2023年中考数学冲刺阶段分类复习及答案

中考冲刺阶段分类复习题及答案

一、探索、规律题

1、用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要

6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第〃个图形需要小圆____________个（用含〃的代

数式表示）.

O0000%

0000000000

**Hi

2、如图12,将边长为a的正六边形小小小从儿儿在直线/上由图1的位置按顺时针方

向向右作无滑动滚动，当小第一次滚动到图2位置时，顶点小所经过的路径的

长为（）.

4+234+2出

A.-------TiaD.------兀a

36

3.若q=1-工，

a2^}-—,…；则。20U的值为.（用含机的代数式表示）

m~a]

4.图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位,

可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2）,依此规律继续拼下去（如图3）,……，则第n个图形的周长是（）

5、如图14,观察每•个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有个。

二、解直角三角形

1、（6分）我市某建筑工地，欲拆除该工地的••危房AB（如图），准备对该

危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米（BD=60米）处有一

居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该该住宅楼顶C处测得此危

房屋顶A的仰角为30°,请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，

该居民住宅楼有无危险？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆

形区域为危险区域，参考数据:收。1.414,6*1.732）

2.（2011广东）如图，小明家在“处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路/,45是N至I"的小路,现新修一条路ZC

到公路/.小明测量出//8=30。，450=45。,8c=50m.请你帮小明计算他家到公路/的距离40的长度（精确到0.1m；

参考数据：VI«1.414,V3«1.732）.

第1题图

A

3.（2011湖北黄石）（本小题满分8分）东方山是鄂东南地区的

佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电

视塔。据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山

海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在

东方山山顶。的正上方/处测得月亮山山顶C的俯角为&,

在月亮山山顶C的正上方8处测得东方山山顶。处的俯角

为夕，如图（2）。已知tana=0.15987,tan夕=0.15847,

若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从Z到B处需多

少时间？（精确到0.1秒）东方山月亮山

图⑵

三、实际问题的应用

1.（本题满分8分）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5

盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）.

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

2、（7分）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地.按计划20辆汽车都

要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满.请结合表中提供的信息，解答下列问题：

（1）设装运A种物资的车辆数为x,装运B种物资的车辆数为夕.求》与x的函数关系式；

（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案?并写

出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?请求出最少总运费.

3.（本题9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多

买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10X（20-10尸1（元）,因此，

所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.

（1）.求一次至少买多少只，才能以最低价购买？

（2）.写出该专卖店当一次销售x（时、所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？

四、统计初步：L“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本

校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）

这次抽查的家长总人数为；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；

（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是.

学士及米长对初中上聊冢K对初中生的电动

YI，

2、

全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共

有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万

人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.

请将上一述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.

（1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.

（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整.

（3）分析数据：

①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=

在职教师数：在校学生数）

②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可）

③从扇形统计图中，你得出.什么结论？（写出一个即可）

onin住仝省物有舒展怡州缺计表

全省各级各类学校所数扇形统计图

五、几何（压轴题）

1、（2011山东滨州）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把AABC恰好分割成两个等腰三角形

（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：ZA与NB有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并

举例验证猜想所得结论。（1）如图①ZU8C中，NC=90°,424°

第23题图①图②

①作图：②猜想：③验证：

（2）如图②ZA/I8C中，NC=84°,4=24°.

①作图：②猜想：③验证：

2.（本题满分10分）

・观察计算

当“=5,6=3时，----与yjah的大小关系是,

2

当4=4,6=4时，"*"与yfab的大小关系是

2

•探究证明

如图所示，A43c为圆。的内接三角形，为直径，过C作。。_LN8于。，设BD=b.

（1）分别用表示线段OC,CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含“，6的式子表示）.

•归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与病的大小关系是：

2

•实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值.

3、（本小题满分8分）

（2011山东滨州，22,8分）如图，直线/W切。。于点M,直线外交。0于48两点，舷AC〃PM,连接〃、BC.

求证：(1)△ABCS^POM；(2)20A2=OF^

M

c

P

4.(本题满分10分)如图25,在锐角△48C中，/C是最短边；以/C中点。为圆心，'/C长为半径作.。。，交BC

2

于E,过。作8c交。O于。，连结/£■、AD、DC.

(1)求证：。是/E的中点；

(2)求证：NDAO=NB+NBAD；

(3)若2正=上，且4U4,求CF的长.

c7

°&OCD/

5、如图，已知。。的半径为2,弦的长为26，点力为弦所对优弧上任意一点出。两点除外).

(1)求NA4C的度数；

(2)求△48C面积的最大值.

(参考数据：sin60,=——,cos300=——，tan30=——.)

223

6、如图，在心△/8C中，/8=90°,8c=5，J,NC=30°.点。从点C出发沿。方向以每秒2个单位长的速度向点

/匀速运动，同时点E从点工出发沿48方向以每秒1个单位长的速度向点2匀速运动，当其中一个点到达终点时，另

一个点也随之停止运动.设点。、E运动的时间是f秒(/>0).过点。作。尸，8c于点凡连接。E、EF.(1)求证:

AE=DF\

(2)四边形/£尸。能够成为菱形吗？如果能，求出相应的，值；如果不能，说明理由.

(3)当，为何值时，ADEF为直角三角形?请说明理由.

六、函数(压轴题)

1、(10分)如图，第一象限内半径为2的。C与y轴相切于点A,作直径AD,过点

D作。C的切线1交x轴于点B,P为直线1上一动点，已知直线PA的解析式为:产kx+3。

(1)设点P的纵坐标为p,写出p随变化的函数关系式。

(2)设。C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线1上(除点B

以外)的什么位置时，都有△AMNs/\ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三

角形相似给予证明；

(3)是否存在使AAMN的面积等于3兰2的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在,

25

理由。-

2.如图，一次函数%=《x+2与反比例函数y,=勺•的图象交于点力(4,利8(-8,-2),与y轴交于点C.

