2024届天津四中数学高二年级上册期末质量检测模拟试题含解析

2024届天津四中数学高二上期末质量检测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知曲线W：&2+）+3=],则曲线W上的点到原点距离的最小值是。

B④

2

C.2-72D.V2-1

2.1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔

子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔

子,假定在不发生死亡的情况下,如果用凡表示第n个月的兔子的总对数，则有F”=4-+F„_2（n>2）,片=8=1.设

，，工为偶数

数列｛斯｝满足:则数列｛”“｝的前36项和为（

“0,"为奇数')

A.11B.12

C.13D.18

3.将一个表面积为484〃cm2的球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）

A.121cm3B.484cm3

C.10648cm3D.1331cm3

4.设x,yeR,命题“若一+;/>2,则d>1或y2〉l”的否命题是（）

A.若X2+y2<2,贝!|九2Vl或/〈I

B.若一+〉2>2,贝！或y2Vl

C.若f+y2V2,则若W1且>41

D.若炉+/>2,则fW1且Vwi

5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①与平行；②CN与BE是异面直线；

③CN与成60。角；④与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的序号是

A.①②③B.②④

C.③④D.②③④

6.如图，空间四边形Q45c中，Q4=q,OB=b，OC=d，且OM=2M4，BN=NC,则()

22,1_

A.-aH—b-\—cL

332222

c.二/+LD.—

322232

7.过抛物线y2=4x的焦点厂的直线/与抛物线交于尸。两点，若以线段P。为直径的圆与直线尤=5相切，则|PQ|()

A.8B.7

C.6D.5

8.已知5〃为等比数列｛4｝的前〃项和，54=10,%=70,则$8=()

A.30B.-20

C.-30D.30或一20

9.圆G：/+>2=1与圆。2：(%—3)2+(y+4)2=36的位置关系是()

A.内切B.外切

C.相交D.相离

22

10.已知椭圆C：L+匕=1的左、右焦点分别为孙，尸2,过点尸I作直线/交椭圆C于M,N两点，贝！|EMN的

43

周长为()

A.3B.4

C.6D.8

11.在ABC中，5=30。，BC=2,AB=y/j,则边AC的长等于()

A.V3-1

C.&D.2

+1

12.已知数列｛4｝满足q=1,a〃+]=2a“+l(〃eN),记数列＜a“'的前〃项和为北，若对于任意

+2)(。计1+2),

〃cN*，不等式上〉北恒成立，则实数"的取值范围为()

1

A.-，+0°

2

1D.j,+8

C.j,+oo

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.双曲线L—乙=1的左焦点到直线x+2y—7=o的距离为

45

2

14.已知双曲线＞2=1的两个焦点分别为耳，心，P为双曲线上一点，且/耳尸玛=90°,则p片的值为

15.双曲线4/一＞2+64=0上的一点「到一个焦点的距离等于1,那么点尸到另一个焦点的距离为.

16.如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中OR=O'C'=1,则三角形AB'C的面积

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD=4,PDLCD,PD±AD,底面A3CO为正方形，M、N、。分别

为40、PD、5c的中点

(1)证明：面如。〃面MNC；

(2)求二面角M-NC-O的余弦值

2

尤2v1

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。：去+方=1(。〉人〉0)的左、右焦点分别是耳，工，离心率e=Q,

请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点，，|}②以点《为圆心，3为半径

的圆与以点工为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(氏熊从①②中选择一个作为已知)

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点心的直线/交椭圆C于M,N两点，点N关于x轴的对称点为N',且B，M,N'三点构成一个三角

形，求证：直线肱V'过定点，并求△gMN'面积的最大值.

19.(12分)已知函数〃x)=aln(x+l)+gx2—x(”为非零常数)

(1)若/(x)在X=1处的切线经过点(2,ln2),求实数〃的值；

(2)y=/(x)有两个极值点国,巧.

①求实数。的取值范围；

②若不<々，证明：2/(%2)-%1>0.

20.(12分)如图，在四棱锥中，PA±^ABCD,ABLBC,BC//AD,AB=BC=1,AD=2,AP=3.

(1)证明：平面PC。，平面B4C；

(2)求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.

