2023-2024学年百校联盟高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2023-2024学年百校联盟高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设正项等差数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足S6-2§3=2,则，的最小值为

A.8B.16C.24D.36

2.在一个数列中，如果V“eN*，都有。/“+必,+2=左（攵为常数），那么这个数列叫做等积数列，攵叫做这个数列的

公积.已知数列｛4｝是等积数列，且q=l,g=2,公积为8,则6+4+…+%20=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

3.设函数〃x）=ln（l+W）—不二，则使得成立的x的取值范围是（）.

L十X

A.（1,+℃）B.（^»,-l）U（l,+co）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

4.点O在AABC所在的平面内，===,q=l,AO=2AB+MC（/L,//GR）,且

42-〃=2（〃w0）,则陷=（）

A.-B.EC.7D.J7

32

5.已知加，〃是两条不重合的直线，«,夕是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）

A.若e〃/，则M〃/或加<=4

B.若加〃孔,mHa,nczia9则几〃a

C.若m_Ln,m.La,nL/39则c_L/?

D.若加mVa,则〃〃a

22

6.已知双曲线C:三-斗=l（a>0,6>0）的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M

ab

点，M尸的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）

A.75-1B.y/2C.6D.75

7.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装()

(附：1.414,73«1.732,75»2.236)

A.22个B.24个C.26个D.28个

8.已知向量若(a+“J_(a—",则实数机的值为()

A.-B.且C.±-D.+—

222~2

Ilo2；oxl,x>0

9.已知函数/(x)=F2，方程/(%)-口=0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝!1“函

x2+2x+2,x<0

数/⑺=/(x)-依("£>)有两个零点”是，V>L，的().

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7T

10.已知函数/(X)=sin2x+sin2(x+—),则/(x)的最小值为()

A.-B.-C.—D.—

2442

11.波罗尼斯(古希腊数学家，的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥

曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>

0,且kKD的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆3+X=1(a>b>0),A,B为椭圆的长

IMAI

轴端点，c,D为椭圆的短轴端点，动点M满足匕岛=2,△MAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,

|MB|

则椭圆的离心率为()

A叵R6「也A/3

•-------15••--------N\J•

3322

2

12.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x+——3.若则/(x)V0的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(-a),-2]o[-1,0]

C.(f—2]3—1,0)D.2)5—1,0]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.点兄是曲线y=31n%+%+左(ZreR)图象上的一个定点，过点4的切线方程为4x—，-1=0,则实数左的值

为.

14.函数f(x)=¥x_sinx在0,|上的最小值和最大值分别是.

15.某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(〃Q2),且P(〃-3b<Z<〃+3b)=0.9974.某用户购买了10000件

这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(〃-3b,〃+3b)之外的产品件数为.

16.某种牛肉干每袋的质量，"(像)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为NR,。?)，

尸(1.9张弧2.1)=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9依的袋数大约是袋.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

37r1

17.(12分)已知在平面四边形ABC。中，NA3C=—,/止，4。,45=1245。的面积为一.

42

(1)求AC的长；

(2)已知C£)=姮，ZADC为锐角，求幻"NADC.

2

18.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXCXD,家长猜测的序号依次为其中

222

XAXBXCXD和yAVByqyo都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(XA-JA)+(XB-JB)+(xc-Jc)+

(切-")2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

19.(12分)已知点P(0,l),直线y=x+r(f<0)与抛物线/=2x交于不同两点A、B,直线出、依与抛物线

的另一交点分别为两点。、D,连接CD,点P关于直线CD的对称点为点Q,连接AQ、BQ.

(1)证明：AB//CD.

(2)若AQAB的面积SN1—/,求/的取值范围.

20.(12分)已知矩形ABC。中，AB=2BC=4,E,F分别为A5,CD的中点.沿EF将矩形AEFD折起，使

ZAEB=135°,如图所示.设P、。分别为线段OR,的中点，连接PQ.

(1)求证：PQ〃平面DEB；

(2)求二面角A—BE—。的余弦值.

21.(12分)AABC的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,已知(。―匕丫=c2—而.

(1)求角C;

(2)若4ccos(A+"1+6sinC=0,a=l,求AABC的面积.

22.(10分)在四棱椎尸―ABCD中，四边形ABC。为菱形，PA=5,PB=5,A3=6,PO1AD,O,E

分别为AD,AB中点.440=60。.

