广西高考数学理科模拟考试卷及答案解析

广西高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）

班级:姓名：_考号：

一、单选题

1.已知集合乂={xIX=人且*=B},A={3,4,5,6,7},B={2,4,6,8},则M等于()

A.{4,5,6)B.{4,6}

C.也8}D.{3,57}

2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,-4），则4+_三_=（）

4+3i

A.5+iB.5-iC.3-5iD.4

3.电动工具已成为人们生产和生活中常备的作业工具、数据显示，全球电动工具零部件市场规模由2016年

的58亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%,2022年全球电动工具零部件市场规模

达到80亿美元.根据此图，下列说法中正确的是（）

201a2022年全球电动工具零出:件市场规模预测趋势图

A.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少

B.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长

C.2021年全球电动工具零部件市场规模大于2020年全球电动工具零部件市场规模

D.2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大

4.已知sima=cosa-1,则sin(|(a+2))|=()

1

A.1B.-1C.2D.—

2

1

5.己知数列{a}茜足a=-,a=一小,则数列,)卜的前5项和为()

nIaa+1[aJ

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1

A.25B.26C.32D.一

7

6.己知随机变量飞服从正态分布N⑵装2）,P（飞共4）=0.84则Pf%<0）=（）

A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84

7.如图，已知圆锥的底面半径为1,母线长SA=3,一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A

则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A.273B.373C.6D.2爪

8.若sin(爪-9)=6sin(|g+9))|,则8s29=()

A.二B,2C._三D.F

2222

9.已知函数f(x)=X2的图象在x=1处的切线与函数g(x)=与的图象相切,

则实数a=

a

A.JeB.史C.CD.e透

22

10.已知数列｛aj的通项公式是a.=f(|，%,其中f(x)=sin(ox+Q)(|(o>0,Id<-®））i的部分图象如图所示,

S为数列la）的前n项和，则S的值为（）

nn2021

4/

A._1B.0C.JD._走

~2-2

11.过抛物线C：x二—§2的焦点F作直线1交抛物线C于A,B两点,若点A到抛物线的准线的距离为3,

4

则|AB|二()

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7

A.—B.3C.一D.4

22

(i|logx|,0<x^3

12.已知函数f(x)=<13，若a,b,c,d互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+d

|l-|x-5l,x>3

的取值范围是()

M(6，［))|B.(|(11,^°))|C.(|(12,^))|D.(12.14)

二、填空题

『-y+1之。

13.已知x，y满足约束条件(x-t-y-2之0,则目标函数z=2x-y的最大值为

HX<2

14.如图，己知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E、F分别是棱AA,AD的中点，点P为底面四边形ABCD

1111111

内(包括边界)的一动点，若直线DP与平面BEF无公共点，则点P在四边形ABCD内运动所形成轨迹的

1

长度为.

15.如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为

180米的C,D两点，然后在C处测得三ACB=30。，三BCD=75。在D处测得三BDC=45。，则此建筑物AB

的高度为米.

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16.已知函数f(x)=/1二e一“~点M、N是函数y=f(x)图象上不同的两个点，设0为坐标原点，则

|1+X2,X>0

tan三MON的取值范围是.

三、解答题

17.已知函数f(x)=2sin(Lx__)X=R

23

⑴求f(()的值；

⑵求函数的单调递增区间；

(3)求f(x)在区间[一,2"]上的最大值和最小值.

3

18.如图，在直三棱柱ABCABC中，AABC是等边三角形AB=AA=4,D是棱AB的中点.

1111

(1)证明：平面ACD」平面ABBA.

111

(2)求点B到平面ACD的距离.

11

19.某校高三年级有男生1800人，女生1200人.为了解学生本学期参与社区志愿服务的时长，现采用分层

抽样的方法，从中抽取了100名学生，并按“男生”和“女生”分为两组，统计他们参与社区志愿服务的

时长，再将每组学生的志愿服务时间(单位：小时)分为5组[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并分别加以

统计，得到如图所示的频率分布直方图.

