2022-2023学年广西南宁市高二（下）调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市高二（下）调研数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知4（3,2）,6（-4,1）,则直线4B的斜率为（）

A.B.iC.-7D.7

2.如图，空间四边形CMBC中，瓦？=五，南=瓦元=乙点M在面上，且。M=2MA,点N

为BC中点，则标=（）

A.演-软+吴B.-|a+lK+lc

C.5+颉一吴D.软+软一吴

3.已知的为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点4到C的焦点的

距离为12,到y轴的距离为9,则「=

A.2B.3C.6D.9

4.已知在等差数列｛即｝中，a4+a8=20,a7=12,则&4=（）

A.12B.10C.6D.4

5.点（3,0）到双曲线曾一卷=1的一条渐近线的距离为（）

A-|BIC-|

6.己知平面向量落方满足同=1，历1=2，且（五+E）J.五，贝联与E的夹角为（）

AA——57rB卷D3

6

7.如图，正方形4BCD的边长为5,取正方形力BCD各边的中点E,F,

G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点/,/,

K,L,作第3个正方形〃KL,依此方法一直继续下去.则从正方形4BCD

开始，连续10个正方形的面积之和等于（）

A.50[l-(I)10]B.25[1-(1)10]C.y[l-(1)10]D.50[(1)10-1]

8.已知圆。：%24-y2=2,过直线八2x+y=4在第一象限内一动点P作圆。的两条切线,

切点分别是4B,直线与两坐标轴分别交于M,N两点，则aOMN面积的最小值为（）

A-1B.1C.yfl.D.2

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法错误的是()

A.直线2(m+l)x+(m—3)y+7-5m=0必过定点(1,3)

B.过点力(—2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线，的方程为x+y=-5

C.经过点倾斜角为。的直线方程为y-1=tan9(x-1)

D.己知直线/^一丫一卜-1=0和以用(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数A的取值范

围为一gWkW?

71

10.在公比q为整数的等比数列｛an｝中，Sn是数列｛an｝的前项和，若电+=18,a2+a3=

12,则下列说法正确的是.()

A.q=2B.数列｛应的｝是公差为2的等差数列

C.S8=254D.数列｛S「+2｝是等比数列

11.如图，在正方体力BCD-AiBiGDi中,E为。劣的中点,

尸为C1%的中点，下列判断正确的是()

A.〃平面BCE

B,平面ADCiBi，平面&BE

C.异面直线为B与CE所成角的余弦值为；

D.若AB=1，则以1-818E=2

12.一般地，我们把离心率为咨二的椭圆称为“黄金椭圆”,对于下列说法正确的是()

A.椭圆为+《=1是黄金椭圆

1612

B.在△ABC中，8(-2,0),C(2,0),且点4在以B,C为焦点的黄金椭圆上，则△ABC的周长为

6+2门

C.过黄金椭圆盘+，=l(a>b>0)的右焦点F(c,0)作垂直于长轴的垂线，交椭圆于4,B两

点，则|4B|=(VT-l)a

D.设&,尸2是黄金椭圆C；4+4=1(«>^>0)的两个焦点，则椭圆C上满足N&PF2=90°

的点P不存在

三、填空题(本大题共5小题，共32.0分)

13.空间中点4(331)关于x轴的对称点4,点则A,B连线的长度为.

14.已知点P是椭圆卷+1=1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点Fi，尸2为顶点的三角形的

面积等于1,则点P的坐标为.

15.圆M+y2_4=0与圆/4-y2—4%+4y—12=0的公共弦的长为.

16.我国的筛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1,2,…，9填入方格内，使三行、

三列，两条对角线的三个数之和都等于15,如图所示.

一般地，将连续的正整数1,2,..../填入九xn个方格中，使得每行，每列、每条对角线上

的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上数的和为Nn,例如N3=15,

M=34,N5=65…那么N”=.

O/]EE□

!+E□

□□EJ

图1图2

2

17.已知数列｛0｝的前。项和为Sn且Sn=2n+n,nG,N*,数列｛%｝满足an=410g2%+3,

neN*.