(1)求证：AC±PE；

(2)求平面POE与平面PSD所成锐二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

方法一：由题意得$6-253=(56-$3)-邑=2,根据等差数列的性质，得品-56,56-风,53成等差数列，设§3=无(尤>。)，

3a2(3a)2(fl222

而C0一「cC一〉m.1s-s-7++a9)_(S9-SJ(%+4)1616。

贝!I§6-S3=x+2,S—S=x+4,贝!j------------------------=-------=x-\----1-8>2/X------F8=16,

96%3%q+%+/S3xxAvx

当且仅当x=4时等号成立，从而火的最小值为16,故选B.

a2

方法二：设正项等差数列｛4｝的公差为d,由等差数列的前〃项和公式及S6-2邑=2,化简可得

2

「6x5.3x2,,"即［=则豆=3@+64)2=双+3；3-也十八2鼠•也+8=16,当且

6%H———d2(3%H———d)=2,

%。2。23〃2V3a?

仅当3%=普，即名=±时等号成立，从而年的最小值为16,故选B.

343%

2、B

【解析】

计算出名的值，推导出4+3=4(〃eN*),再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

由题意可知4。“+避“+2=8,则对任意的〃eN*，4/0，则qa2a3=8,，%=---=4,

d-yCl?

aaaaaaG<3<

由44+14+2=8,得n+in+2n+3=8,..nn+in+2=n+ln+22z;+3，…°n+3=%，

2020=3x673+1)因此，％+的■1---Fa0o2o=673(4+4+%)+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

3、B

【解析】

由奇偶性定义可判断出了(X)为偶函数，由单调性的性质可知/(九)在［0,+8)上单调递增，由此知〃光)在(7,0］上

单调递减，从而将所求不等式化为国>1,解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：定义域为R,

/(-x)=ln(l+|-x|)--^^=ln(l+|x|)-^-F=/(x)).•./(可为偶函数，

当工之0时，/(x)=ln(l+x)---

y=In(1+x)在［0,+8)上单调递增，y=9r在［0,-H»)上单调递减，

・••/(九)在［0,+8)上单调递增，则/(九)在(-8,0］上单调递减，

由/(%)>/()得：|尤|>1,解得：x<—1或尤>1,

\》的取值范围为(f,—l)U(l,y).

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的

作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

4、D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到彳=:，〃=一，再根据BC=AC-计算得到答案.

63

【详解】

由网=网=函可知,点。为AABC外心,

-121-21_

则=2,AC-AO=—AC=—,又AO=XAB+〃AC,

2

AO-AB=AAB+piAC-AB=42+//AC-AB-2,

所以21①

AO.AC=XAB.AC+〃AC=AAB-AC+//=—,

因为4X—〃=2,②

54

联立方程①②可得2=二，〃=彳，ABAC=-b因为BC=AC-AB，

63

所以BC?uAC,+AB?—2AC-AB=7，即^。卜行-

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

5、D

【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断a,£所成的二面角为

90°;D中有可能〃ua,即得解.

【详解】

选项A：若根〃e,aH,根据线面平行和面面平行的性质，有mH(3或mu/3,故A正确；

选项B：若加〃〃，mHa,nsa,由线面平行的判定定理，有〃〃a,故B正确；

选项C：若〃7」〃，m_La,nr/3,故a,£所成的二面角为90°,则。故C正确；

选项D,若〃z_L〃，mLa,有可能“ua,故D不正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.

6、A

【解析】

/7+fh

设M(a,b),则知尸的中点坐标为(亍,万)，代入双曲线的方程可得a/,c的关系，再转化成关于的齐次方程,

求出工的值，即可得答案.

a

【详解】

22

双曲线C:二-斗=1(。>0,6>0)的右顶点为A(a,0),右焦点为F(c,0),

ab

M所在直线为x=a,不妨设M(a,b),

a+ch

：.MF的中点坐标为(亍,5).代入方程可得

1

；•("+?=工,e2+2e—4=0»••e—y/5-1(负值舍去).

4a24

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意

构造。，c的齐次方程.

7、C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为5后cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5V2(H-l))cm,

得到不等式10+5应(〃-l)W100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为50cm,每装两个球称为“一层”，这样装几层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+572(n-1))cm,

若想要盖上盖子，则需要满足10+5&(”-1)<100,解得〃W1+9后。13.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

8、D

【解析】

由两向量垂直可得(a+b>(a-b)=0,整理后可知，2-愀(=0,将已知条件代入后即可求出实数心的值.

【详解】

解：+.,.(a+Z?).(a_Z?)=0,即,「_卜『=0,

将恸=1和+根2代入，得出加2=(,所以加=±#.