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(D从全年级学生中随机选取一位学生，估计该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概

率；

(2)从样本中男生组和女生组各随机选取一位学生，记其中参与社区志愿服务不小于30小时的人数为X,

求X的分布列和数学期望；

(3)从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10小时.据此数

据能否推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了？说明理由.

20.已知函数f(x)=xlnx+ax2-x(a=R)，且f(x)在(0,+w)内有两个极值点x,x(x<x).

21212

(1)求实数a的取值范围；

⑵求证：a+=；一<0.

I,>

21.已知圆C的半径是2,圆心在直线y=x上，且圆C与直线3x-4y-7=0相切.

(1)求圆C的方程；

(2)若点P是圆C上的动点，点Q在x轴上，pQ^Kj最大值等于7,求点Q的坐标.

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

3冗

p+4sin9=0,9=兀.

(1)求C的参数方程；

(2)已知点D在C上，若C在D处的切线与直线l:y=a-3平行，求点D的极坐标.

23.已知f(X)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=X2-x-1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象(不用列表),并指出它的增区间.

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参考答案与解析

1.B

【分析】利用交集的定义直接求解.

【洋皖】因为(3.4.5.6.7}.«={2.4.6.8}.M{x|xeJftxeB)

所以M={4.6}.

ttii：B

2.B

【分析】由题意得z=3-4i,再代入式子计算即可得到答案.

【详解】由复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,-4)得z=3-4i

:日=砂+（-4）2=5

..r3-4i（3-4i）（4-3i）

:d+^—=5+^—J-=5+

4+3i4+3i（4+3i）（4-3i）

故选：B.

3.C

【分析】根据条形图和折线图可得出结果

【详解】由条形图可以看出全球电动工具零部件市场规模逐步增加，所以选项A错误；

由折线图可以看出2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度有增有减，所以选项B错误;

由条形图可以看出选项C正确；

由折线图可以看出2017-2018年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大，所以选项D错误；

C

4.B

【分析】根据同角关系式结合条件可得cosa=1,然后根据诱导公式即得.

【详解】sin2a=1-cos2a

:1-cos2a=cosa-1,BPcos2a+cosa-2=0

所以(cosa-1)(cosa+2)=0

:cosa=1或8sa=-2(舍)

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.i3''

所以sina+-7r's-cos(i=-1.

I2)

故选：B.

5.A

11f1I

【分析】根据题中条件，得到a——=1,可得数列；是以3为首项，1为公差的等差数列，结合等差

n1nIn」

数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】数列；a:满足a=[a=an-整理得:---=1（定值）

n13n.ia+1.nn

nn1n

[111

故数列tj是以首项w=3,1为公差的等差数列

5X4

所以S=5x34---x1^25.

52

故选：A.

6.A

【详解】由正态分布的特征得P（3WO）=1-P（己£4）=1-0.84=0.16,选A.

7.B

【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为AA,在ASAA'中，解三角形即可.

【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图

一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为AA',设zASA*=a

圆锥底面周长为2兀，所以AA=ax3=27t,所以a=平

在zSAA，中，由SA=SA=3,得

AA'=<SA2+AA'2-2SASA'coscx

=/2+32一2x3x3x'—"1=3^3

B.

8.A

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【分析】利用诱导公式化简给定等式得tan。二石，再用二倍角余弦公式变形并借助齐次式法即可计算作答.

【详解】依题意，由诱导公式化为sin()=ScosO,于是得：tan()=\/3

.cos28-sin201-tan201-31

mnrthAICOs02(n)=cos2(n)-sm2n0===-----=―一.

sin204-COS201+tan201+32

A

9.B

【分析】先求函数f(x)=X2的图象在x=1处的切线，再根据该切线也是函数g(x)=®L图象的切线，设出切

a

点即可求解.

【详解】由f(x)=X2,得f(x)=2x,则f<1)=2

又f⑴=1,所以函数f(x)MX2的图象在x=1处的切线为y-l=2(x-l),即y=2x-1.