(I)求与和办的通项公式：

(II)求数列｛%,•%｝的前n项和7；.

四、解答题(本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题10.0分)

如图，已知△4BC的顶点为4(2,4),B(0,-2),C(—2,3),求：

(I)4B边所在直线的方程；

(H)48边上的高线CH所在直线的方程.

19.（本小题12.0分）

已知在平行六面体4BCC-AiBiGDi中，AB=2,AAX=3,AD=l^DAB=/.BAAX=

血&=

(1)求DBi的长；

(2)求向量西与存夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国

人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如

图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为襦+q=1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变

为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，(0,当)为顶点的抛物线的一部分(从点C到点B).已

知观测点A的坐标(6,0),当航天器与点4距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.

(1)求航天器变轨时点C的坐标；

(2)求航天器降落点B与观测点4之间的距离.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC-A/iG中，侧面BCCiBi为正方形，平面BCQB11平面4B81a,AB=

BC=2,M,N分别为aBi，AC的中点.

(I)求证：MN〃平面BCGBi；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线4B与平面BMN所成角的

正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

22.(本小题12.0分)

已知圆4：(x+2)2+y2=9,圆B：(x-2)2+y2=1,圆C与圆月、圆B外切.

(1)求圆心。的轨迹方程E；

(2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P,证明摆

的值是定值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据题意，因为4(3,2),

所以线4B的斜率为=

3+47

故选:B.

根据题意，利用两点的斜率公式求解.

本题考查直线的斜率，注意直线的斜率计算公式，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是

根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题.

由题意，把次，0B,能三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线

性运算，将而用三个基向量表示出来，即可得到答案.

【解答】

解：由题意

JlN='MA+AB+~BN

1_,_1_>

=-^OA-OA

2_,_,1_>1_,

=-2OA+OB+2OC-]OB

211

又OA=五，OB=byOC=c

・,.丽=-%+与+工

322

故选8.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线定义的应用，属于基础题.

直接利用抛物线的定义解题即可.

【解答】

解：4为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，

点4到C的焦点的距离为12,至。轴的距离为9,

因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,

P

+-=2P=6

故有92

故选C.

4.【答案】C

【解析】解：在等差数列｛即｝中，2a6=。4+。8=20,得=10,公差d=a?-ci6=2,

所以。4=&6-2d=10—2x2=6.

故选：C.

根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答.

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题.

首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近线的距离即可.

【解答】

解：由题意可知，双曲线与一空=1的渐近线方程为y=±扛即3x±4y=0,

1694

结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x-4y=0的距离，

则点(3,0)到双曲线一条渐近线的距离d=-^===

故选:A.

6.【答案】B

【解析】解：•・・向=1，向=2，且04-K)1a，

A(a+6)-a=l+lx2xcos<a>b>=0

—t1

・•・cos<a,b>=--

•­,<a,b>e[0,7T]

•,■<a,b>—:

故选：B.

利用向量的数量积公式，结合同=1，向=2,且①+及,区即可求得结论.

本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.

7.【答案】a

【解析】解：依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列｛5｝，。1=25,

因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的殍，

因此即+1=：即，即数列｛an｝是等比数列，公比q=*

所以前10个正方形的面积之和Si。=笔驴=空史率3=50[1-(1)10].

qi-2

故选：A.

将正方形面积按作法次序排成一列得数列｛6｝,再确定该数列为等比数列，借助等比数列前n项和

公式求解作答.

本题主要考查归纳推理，等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】B

即+yyx-xl+yl，而好+羽=2,代入得x1%=2,显然当/=0或y1=0时也适合,

所以切线P4方程为+y/=2,同理PB：x2x+y2y=2,

将p的坐标代入上述直线方程，则有产"°t%%=t

(x2%0+y2yo=2

于是直线48的方程为&%+yQy=2,

分别令x=0,y=0,易得/,=f2，为/=2/，则M(2f，0)，N(0,2f),

x07oxo%

O1224、4d

所以△OMN的面积为S=2,高.需=2x0-y0一(2飞产)2=1,

当且仅当2%=y0»即&=1，7o=2时取等号，

所以△0MN面积的最小值为1.