故选:D.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0,

继而结合条件进行化简、整理.

9、A

【解析】

作出函数f(x)的图象,得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

作出函数f(x)=]iiog2xi,A>0的图象如图，

x+2^+2,x<0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是y=入与y=f(x)在(2,4]上有2个交点，则k的最小值为|；

设过原点的直线与y=log2X的切点为(Xo，log2Xo),斜率为一；"彳，

则切线方程为yTog?x=-Xo),

x0ln2

把(o,o)代入，可得—log,Xo=—工，即x0=e,.•.切线斜率为工，

In2eln2

；.k的取值范围是

12eln2)

...函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有两个零点”是“k>!”的充分不必要条件，

故选A.

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

10、A

【解析】

先通过降暴公式和辅助角法将函数转化为/(x)=l-gcos[2x+q),再求最值.

【详解】

已知函数/(X)=sii^x+sin1(xH—),

1-cos2x

2

1I(cos2xA/3sin2x>11(

=1——----------------------=1——4cos2x+—,

2(22J2I3j

因为cos[2x+W]e[-1,1],

所以/(x)的最小值为;.

故选:A

【点睛】

本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11、D

【解析】

求得定点M的轨迹方程(x—阴]+>2=3式可得Lx2ax3a=8,L><2人义,4=1,解得a,b即可.

(3)92323

【详解】

MA\

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).•动点M满足=2,

MB\

则J(x+a『+y2=2"a『+y2=2,化简得(x—日了+y2二牛.

■:AMAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,

—x2ax—<2=8,—x2bx—tz=1,解得a=^/^,b=，

23232

.•.椭圆的离心率为Jl—£=走.

\a22

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

12、B

【解析】

利用函数奇偶性可求得了(九)在尤<0时的解析式和/(0),进而构造出不等式求得结果.

【详解】

/(%)为定义在R上的奇函数，.•./(。)=0.

/、2

当x<0时，一4>0,.../(—%)=—%------3,

x

2

/(X)为奇函数，.・./1(%)=-y(-x)=x+—+3(%<。),

x<0

由12得：2或—IWxvO；

XH----F3V0

综上所述：若x<0,则/(X)W0的解集为(—8,—2][-1,0].

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在x=0处有意义

时，/(。)=。的情况.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点4横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得左.

【详解】

设£）（羽y），

33

由题意y'=—+1,，一+1=4,x=l,y=4xl—1=3,即为（1,3）,

XX

••・3=31nl+l+左，k=2.

故答案为：L

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.

■L、-----------------1

824

【解析】

求导，研究函数单调性，分析，即得解

【详解】

由题意得，/（X）=^--cosx＞

令r（x）＞0,解得f＜x,g,

42

jr

令ra）＜o,解得o,,x＜一.

4

「打、（7171

丁•/（九）在。，7上递减，在7彳递增.

L4；142J

卜亨-冬

而〃0）=0"图=与-1，

故了（尤）在区间10,父上的最小值和最大值分别是交71A/2屈兀

L2J8

故答案为：叵—@,&一1

824

【点睛】

本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

15、26

【解析】

直接计算10000X(1—P(〃—3b<Z<〃+3司))，可得结果.

【详解】

由题可知：P(〃—3CT<Z<〃+3(T)=0.9974

则质量指标值位于区间(〃-3b,〃+3。)之外的产品件数：

10000x(1—P(〃—3。<Z<〃+3为)=10000x0.0026=26

故答案为：26

【点睛】

本题考查正太分布中3b原则，审清题意，简单计算，属基础题.

16、1

【解析】

根据正态分布对称性，求得质量低于L9总的袋数的估计值.

【详解】

1-0Q8

由于〃=2,所以p(m<1.9)=二一=0.01,所以100袋牛肉干中，质量低于L9依的袋数大约是100x0.01=1袋.

故答案为：1

【点睛】

本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)逐；(2)4.

【解析】

(1)利用三角形的面积公式求得忸C，利用余弦定理求得|AC|.

(2)利用余弦定理求得cosNC钻，由此求得进而求得s沅NADC,利用同角三角函数的基本关系式求

得tan^ADC.

