

由图象可知/(x)的单调递增区间为(f,τ)和(l,y),单调递减区间为(-LI)；

例19.(2022.全国•高一课时练习)已知函数“X)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，/(x)=x2+2x.

⑴求当x>0时，函数的解析式；

(2)解不等式d卜不)一式(一切>0.

【解析】(1)由〃x)为奇函数，得〃—x)=—/(x)∙当x>0时，-x<0,

故/(-ɪ)=-/(x)=(-Λ)^+2(-X)=X2-2X,

故当x>0时，/(X)=-X2+2X.

(2)由/(一力=一/(久)，得χ3[∕(x)-√(r)]=χ3[∕(x)+∕(x)]=2χ3∕(x),

故上(X)T(T)]>。=2〃(X)>0=卜；TO或篇

如图所示，画出函数/(x)的图象.

∣Λ>0∣x<O、

由图易得J∕(x)>O的解集为(0,2),。(,<0的解集为(z-2,0),

故不等式-Iy(X)-J(τ)]>0的解集为(一2,0)(0,2),

例20.(2022•广西•兴安县第二中学高一期中)已知y=∕(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，

/(Λ)=X2-4X,则x<0时，/(x)的解析式为.

【答案】/(X)=-X2-4X

【解析】当x<0时，则一x>0,

因为当x>0时，/(x)=x2-4x,且y=∕(x)是定义在R上的奇函数，

222

所以/(-%)=(-X)-4∙(-x)=χ+4x=-f(x),即f{x}=-X-4x,

故x<0时，"x)的解析式为Ax)=-/-©.

故答案为：f(ɪ)=-X2—4x.

例21.(2022・全国•高一课时练习)已知“X)是偶函数，当x<0时，/(x)=x(x+l),则当x>0时，/(x)=

【答案】X(XT)

【解析】由x>0,则r<0,且函数/(x)是偶函数，故当x>0时，/(x)=f(τ)=(-X)(T+l)=x(x-l)

故答案为：ɪ(ɪ-l)

题型三：已知函数的奇偶性求值

例22.(2022•江苏•盐城市田家炳中学高一期中)已知奇函数/(x),当x≥0时，/(》)=2，-6(加为常数)，

则"-2)=()

A.1B.2C.-3D.3

【答案】C

【解析】由于f(x)是奇函数，所以y(-0)=-∕(0),2/(0)=0J(O)=0,

所以F(O)=2。-〃7=1-，77=0,加=1,

所以x≥0时，/(x)=2*τ,

所以〃-2)==*2)=-(2-)=-3.

故选：C

【方法技巧与总结】

充分利用奇偶性进行求解.

例23.(2022•上海市建平中学高一期中)定义在R上的奇函数y=∕(x)满足/⑴+/(0)=万，则/(T)=

【答案】F

【解析】由题意/(0)=0且/(-X)=-/(X),

贝IJ/(D+/(O)=—f(T)+0="，则ʃ(-l)=-π.

故答案为：一乃.

例24.(2022・安徽・安庆市第七中学模拟预测(文))已知/O)是定义域为R的奇函数，且函数y=f(xl)为

偶函数，当0≤x≤l时，/(x)=x3,贝"图=.

【答案】-ɪ

O

【解析】/(X)关于(0,0)对称，关于直线X=-I对称，

所以电卜-({If({HI})=1•

故答案为：-;

O

例25.(2022•全国•高一专题练习)已知函数y=∕(x),y=g(x)的定义域为R,且y=∕(χ)+g(χ)为偶函

数，y=f(χ)-g(χ)为奇函数，若"2)=2,则g(-2)=_.

【答案】2

【解析】因为y=f(χ)+g(χ)为偶函数，y=f(χ)-g(χ)为奇函数，

所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),/(-2)-g(-2)=5(2)-/(2),

两式相减可得，/(2)=g(-2),

若〃2)=2,贝∣Jg(-2)=2.

故答案为：2.