故选：B.

设P(&,yo)，利用圆切线的性质，得到切点弦所在直线方程"+y°y=2,然后求M*,0),N(0,9,

人0几

写出面积表达式，利用基本不等式得到其最小值.

本题主要考查了直线与圆的位置关系,对于圆心在原点的圆上某点Qi，yi)的切线方程结论为与支+

yry=r2,过圆心在原点的圆的圆外一点(a,%)作圆两条切线，其切点弦所在直线方程为a%+

2

y0y=r-两者形式相同，但意义不同，最后得到直线方程，求出其面积表达式，利用基本不等

式求出最值，如果能记住相关结论，对这道选择题来说将会大有裨益，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4直线方程变形为(2x+y-5)zn+2x-3y+7=0,

令解得x=L丫=3,即原直线必过定点(1,3),故4正确；

对于B,当直线/过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线/的方程为3x-2y=0,

故B错误；

对于C,当。=即寸，tan。无意义,故C错误;

对于D,直线依—y—k—l=0经过定点(1,一1),当直线经过M时，斜率为攵=二#=一:，

当直线经过N点时，斜率为k=字工=需由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为k<-1

0—1LZ

或心|,故。错误.

故选：BCD.

4选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选

项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；。选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的

范围应取端点值两侧，故错误.

本题主要考查直线恒过定点问题，直线的截距式方程，考查方程思想与运算求解能力，属于中档

题.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题.

先由题设求得等比数列｛an｝的首项由与公比q,再逐个选项判断其正误即可.

【解答】

解：由题设可得：解得：居:,或「一产,

(Qi(q+q)=i2(q=2(q=2

•••q为整数，.•J?:2,故选项A正确；・••切斯+]-匈an=lg乎=32,.•.选项8错误;

iq=Zun

S4-92(1-2n+1)2

又S8=当手=29-2=510，•••选项C错误；・•・Sl+2=4,沿孕=甘产=2,

TTTorz,

.・.数列｛Sn+2｝是公比为2的等比数列，故选项。正确.

故选：AD.

11.【答案】BD

【解析】解：在正方体ZBCD-&B1GD1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长

为1，

则4式0,0,1),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),

E(O，W),F(i,l,l).

对于A,印=T1,0),BC=(0,1,0),CF=(TO,；)，

设力=(x,y,z)是平面BCE的法向量，

疗~DT_n(y=o

｛E丝:一，即上1「，令x=l,得力=(1,0,2),

因此万・瓦甘=一；片0,万与瓦了不垂直，

所以&F与平面BCE不平行，A错误；

对于B,彳方=砧=(0,1,一今，

设五=(%i，yi，Zi)是平面ABE的法向量，

1-

则性空=°,即广i°n＞令y1=i，则五=(2,1,2),

又近=(0,1,0)，福=(1,0,1)，

设记=(%2，丫2*2)是平面4DC1B1的法向量，

则伊.野=0,即皆理=0,令Z2=l,得沆=(_1,0,1),

\jn-AD=0Uz=u

于是元-m=—1x24-1x2=0,即元1m,

所以平面力OGBi，平面&BE,8正确；

对于C,A^B=(1,O,-1),CE=(-1,0,

则异面直线与CE所成角的余弦值为：

尔(还画匚牖==喑，。错误；

\Aib\\Ct\Vzx^v5iU

1111

对于D,AB=1,则有以L/BE=%-4述述=,BC=§x2x1x1x1=0,£)正确.

故选：BD.

根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，利用坐标法计算判断4BC；利用等体

积法求出体积判断D作答.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4椭圆看+q=1的长半轴长。=4,半焦距c=“16-12=2,

1612

所以离心率e=£=；,A错误；

a2

对于B,黄金椭圆半焦距c=2,则长半轴长0===盒=/可+1,

-2~

因此焦点448c的周长为2a+2c=6+2A/-5,B正确；

(X=C2

对于C，电+*1得例=?