设y=2x-1与函数g(x)-f*的图象相切于点(x,y)

_00

,g'(x)=!L=2,

由g'(x)=e、，可得《0a

ag(x)=-=2x-1,

I°ao

的？俎31个eje

解得2T

故选B.

【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题,已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知

时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.

10.D

【分析】由函数f(x)的图象求出其解析式，再求出数列：a｝的通项即可得解.

n

【详解】观察图象知：函数f(x)周期为T,=22=>T=n

46124

又22-=2如+巴=>中=2同+7|<€2),而《上匕则3=上

1223'123

所以f(x)=sin(2x+2)a=f(")=sin(221+L)=sin(2H+L)

3n66333

数列｛a｝是周期数列，周期为6,其前6项依次为近,0,_贝,与,0步,

则S-0

n22226

2021=6336+5,则S=336S+S=幽.

2021652

故选：D.

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【点睛】结论点睛：周期为n(n=N-,n>1)的周期性数列前n项和S,先求从首项开始的长为一个周期的

前n几项和S,再把n化为n=kn+m(m=N,m<n),则有S=kS+S.

On。00nm

11.A

【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标

设出直线1的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.

【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=—1,设点A(x,y),B(x,y)

1122

依题意x—(—1)=3,解得X=2,显然，直线1的斜率存在且不为0,设其方程为y=k(x—1)

(y=k(x—1)11

由(/消去y并整理得：k2X2—2(k2+2)x+k2=0,则有xx=1,于是得x=丁二$

Iy2=4x122x2

9

因此，|AB|=|AF|+|BF|=x—(―1)+x—(―1)=2

122

Q

所以|AB|二N.

2

A

12.C

【分析】由f(x)的图象判断其单调区间，设a<b<c<d,由己知可得1<a<1<b<3<c<5<d<7且

1

—loga=logb,c+d=10即有a+b+c+d二+b+10,再构造函数应用单调性求范围.

33b

【详解】由f(x)图象知f(x)在0,1、(3,5)上是减函数，在(1,3)、(5,+w)上是增函数，且f(1)=0f(3)=1.

1

：不妨设a<b<c<d,贝I^a<1<b<3<c<5<d<7

3

由f(a)=f(b),得一loga=logb

33

：ab=1,即a」，又f(c)=f(d),得c+d=10

b

:a+b+c+d=」+b+10,令g(b)=b+L+10(1<b<3)

bb

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由对勾函数的单调性可知：g(b)=b+l+10在(1,3)上单调递增

b

.•.g(b)Jl2,4。

l3j

雌C.

【点睛】关键点点睛：画出f(x)草图，根据其单调区间结合已知条件求a,b,c,d之间的关系，进而得

到a+b+c+d关于其中一个参数的函数式，利用函数单调性求范围即可.

13.4

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为丫-2*-2在丫轴截距最小，利用数形结合的方式可得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图所示

当z=2x-y取最大值时，丫=2*-2在丫轴截距最小

由图象可知：当y=2x-z过A时，在y轴截距最小

由,"一~得：卜,即A(2,0).1z=2x2-0=4.

x-Fy-2=0[y=02

故答案为：4.

14.石

【分析】利用直线与平面没有交点，转化为寻找过直线DP且与平面BEF平行的平面ADG,平面ADG与

111

底而ABCD的交线即为所求，再求出线段长就可得到结果.

【详解】取BC的中点G,连接AG.DG.AD,如图所示：

11

E、F分别是棱AA、AD的中点，所以EF〃AD

1111

又因为EFu平面BEF,ADa平面BEF,所以AD一|平面BEF.

11

因为FD//BG,FD=BG

11

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所以四边形FBGD为平行四边形，所以FB〃GD.

11

又因为FB亡平面BEF,GD化平面BEF,所以GD〃平面BEF.

11

因为GDAAD=D,所以平面ADG〃平面BEF.

1111

因为点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，直线DP与平面BEF无公共点

1

所以P的轨迹为线段AG,则|\G卜@+M=店.

故答案为：、/5.

15.3076

【分析】本罡先求NC8D60。，再求CB=60l，最始求.48即可.