【详解】

(1)在ABC中，由面积公式：

i5i

SABC=-x\AB\x\BC\xsmZABC=^-x\BC\=-

.•.忸q=g

在ABC中，由余弦定理可得：|AC「=|A3『+忸21ABi•忸C・CQSNA3C=5

.-.|AC|=^

(2)在ABC中，由余弦定理可得：cosNCAB=四I一|如=正

2\AB\-BC\5

sinADAC=sin(NDAB-NCAB)=sinf%-ACAB)

2J5

...sinZDAC=cosZCAB=

5

在.ADC中，由正弦定理可得:

四3,・M比=辞

sinZADCsinADAC

ZADC为锐角

cosZADC=Vl-Sin2ZADC=-

17

tanZADC=4

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.

18、(l)(i)[(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

O

【解析】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有禺=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三轮游戏结果

都满足“XV4”的概率为工7<上；，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为mXB,xc,"为1234的情况，家长的排序有『=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

•••家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=—=~.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A，B,C,O按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,xc,切为1423的情况，四种食物按1234的排列为AC03,

再研究yAyBycyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

.••他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为9.

O

5)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(D可知，在一轮游戏中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为(3)3=」<亮，

这个结果发生的可能性很小，

.•.这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19、(1)见解析；(2)f—°05——.

【解析】

C21yl、

(1)设点A+，乂、B彳,%，求出直线K4、P5的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利

I2J127

用直线A3、CD的斜率相等证明出A6〃CD；

(2)设点P到直线A3、CD的距离分别为4、4,求出4,利用相似得出&,可得出AQAB的边A3上的高,

并利用弦长公式计算出即可得出S关于/的表达式，结合不等式S21-7可解出实数/的取值范围.

【详解】

(\/2、2(0

(1)设点A个，M、B咚,%，则％=

(27(27

22

直线的方程为:X-----%-----y--,

2(乂-1).2(%-1)

X=V-

由＜2(%-1)2(%-1),消去X并整理得去一y+^—=0,

X—1

y1=2x

.

由韦达定理可知，ycyA=ycyx=•・•先=^7,

%一1x—i

(2、

代入直线AP的方程，得％=解得C

2(%-1广2(%T『‘必，

同理，可得。%

2(%-if'%，

%%

为-X=2=]

%—1,「I2

1

%।%(—%

2

2(%-琰2(%-1)2%—1%—1

22(%”]

k=______--

，%+%=2,二为=2—%代入得CD2-X।X-2+X2^-2

(2-％)-1Ji-1%一1

因此，AB//CD.

(2)设点P到直线46、CD的距离分别为4、d2,则4

4PA_PB力_陷|PB|

由(1)矩ABIICD,

4PCPD'"d；~\PC\'\PD\

...附=7^/，|PC|=#^?%，，松弋=(X-1)2，

\PB\2

同理‘得|卬—"1'=5+%)+1]

y=x+t,

由，°，整理得y2—2y+2r=0,由韦达定理得为+%=2,%%=2乙

、y=2x

(1-t2

.早=(2一)

设点Q到直线AB的高为h,则h=|4—24|=五;I2”僮+1|,

\AB\=TiTF-J(%+%)-%%=23•^/iT2^,

:.S=-\AB\-h=义君'药"+1|=3僮+恒一,

211

3t3

r<0,解得/W——，因此，实数/的取值范围是一'-q.

2I2J

【点睛】

本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线

的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.

20、(1)证明见解析(2)旦

3

【解析】

(1)取OE中点R,连接刊?，⑻?可知ADEF中,PR//FE且PR=-FE,^Q是BC中点，可得则有BQ//PR且

2

8。=/嗯，即四边形BQPR是平行四边形，则有PQ〃BH,即证得PQH平面DEB.

(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：加=卜0,0』)，”=(0,0,1)然后利用空间向量的相关结论可求得二

面角A—BE—D的余弦值.

【详解】

(1)取£比中点R,连接PR,BR,

则在ADEF中，PR//FE,且PR」FE,

2

又Q是中点，所以BQ=工=

22

而且BQ//EF,所以BQ^PR,

所以四边形8QPR是平行四边形，

所以PQ//BR,

又PQ(Z平面D£B,BRu平面DEB,

所以PQ〃平面庶B.

(2)在平面ME内作EG，BE交AB于点G,以E为原点，EG,EB,EF分别为x,y,x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点坐标为E(0,0,0),5(0,2,0),。(、历,—0,2b

所以砂=(0,2,0),ED=(V2,-V2,2),

设平面BED的一个法向量为m=(%,y,z),

则<wE£>=0,即<V2x-V2y+2z=0

m•EB-0,y=0

取Z=l,得根=卜友,0,1),

又平面ABE的一个法向量为n=(0,0,1),

/1rr\m-Yi16

所以3