则MB|=1=2a-2a•(手)2=”-l)a，C正确；

对于。，黄金椭圆焦距2c=(C-l)a，|P居|“PF21s(好呼包)=a2,当且仅当|Pa|=

\PF2\=a时取等号，

22222

则IPF/2+IPF2E-|F/2『=(|PFil+|PF2I)-IF1F2I-21PBi-\PF2\=4a-(<5-l)a-

22

2|Pa|•\PF2\>(2>T5-2)CI-2a=2(仁一2)(?>0,

即N&PF2不是直角，因此黄金椭圆C上满足N&PF2=90。的点P不存在，D正确.

故选：BCD.

求出椭圆离心率判断4求出焦点△ABC的周长判断B：借助方程组求出弦长判断C；求出|PFi『+

仍「2『一因?2『与0的关系判断。作答.

本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题.

13.【答案】2ym

【解析】解：空间中点4(3,3,1)关于%轴的对称点为4(3,-3,-1),

又点则

\A'B\=J(3+1)2+(—3—1乃+(—1-5产=2/17.

故答案为：2，节.

写出点4关于x轴的对称点4,利用两点间的距离公式计算即可.

本题考查了空间中的对称与两点间的距离计算问题，是基础题.

14.【答案】(竽,1),(-手,-1>

【解析】解：&、尸2是椭圆^+4=1的左、右焦点，C=l,

54

则凡(一1,0),F2(1，0)，

设P（%,y）是椭圆上的一点，

由三角的面积公式可知：S=1-2c-|y|=1,BP|y|=1,

将|y|=1代入椭圆方程得：5+；=1，

解得：阳=华，点P是椭圆（+4=1上y轴右侧的一点，所以％=竿

2542

•••点P的坐标为（7,1）,（一冷,_1）.

故答案为：（浮,1）,（一手,一1）.

由椭圆+[=1,c=1,由三角的面积公式可知：S=:♦2c•|y|=1,即|y|=1,代入椭圆1+

出=1，即可求得X,即可求得点P的坐标.

4

本题考查椭圆的标准方程及性质，考查三角形的面积公式，考查求得椭圆上点坐标的方法，考查

计算能力，属于基础题.

15.【答案]2<7

【解析】

【分析】

此题考查了圆与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关健.

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半

径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.

【解答】

解：圆/+y2-4=0与圆尢2+—4%+4y—12=0的方程相减得：x-y+2=0,

由圆/+y2_4=o的圆心（0,0）,半径r为2,

且圆心（0,0）到直线x-y+2=0的距离d=与等=

则公共弦长为2VN—=2、4—2=2-\/~2.

故答案为：2一至.

16.【答案】吗±9

【解析】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，

N3=1(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15,

M=](1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)=43,

%5=春(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+

20+21+22+23+24+25)=65,

2

Wn=-(1+2+3+4+5+-+n)=-x华吧=也争2.

"n'7n22

故答案为：吗±12.

推导出N”=；(1+2+3+4+5+…+层)，由此利用等差数列求和公式能求出结果.

本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性

质来解题.

17.【答案】解：(I)数列｛&J的前几项和为%且%=2n2+n,nEN*,

n2

则：an=Sn-Sn-i()，

=2n2+n—2(n—l)2—(n—1)

=4n—1>

当n=1时，的=3符合通项公式，

所以：a。=4n—1.

由于:数列｛4｝满足册=4log?既+3,n€N*.

则：4n-1=4log2bn+3,

所以：bn=2"T,

(H)由(I)得：设q=a7At=(471-1)2时1,

则：写=J+C2+…+0=3•2°+7•2I+…+(4n-1)2时】①

2"=3•2】+7•22+…+(4n-1)2"②

n

①-②得：-7n=4(20+21+…+2*T)-(4n-l)2-1,

整理得：%=(4n-5)2"+5.