21.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S"，若"=24-1.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设a=21og24—S〃，求数列｛%｝的前几项和

22.(10分)为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数

据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

(1)在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间［1000,1500)内的概率;

(2)该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】化简方程+程+|y|=l,得到f=l一2|y|,求出羽丁的范围，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可

得到原点距离的最小值

详解】解：后17+|y|=1即为

+/=l-lyl，

两边平方,可得X，+V=1+—21y|,

即有V=l-2|y|,则—

22

作出曲线W的图形，如下：

则点。与点(0,；)或(0,-g)的距离最小，且为:

故选：A

【解析】由奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数可知，数列｛£,｝中尸3,尸6,F9,Fn,L,用"为偶数，其余项都为奇

，，工为偶数

数,再根据a=<即可求出数列｛丽｝的前36项和

n0,工为奇数

【详解】由奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数可知，数列｛EJ中马，风,歹9,F⑵L,尸3“为偶数，其余项都为奇

数，

二前36项共有12项为偶数，

二数列｛%｝的前36项和为12x1+24x0=12.

故选：B

3、C

【解析】求出球的半径，要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱

长等于球的直径，从而可得出答案.

【详解】解：设球的半径为R,贝!IS=4〃H2=484〃，得R=H,故该球的半径为11cm,

若要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即

22cm,所以这个正方体盒子的最小体积为匕M=223=10648cm3.

故选：C.

4、C

【解析】根据否命题的定义直接可得.

【详解】根据否命题的定义可得命题“若好+/>2,则必>1或/〉1”的否命题是若/+y2<2,贝！］/<1且

y2<l,

故选：C.

5、C

【解析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.

【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：

由图可得：8加,瓦>为异面直线，CN与仍不是异面直线，

OM.BN是异面直线，故①②错误，④正确.

连接AN,AC,DM,BN,BE,贝！）_4VC为等边三角形，

而BM/IAN,故NANC或其补角为CN与91所成的角，

因为44NC=60。，故CN与所成的角为60。，故③正确.

综上，正确命题的序号为：③④.

故选：C.

【点睛】本题考查正方体的平面展开图，注意展开图中的点与正方体中的顶点的对应关系，本题属于容易题.

6、C

【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.

2211--

【详解】因为睦V=QN—QM，又因为OM=§OA=§a,ON=-(OB+OC)=-(b+c),

21-1-

所以2W=——a+-b+-c.

322

故选：C

7、C

【解析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点尸的弦尸。为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段|P0|

的长.

【详解】抛物线/=4%的焦点尸(1,0)，准线尤=—1

取P。中点"，分别过P、Q、〃作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M.E

则四边形NPQ0为直角梯形，HE为梯形中位线，|H©=g(|MQ|+|NP|)

由抛物线定义可知，』四=|尸耳,则|PQ|=MQ|+|NP|

故|HE|=g|PQ|,即点H到抛物线准线的距离为归。|的一半，

则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段PQ为直径的圆与直线x=5相切,

则以线段尸。为直径的圆的直径等于直线x=5与直线尤=-1间的距离.

即闸=5-(-1)=6

故选:C

8、A

【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.

【详解】由几=70,54=10得工2彳354,则等比数列｛%,｝的公比

1-q1_

=7,令q"=/'〉()，则-=7即1+，+/=7,

i—q'1-t

解得，=2或—3（舍去），/=2,则58=54+[454=30

故选:A

9、A

【解析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.

【详解】圆G圆心0)，半径4=1，圆圆心(3,-4)，半径4=6,两圆心之间的距离d=732+(-4)2=5=马f，

故两圆内切.

故选：A.

10、D

【解析】由KMN的周长为/建w=|MM+|W|+|A51=1肛|+|曾|+|明|+|八骂结合椭圆的定义，即可求

解.

22

【详解】由题意，椭圆C:土+乙=1,可得/=4,即。=2,

43

如图所示，根据椭圆的定义，可得6MN的周长为/刃w=|MN|+|A超|+|八州|

=\MFl\+\MF2\+\NFl\+\NF2\=2a+2a=4a=8

故选：D.