例26.(多选题)(2022.广东.揭阳华侨高中高一期中)AX)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(T)+g⑴=3,

/⑴+g(-1)=5,则()

A./(D=IB./(-1)=1C.g⑴=4D.g(T)=T

【答案】AC

【解析】因"x)是奇函数,g(x)是偶函数，则f(-D+g⑴=3=-ΛD+g⑴=3,

f(l)+g(-l)=5θ∕(l)+g(l)=5,

解得/⑴=l,g(D=4,即A,C都正确；而/(T)=-Lg(T)=4,即B,D都不正确.

故选：AC

例27.(2022・江苏•扬中市第二高级中学高一阶段练习)已知/")是偶函数，g(x)是奇函数，且

/(ɪ)+g(x)=2x2-2x+l,则F(T)=()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】A

【解析】令x=l,得/(1)+g(1)=1,

令X=-1,得/(-1)+g(-1)=5,

又f(x)是偶函数，g(X)是奇函数，所以/(-1)=f(l),g(-l)=-g(l),

两式相加得：/(1)+/(^1)+g(1)+g(^1)—6,

/(1)V(I)+⅛(1)-g(1)=6,即)(1)=6,

所以/(-1)=3；

故选A.

考点：函数奇偶性的应用.

题型四：已知函数的奇偶性求参数

-X2+%>O

例28.(2022•全国•高一课时练习)若函数"x)=∙0,X=O是奇函数，则实数”的值为.

ax1+x,x<0

【答案】1

【解析】若"了)是奇函数，则有F(T)=-y(χ)∙

当x>0时，一x<0,贝∣J∕(-x)=α(-x)'+(—X)=Or2—X,

又当x>0时，/(x)=-x2+x,所以-f(x)=χ2-X,

由/(τ)=-f(x),ax2-X=X2-X,解得4=1.

故答案为：1.

【方法技巧与总结】

利用函数的奇偶性的定义转化为/(-x)=±∕(x),建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填

空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

例29.(2022・湖南・华容县教育科学研究室高一期末)已知函数/(6=2/+以+。为偶函数，则〃=

【答案】O

【解析】因为函数/(x)=2Y+"+c为偶函数，

所以/(-x)=ʃ(ɪ)>即2(-x>+a(-x)+c=2x2+a>c+c,

整理得2以=0,

因为x∈R

所以当α=O时上式恒成立，

故答案为：O

例30.(2022•全国•高一专题练习)若函数=的图象关于V轴对称，则常数4=.

【答案】-1

【解析】可知函数/(X)为偶函数，定义域为R,则/(T)=F(I),即萧言=奈，解得α=T,

9Λ+1

则"x)=∕L=l,显然满足题意，KU=-I.

2+1

故答案为：-1.

例31.(2022・全国•高一专题练习)已知函数/(必="+三是偶函数，则常数。的值为_.

4+1

【答案】-g【解析】,函数/(x)=0r+二工是偶函数

24x÷l

x)=∕(x)对定义域内每一个X都成立

.∖-ax+-------=ax-∖--------,

4一”+14Λ+1

x

,^xxxXX4'Xx×4

..-2ax=-------1-----=-----1--------=-----1----=Xf

4'+l4^j,+l4X+14V(4Λ+1)4Γ+11+4”

.∙.(l+2α)X=O对定义域内每一个X都成立

.∙.1+20=0>即a=--.

2

-X2+2x,X>0

例32.(2022・全国•高一课时练习)已知函数/(x)=∙0,x=0是奇函数，则，〃=

X2+mx,x<0

【答案】2

【解析】当x<0时，一x>(),/(-%)=-(-X)2+2(-Λ)=-X2-2x,

又/(x)为奇函数，ʃ(ɪ)=-f(-x)=X1+2x,而当XCO时，/(x)=x2+mx,

所以，熊=2.

故答案为：2

例33.(2022・全国•高一课时练习)已知函数/(同=，加+依+2(加,〃£11)是定义在［2m,加+3］上的偶函数,

则函数g(x)=/(x)+2x在［-2,2］上的最小值为.