【详解】醉：在ABCD中

VZfiCD-75°,Z5DC-45°..,.ZCfiD-60°

在R怙/fiC中，VZACB-30°

JS=C£rsin30'=6076X-=30>/6

A

故苦■案为306.

【点睛】本题考查直角三角形内的边长关系、三角形内角和定理、正弦定理，是基础题.

16.（|（0,吗|

【分析】作出函数f（x）的图形，求出过原点且与函数f（x）（x不0）的图象相切的直线的方程，以及函数

f（x）=河政x<0）的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出tan三MON的取值范围.

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【详解】当x共0时f(x)=W*e2,贝ijf,(x)=0

Gx+eGx+e

所以，函数f(x)在(-w,o]上为增函数;

当X>0时，由y=-J+X2V。可得y2=1+X2,即y2-X2=1

作出函数f(x)的图象如下图所示:

设过原点且与函数f(x)(x共0)的图象相切的直线的方程为

y=kx,设切点为｛J*"--ej

I。ev1J

所以，切线方程为y-占-e2=-_x)

ex0+eexD+e0

将原点坐标代入切线方程可得-X-te2=-(1-X)2JL.

ex0+eo©Xo+e

即21_=e2,构造函数g(x)=J其中x共。，则g,(x)=2x~X2#0

6x0+e©x+e©x+e

所以，函数g(x)=/i在(-w,o]上单调递减，且g(-e)=e2

6x+e

由g(x)=Xo=e2,询军得x=-e,所以k=Vu,；=e+1

0

oex0+eex0+e

而函数f(x)=，!+X2(x<0)的渐近线方程为y=-x

设直线y=-x与y=(e+1)x的夹角为9,设直线y=(e+1)X的倾斜角为a

3nz、

tan「ana-色印)，2

则tan9=tan(IQ-3))|=.3"|-(e+1)+e

1+tan-tana

4

_9

结合图形可知0<tan—MON<1+-.

e

2

故答案为([(0,1+])].

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数f(x)(x共0)的图象相切的直线的方程以及

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函数f(x)=Ji7G(x<0)的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.

17.(1)1；

⑵-今+4k7t,在+4kJL|(k=Z)

⑶最大值为2,最小值为T.

【分析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值;

(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间;

(3)结合(2),利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.

(1)

由f(x)=2sin(

得f(^—■)=2sin(

一当=1;

3

⑵

令2+2U1共lx-2共j+2kn(k=z)

2232

翻［,得-几+4K几共x共5几+4k几(k=Z)

33

故函数f(X)的单调递增区间为-g+4kJl,当4k几］(k=z)；

⑶

］,得工x-小力工，也］

由乂二

2363

结合(2)可知，函数f(x)的单调递增区间为，gIkJl,m+4k几(k=z)

所以函数f(x)在PT?当上单调递增，在p工2几］上单调递减

333

故当X=9时，函数取得最小值，且最小值为f/2)=-1

JO

当*=现时，函数取得最大值，且最大值为f(=2.

3

18.(1)证明见解析

⑵呼

0

【分析】(1)由题意证明CD」平面ABBA,根据面面垂直的判定定理即可证明结论.

11

第13页共19页

（2）求得三棱锥C-ABD的体积V=183,设点B到平面ACD的距离为，表示出三棱锥B-ACD的

11131111

体积V=3⑮d,利用等体积法v,=Y，即可求得答案.

2312

【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知AA」平面ABC.

1

因为CD仁平面ABC,所以%JCD；

因为zABC是等边三角形，AC=BC,且D是棱AB的中点，所以CDJAB.

因为AB,AA仁平面ABBA,且ABcAA=A,所以CD」平面ABBA.

111111

因为CD仁平面ACD,所以平面ACDJ平面ABBA.

1111

（2）连接BD,BC

11

1

由题意可得4ABD的面积S=」4x4=8.

1112

因为“\BC是边长为4的等边三角形，月.D是棱AB的中点，所以CD=2＞行.