【解析】利用余弦定理即得

【详解】由余弦定理,^AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=3+4-2s/3x2x^-=l,

解得AC=1

故选：B.

12、C

【解析】由已知得%+i+1=2(%+1),根据等比数列的定义得数列｛4+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，由此

求得乙，然后利用裂项求和法求得进而求得上的取值范围.

【详解】解：依题意4+J+1=2(%+1),当〃=1时，4=1,则q+l=2,

所以数列｛4+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，%+1=2",即4=2"-1,

、4+1=2〃=______]

所以(%+2)(%+2厂(2〃+1)(*+1)—FTP2向+/

所以+?_+?_

“2】+122+122+123+12"+12,!+1+1

---1-------1--------1

—32"+1+13’

所以左的取值范围是

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、26

【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.

22

【详解】因为双曲线的方程为亍-方=1,设其左焦点的坐标为(-G。)，

故可得02=4+5=9,解得c=3,故左焦点的坐标为(—3,0),

则其到直线x+2y-7=。的距离d=存=.

故答案为：2M.

14、2

【解析】求得双曲线的a,b,c,不妨设尸为双曲线右支上的点，\PFx\=m,\PF2\=n,利用双曲线的定义、余弦定理

列出方程组，求出mn即可.

2

【详解】双曲线土一丁2=1的。=2,b=lfc=6，

不妨设P为双曲线右支上的点，\PF!\=m,\PF2\=n9

则加一〃=2a=4,①

由余弦定理可得4H=疗+/_2加cos90°=苏+/=20,②

联立①②可得w=2

故答案为：2

?,包

15、【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程M-E=1，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点P到两个

树！崎

焦点的距离之差的绝对值为16,即可求出点P到另一个焦点的距离为17.

考点：双曲线的定义.

16a1

1b、---

4

【解析】根据直观图和平面图的关系可求出O'A,进而利用面积公式可得三角形AB'C'的面积

【详解】由已知可得04=2X3XL=Y3

222

则S—；x2x#x］邛

故答案为：叵

4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明过程见解析

⑵&

3

【解析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.

【小问1详解】

因为M,N是DA,PD的中点，

所以MN//AP,

因为上4u平面9Q,肱VcZ平面如Q,

所以MN//平面PAQ

因为四边形ABCD为正方形，且。为中点，

所以MV/CQ,且M4=CQ,

所以四边形M4QC为平行四边形，

所以CM//AQ,

因为QAu平面9。，平面9Q,

所以MC〃平面PAQ,

因为肱VMC=M,

所以面R4Q〃面MNC

因为PD_LC。，PD1AD,ADLCD

故以O为坐标原点，ZM所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，O尸所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

则M(1,0,0),C(0,2,0),N(0,0,2),D(0,0,0)

设平面NMC的法向量为“=(x,y,z),

则MC-n=-x+2，y=0，

MN-n=-x+2z=Q

令％=2得：y=z=l,

所以〃=(2,1,1),

平面NDC的法向量为m=(1,0,0),

m„/\(2,1,1).(1,0,0)76

贝!1cos(m,n)=-——,7v-=——，

\/V47T7T3

设二面角M-NC-O的大小为9,显然夕为锐角，

则cos0-

3

（2）证明见解析，正

4

cl

a2

1Q

【解析】（1）若选①，则由题意可得/+/=1,解方程组求出从而可求得椭圆方程，若选②，2a=4,

cr=b~+c2

再结合离心率和/=/?2+02求出//2,从而可求得椭圆方程,

（2）由题意设直线的方程为x=9+1,设M（%，x）,N（x2,y2）,N'（x2,-y2）,将直线方程代入椭圆方程中，

消去了,再利用根与系数的关系，表示出直线肱V'的方程，令y=。，求出了,结合前面的式子化简可得线W过的

定点，表示出△KMN'的面积，利用基本不等式可求得其最大值

【小问1详解】

19a2=4

若选①：由题意知,一+^=1,

"2=3

42=b"+C-

22

所以椭圆c的方程为L+匕=1.

43

若选②：设圆《与圆工相交于点Q.

由题意知：|。耳|+|QE|=3+1=4.