【答案】-6

【解析】因为函数“可=/加+加+2(〃?,"£1<)是定义在［2加,加+3］上的偶函数,

，

f(-χ)=f(χ),ιnx~-∕ιr÷2=πυc~2+nx+22nx=0/2=0

即<则解得

2w+m+3=0tn=-∖m=-∖m=-∖

所以g(%)=/(x)+2x=-x2+2x÷2=3-(x-l)2,x∈[-2,2],

所以g(-2)=-(-2y+2x(-2)+2=-6,g⑵=-2∖2x2+2=2,

则g(xL=S

故答案为：-6

题型五：已知/(X)=奇函数+M

例34.(2022・全国•高一课时练习)若函数“χ)=2∕+3x+f+2022∖'在12022,2022］上的最大值为”,

最小值为N,且“+N=2024,则实数f的值为()

A.-506B.506C.2022D.2024

【答案】B

【解析】函数〃X)=2∕+3x+24+2022F=.2r(±)+3^2022√i=2,+3x+2°22/,

X4+rX4+tX4+t

令尸(X)="x)-2f=良詈竺，

因为F(T)=VXfS=-F(Λ),

所以F(X)为奇函数，

又/(x)在［-2022,2022］上的最大值为M,最小值为M且M+N=2024,

所以尸(x)的最大值为M-〃，最小值为N-2f,

所以(M-2f)+(N-2∕)=0,则f=506.

故选：B

【方法技巧与总结】

已知/(X)=奇函数+M,x&［-a,a］,则

(1)/(-%)+/(x)=2M

⑵∕ωmax+∕ωmi∏=2M

例35.(2022・全国•高一课时练习)设函数“χ)=宁詈工在区间［-2,2］上的最大值为M,最小值为M

贝IJw+N-1产”的值为.

【答案】1

【解析】由题意知，/(x)=⅛^+l(X≡［-2,2］),

设g(x)=⅛^,则/(x)=g(x)+L

%+1

因为g(-x)=\=-g(x)，

所以g(x)为奇函数，

g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,

故M+N=2,

所以(M+N7)2*m=(27)2g=l.

故答案为：1

例36.(2022・全国•高一课时练习)已知函数/(x)=x5-渥+加+2,/(-5)=17,则/(5)的值是.

【答案】-13

【解析】g(x)=x5-加+法是奇函数

.∙∙g(-χ)=-g(χ)

/(-5)=17=g(-5)+2.∙∙g(5)=T5

.∙j(5)=g(5)+2=-15+2=-13.

故答案为：-13.

题型六：抽象函数的奇偶性问题

例37.(多选题)(2022•全国•高一专题练习)定义在R上的函数"X)满足"x+y)=∕(x)+∕(y),当x<0

时，"χ)>0,则下列说法正确的是()

A./(0)=0

B./(x)为奇函数

C./(x)在区间上上有最大值/(〃)

D."x-l)+∕(f-l)>0的解集为{x∣-2<x<l}

【答案】ABD

【解析】对于A选项，在"χ+y)=∕(χ)+∕(y)中，令χ=y=O,可得f(0)=2∕(0),解得F(O)=0,A

选项正确；

对于B选项，由于函数/(χ)的定义域为R,在/(χ+y)=∕(χ)+.f(y)中，令>=一%,可得

/(x)+∕(-x)=∕(0)=0,所以〃r)=-∕(x),则函数F(X)为奇函数,B选项正确;

χ

对于C选项，任取4，X2∈R,且飞<石，则XI-X2<0,f(y-x2)>0,

所以∣)，所以，则函数/在上为减函数，所

/(ΛI)-"X2)=/(XJ+y(τ2)="χ-&>°/(χJ>∕α)(χ)R

以7(x)在区间[，",n]上有最小值/(n),C选项错误；

对TD选项，由可得/(χ2_])>_〃χ_])=〃]_江又函数〃χ)在R上为减函数，

则χ2-i<>χ,整理得f+χ一2<0,解得-2<x<l,D选项正确.

故选：ABD.

【方法技巧与总结】

判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断了(-幻与/(X)之间的关

系，因此需要先求出/.(0)的值才行.