【解析】(I)首先根据递推关系式求出数列0n的通项公式，进一步利用与的通项公式求出数列时的

通项公式.

(口)根据(1)的结论，求出新数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的前n项和.

本题考查的知识要点：等差与等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用.属于基础题

型.

18.【答案】解：⑴•••4(2,4),5(0,-2),

,,,心B=41早=3,

由点斜式方程可得y-(-2)=3(x-0),

化为一般式可得3x-y-2=0

(2)由(1)可知卜.=3，

故AB边上的高线CH所在直线的斜率为-%

又AB边上的高线所在直线的过点C(-2,3),

所以方程为y—3=—g(x+2),

化为一般式可得x+3y-7=0

【解析】(1)由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可：

(2)由垂直故选可得高线的斜率，由高线过点C,同(1)可得.

本题考查直线一般式方程的求解，从点斜式出发是解决问题的关键，属基础题.

19.【答案】解：(1)在平行六面体ABCD-4当好5中，｛而，同，丽(｝为空间的一个基底，

"AB=2,M=3,AD=1且4。48=NB4&=Z.DAAr=最

则AB-AD=2x1xcosg=1,AB-AAt=2x3xcos^=3,AD-AAr=1x3xcosg=|,

又西=DA+AB+JB^=AB-AD+百，

--->I--»2--»2---»2-->--»--»--»-->-->

.%|DFi|=JAB+AD+441-2AD-AB-2AD-AAr2AB-AAr=

I2I2+l2+32-2xl-2x|+2x3=

(2)由(1)得西=AB-AD+AA^,则西-AB=(AB-AD+AA^)-AB=AB^-AB-AD+AB-

AAr=4—1+3=6，

又|西|=<15.

则向量西1与而夹角的余弦值1cos(西，荏>=盘鲁=7=4==罕.

\DBX\\AB\V15x25

【解析】(1)用空间的一个基底｛四，初,丽(｝表示向量西，再利用空间向量数量积的运算律求解,

即可得出答案；

(2)由(1)得西=而-而+彳再，结合空间向量的夹角公式计算，即可得出答案.

本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)设C(x,y),由题意，|AC|=4,即JQ-6)2+y2=%

又磊+叁=1，联立解得％=6或x=10(舍)，当％=6时，y=4,

故C的坐标为(6,4).

(2)由题意设抛物线的方程为y=-mx2+n,

因为抛物线经过点C(6,4),(0,y),

所以71=警，4=—36m+普，解得m=2，即y=—+5

5545/455

令y=。可得X=9或x=-9(舍)，即8(9,0)；

所以|4B|=\0B\-\0A\=3,

所以航天器降落点B与观测点4之间的距离为3.

【解析】(1)设出点C,利用4,C的距离和椭圆方程可求出点C的坐标；

(2)根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.

本题考查椭圆与抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

21.【答案】解：(/)证明：取4B中点K,连接NK,MK,

•:M,为4遇1的中点.且

二四边形BKMBi是平行四边形，故MK“BB[,

MKC平面BCCiBjBBiu平面BCCiBi，

MK〃平面BCCiB],

•••K是AB中点，N是力C的点，

NK//BC,NKft平面BCCiBi；BCu平面8"出，

二NK〃平面BCC/i，又NKCMK=K,

平面NMK〃平面BCGBi,

又MNu平面NMK,MN〃平面BCGBi：

(//)•••侧面BCGBi为正方形，平面BCC/i1平面ABBiA，平面BCC/iC平面48B14=

CB1平面4BBA，-CB1AB,又NK〃8C,:.AB1NK,

若选①：AB1MN；又MNnNK=N,；.AB，平面MNK,

又MKu平面MNK,二AB1MK,又

.--BC,BA,BB1两两垂直，

若选②：：CB1■平面488遇1，NK//BC,二NKJL平面力咯4，KMu平面488出，

11

MKINK,又BM=MN,NK-^BC,BK=^AB,

•••△BKMmANKM,:.乙BKM=乙NKM=90°,

AB1MK