又因为点。在椭圆上，所以2a=4,，a=2.

C1

又因为e=———,**•c=1,**•Z?2=3•

a2

22

所以椭圆C的方程为工+乙=1.

43

【小问2详解】

由题易知直线MN斜率存在且不为0,

因为玛（1,0）,故设直线MN方程为x=9+1，

x=ty+l

2

设N（x2,y2）,Ly2

------1------二1

143

.•.（3/+4）/+6力—9=0,

.-6t-9

••川+为=门'%为二口’

因为点N关于x轴对称点为N',所以N'（%,一%）,

所以直线MM方程为y+%=Vt（xf），

令y=。，必士包

X+%X+%

又再=伙+l,x2=佻+1,

2fM-9-⑶

、=20V2+%+%=2^+1=3?+4+I=7+1=3+1=4.

%+%为+%—-6f

3/+43d+4

所以直线MN'过定点E（4,0）,

S

^F2MN'=gx|.E|x|%+%|：J

36\t\36,3G

23产+42..II44.

11R

II406

当且仅当3卜|=百，即/=±生时，取等号.

H3

所以△BMN'面积的最大值为士叵.

4

19、(1)a=l

(2)①(0,1)；②证明见解析

【解析】小问1先求出切线方程，再将点(2,ln2),代入即可求出。的值;

小问2的①通过求导，再结合函数的单调性求出«的取值范围；

②结合已知条件，构造新函数即可得到证明.

【小问1详解】

r(x)=%+x-i

Ji十1

尸⑴=f，"l)=aln2—g

...切线方程为y-aln2+1=|(x-l),

将点(2,In2)代入解得：a=l

【小问2详解】

aJ+(〃—1)

①尸(x)=+x-l=,X>—1

x+1X+1

当a—1之。时，即时，/'(X)之0,/(x)在(-1,+oo)上单调递增；/(x)无极值点，

当0<。<1时，由/'(x)=0得，=-yjl-a,x2=y/l-a,

故/(*)在(-1,上单调递增，在(-4^9,Ji心')上单调递减，在(JiF',+oo)上单调递增，f(x)

有两个极值点；.

当a<0时，由/'(尤)=0得，x0=>Jl-a,

f(x)(-1,JT二')上单调递减，在(jn,+<»)上单调递

此时，/(X)有1个极值点,

综上，当Ovavl时，/(x)有两个极值点，即％=-。1一。,大2=d1-a,即。的范围是(0,1)

②由(2)可知%1+%2=。，%%2=〃-1，又由Ovavl可知一1<玉<。,。<犬2<1,

可得项=-x2,a=1-xf.

要证27(尤2)—玉>°，即证+N>。，即证2aln(%2+1)+%；—々>0，

即证2(1—%2)ln(%2+1)+%；-%〉0

即证2(l+%2)ln(%2+1)-％2>。

令函数，(%)=2(l+x)ln(x+l)-%>。，xe(0,1)

f(x)=l+21n(x+l)>0,故/(x)在(0,1)上单调递增，

又£(0)=0

所以《％)>0在%«0,1)上恒成立,即2(1+%2)m(％2+1)—％2>0

所以2/®)—%>。.

20、(1)证明见解析

⑵组

22

【解析】(1)过点C作于点H,由平面几何知识证明AC，8,然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而

得线面垂直，然后可得面面垂直；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角

【小问1详解】

在梯形ABC。中，过点C作于点

由AB_L5C,BC//AD,AB=BC=1,AD=2,可知CH=AB=1,AH=HD=1,AC=+BC1=2»

CD=y/CH2+HD'=72-

所以AC2+C02=4+A£)2,即ACLCD,①

因为APL平面ABC。，CDu平面ABC。，所以CDLAP,②

由①②及ACAP=A,AC,CPu平面Ric,得CD,平面B4C.

又由CDu平面PCD,所以平面PCD_L平面PAC.

【小问2详解】

因为AB,AZ）,AP两两垂直,所以以A为原点，以4B,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3),PC=(1,1,-3),PD(0,2,-3).

设平面PCD的法向量为n=(尤,y,z),

,n-PC=x+y-3z=Q

则《