例38.(多选题)(2022•全国•高一课时练习)己知函数/(x)对任意x,yeR都有

“χ+y)+f(χ-y)=∕(χ)∕(y),且/⑼≠0∙则下列结论正确的是()

A./(X)为偶函数B.若〃万)=0,则"2;T)=O

C./(2X)=∕2(X)-2D.若/⑴=(),贝厅(x+4)=∕(x)

【答案】ACD

【解析】选项A：因为“0)≠0,令x=y=O可得"0)+/(0)=/2(0),解得"0)=2.令X=O可得

/(y)+f(-y)=f(o)f(y)=2f(y),所以/(y)=/(—y),故C(X)为偶函数,A正确;

选项B：令χ=y=乃可得〃2万)+"0)=∕(万)/(万)，所以"2万)=-2,B错误;选项C:令y=χ可得

/(2X)=∕2(X)-2,C正确；

选项D：令y=l可得f(x+l)+∕(x-l)=∕(x)∕(l)=O,所以/(x+l)=-∕(x-l),所以

/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),D正确.

故选：ACD.

例39.(2022.全国•高一课时练习)设函数“X)对任意X,JeR,都有F(X+y)=f(χ)+"y),证明:/(χ)

为奇函数.

【解析】证明：函数/(x)的定义域为R,关于原点对称，

因为函数/(χ)对任意见ywR,都有/(χ+y)=∕(χ)+“y),

令χ=y=o,则/(0)=2/⑼，得/⑼=0,

令y=τ,则/(o)"(χ)+f(τ),

所以“χ)+∕(-X)=0，

即/(T)=-F(χ),所以F(X)为奇函数.

例40.(2022•天津南开•高一期末)已知函数/(x)的定义域为R,且对任意a,bQR,都有

f(a+b)=f(a)+f(.b),且当x>0时，fCx)<0恒成立.

⑴求一(0);

⑵证明：函数)F(x)是奇函数；

(3)证明：函数内(X)是R上的减函数.

【解析】(1)因为对任意”,b≡R,都有/(“+〃)=√-(α)+/,(i),

所以令“=b=0,得/(0)=0.

(2)由f(α+6)=f(a)+f(⅛),

得/(x-x)=于(X)+f(-x).

即/(x)+f(-x)=f(0),而/(0)=0,

.'.f(-x)=-f(X),

即函数y=∕(χ)是奇函数.

(3)设X∕>X2,则X∕-X2>0,f(X/-X2)<0

而/(a+ft)=f(0)+f(⅛),

ʌʃ(x∕)=f(X/-X2+X2)=f(X/-X2)+f(X2)<f(X2)>

.∙.函数)可(X)是R上的减函数.

例41.(2022•全国•高一专题练习)已知函数f(x)在(一1,1)上有定义，当且仅当0<x<l时f(x)<O,且对任意

x、y∈(T,l)都有f(x)+f(y)=f(^1),试证明

i+xy

(l)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(一1,1)上单调递减.

x+y

【解析】证明：(1)由f(x)+f(y)=f(河令x=y=O,得f(O)=O,

X—X

令y=-X,得f(x)+f(-x)=f(-一V)=f(O)=O

l-x

Λf(x)=-f(—x)

.∙.f(χ)为奇函数

(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减

a,Xj-X

令O<X∣<X2<l,51lJf(X2)—f(x1)=f(X2)+f(—X1)=f(--------)

1—x∣x2

Y—Y

V0<XI<X2<1,ʌX2-XI>0,l-χ∣X2>0,.∙.[2γ；,0,

又(X2—X。一(1—X2XI)=(X2—1)(xI+1)<0,.*.X2—x∣<l-X2X1,

X-XXo-X

Λ0<729~1LVI,由题意知f(r―1)‹0»即f'(x2)<f(xι)

・・・f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0

・・・f(x)在(一1,1)上为减函数

例42.(2022.全国•高一课时练习)已知函数/S)满足"χ+y)="χ)+∕(y)-I(X,ywR),当XKy时,

/(x)-∕(y)、n$+O

---------->。成"，且w〃1)=2.

X-y

⑴求/(0),并证明函数g(χ)=F(X)-1的奇偶性；

(2)当xe[0,9J,不等式〃力+/(机-2石)43