由（1）可知CDJ平面ABBA,则三棱锥C-ABD的体积V=-S.CD=工西2点=述

111113133

因为D是棱AB的中点，且AB=4,所以AD=2,则AD=JZ75二函.

1

由（D可知CD」平面ABBA,AD仁平面ABBA,贝ijCD」AD

111111

1

X2

从而4ACD的面积S=2

12

设点B到平面ACD的距离为，则三棱锥B-ACD的体积V=1S.d=2^d.

11112323

因为V=Y,所以乎d=零，解得~=挛

12335

即点:B到平面ACD的距离为吧.

115

19.(1)0.28;

第14页共19页

⑵分布列见解析，0.6;

(3)答案见解析.

【分析】(D由频率分布直方图可得社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数，计算对

应频率即可得出概率；

(2)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,求出分别对应的概率，列出分布列，即可求出期望值；

⑶从样本的男生中随机抽取3人，这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率小于9

C3

60

由此可从不同角度作答.

(1)

首先由分层抽样可得100名学生中，男生人数为100X雪=60,女生人数为100X%=40.

30003000

又由直方图中所有小长方形面积之和为1,可得a=0.03.所以男、女生中社区志愿服务时间大于等于10小

时并且小于20小时的人数分别为60*0.03x10=1840x0.025x10=10.

由此可估计从全年级学生中随机选取一位学生，该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时

的概率为——=0.28.

100

(2)

由题可知X的所有可能取值为0,1,2.

i2A=”所取男生的社区志愿服务不小于30个小时”，B="所取女生的社区志愿服务不小于30个小时”.

则p(A)=0.25P(B)=0.35

故P(X=0)=P(A)P(Bj^0.65x0.75=0.4875

P(X=1)=P(A)P(B)+P(A)P(B)"0.65x0.25+0.35x0.75=0.425

P(X=2)=P(A)P(B)=0.35x0.25=0.0875.

所以X的分布列为

X012

p0.48750.4250.0875

E(X)=xp+xp+xp=0w0.4875+1^0.425+2K0.0875=0.6.

112233

(3)

第15页共19页

假设本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数与上学期相比没有减少.即上学期这60位

男生中社区志愿服务小于10小时的人数不超过60人0.005人10=3.则从样本的男生中随机抽取3人，调查发

现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率不超过号59人或人杼同E

60

答案I可以认为本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.这是一个

小概率事件，但是却发生了，由此可以推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相

比上学期减少了.

答案2不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.虽然这是

一个小概率事件，但是仍有发生的可能，因此不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小

时的人数相比上学期减少了.

20.⑴一-鼠a想。

一e

⑵见解析

Inv

【分析】(D转化为_a=:二有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明lnx+Inx>2,构

x12

造函数即可证明.

【详解】(1)由题可知，匕&)=小*+2*,令£,6()=0,即仙*+2*=0

即_a=—有两个根X,X

X12

人/、Inx/、1Inx

令g(x)=—，贝mijlg,(x)=~

XX2

由g,(x)>0得,1_Inx>0,解得0想x想e；由g,(x)想0得,1」nx想0,解得x>e

所以g(x)在(0,e)单调递增，(e,+w)单调递减

f(1)=0,X>6时f(x)>0

所以要使_a="x有两个根.则0想_a想f(e)=?

xe

解得0想_2想f(e)=」,所以--抬a想0.

ee

(Inx

_a=—1—

।x(_ax=Inx

(2)由⑴可知(।,且1想x想e想x,所以〈ii,

12axlnx

|a9与一l-2=2

x2

要证a+想0,只用证a(x+X)+2想0

X+X12

12

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等价于证明一a(x+x)>2

12

,、.Inx—Inx

而一a(x—x)=Inx—Inx,即—a=2k

X-X

21

Inx——Inx2

故等价于证明21

X-XX+X

2121

x2(x—x)

即证In/〉x2^^1.

121

,X

令t=交则t>1

1

于是等价于证明Int>里0成立

.n小..2(t—1)

设g(t)=lnt—t>1

g，(t)=1—4二。—I,>0

t(t+1)2t(t+1)2

所以