-X

⑴，k2=.;

(2)根据函数图象可知，当月＞为时，x的取值范围是；

(3)过点Z作ADVx轴于点。，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当

S四边影皿ic：SQ=3：1时，求点尸的坐标•

3、(本题9分)如图21,抛物线夕=会2+版一2与x轴交于/,B两点,与y轴交于C点，且［(-1,0).

11

4、(已知二次函数y=-±/+2x的图象如图26.(1)求它的对称轴与x轴交点。的坐标；(2)将该抛物线沿它的对

42

称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为2、B、C三点，若N4CB5)。，求此时抛物线的解析式;

(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为〃，以4B为直径,。为圆心作试判断直线CM与。。的位置关系，并

说明理由.

5、(10分)如图，已知抛物线与x轴交于A(l,

C(0,3),抛物线的顶点为P,连结AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q,求点D的坐标；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得SAMAP=2SAACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

6.在直角坐标系XQY中，已知点P是反比例函数y=2®(x>0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切,

X

设切点为A.

(1)如图1,OP运动到与x轴相切，设切点为K,试判断四边形0K口的形状，并说明理由.

(2)如图2,。「运动到与x轴相交，设交点为8,C.当四边形/8CP是菱形时：①求出点/,B,C的坐标.

②在过4B,C三点的抛物线上是否存在点使△M8P的面积是菱形力8"面积的若存在，试求出所有满足

2

条件的〃点的坐标，若不存在，试说明理由.

答案：

-、1、(-M2+-n)(或+2、A3、1--4、C5、100

222m

二、1、解：没有危险，理由如下：................1分

在AAEC中，VZAEC=90°,tanAACE=—

CEA

VZACE=30°,CE=BD=60,□

/.AE=20V3®34.64（米）................3分

□30°工力□

又：AB=AE+BE,BE=CD=15,□□

ABb49.64（米）................4分BD

V60>49,64,即BD>AB

二在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险................6分

2、（2011广东）略解：AD=25（Ji+l）«=68.3m

3.（8分）解：在心△Z8C中，BC=ABtana,

在心△/8。中，AD=ABtan/?..............................................................................（2分）

ABC-AD=AB（tana-tan................................................................................（2分）

BC-AD453.20-442.00

AB=---------------------------=8000（2分）

tana-tanp0.15987-0.15847

故/到3所需的时间为1=包”=44.4（秒）............................（I分）

180

答：飞机从4到8处需44.4秒.........................................（1分）

三、1、解：（1）牛奶盒数：（5x+38）盒........1分

[5x+38-6（x-l）<5

（2）根据题意得：……4分.•.不等式组的解集为：39<xW43……6分

5x+38-6（x-l）>l

为整数：.x=40,41,42,43答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.……8分

2、解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20-x-y）=200y=20-2x2分

了25

(2)根据题意，得：f解之得：5<x<8

20-2x24

取正整数，，x=5,6,7,8................4分,共有4种方案，即................5分

(3)设总运费为M元，则M=12x240x+10x320(20-2x)+8x200(20-x+2x-20)

即:M=-1920x+64000

：M是x的一次函数，且M随x增大而减小，，当x=8时，M最小，最少为48640元................7分

3、(2011.黄岗)解:(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：

0」(x-10尸20-16,解这个方程得x=50;

答一次至少买50只，才能以最低价购买...............................3分

20.r-13x=7x(0<x<50)

(2)y=[(20-13)-0.l(x-10)]=--x2+8x(10<x<50)...................7分

10

[16x-13x=3x(x>50)

⑶将N=_-LX2+8X配方得y=-L(x-40)2+160,所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元。(也

1010

可用公式法求得).....................................10分

四、2、解:(3)①小学师生比=1:22,初中师生比-1：16.7,

高中师生比=1：15,小学学段的师生比最小.......6分

②如：小学在校学生数最多等.…7分③如：高中学校所数偏少等.8分

五、1、【答案】

(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作/ACD=/A(或/BCD=/B)两类方法均可,

在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求............2分

②猜想:ZA+ZB=90°,............4分

③验证：如在4ABC中，ZA=30°,NB=60°时，有/A+NB=90°,此时就能找到一条把AABC恰好分割成两个等腰三

角形的直线•............5分

(2)答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作/ACD=/A或在线段CA上截取CD=CB三种

方法均可。

在边AB上找出所需要的点D,则直线CD即为所求............6分

②猜想：ZB=3ZA............8分

③验证：如在aABC中，/A=32°,ZB=96,有/B=3NA,此时就能找到一条把AABC恰好分割成两个等腰三角形的直

线。............9分

2、解：•观察计算:上心>1标>—~—=y[ab.

2分

22

•探究证明：

(1),/D+BD=2OC,AOC=..........................3分

2

・・・AB为。。直径，JNACB=90°・

,/4c0=90。，ZACD+ZBCD=90°,：.ZA=ZBCD.

：./\ACD^/\CBD...........................4分・・・——=—.即CD?=

CDBD

CD=y[ab...........................5分

（2）当a=bH'J',OC=CD,-=cib;aH6时，OC>CD,->Jab..........................6分

22

•结论归纳：°>\[ab.......................7分

2

•实践应用设长方形一边长为X米,则另一边长为1米,设镜框周长为/米，则

X

/=2（x+-）^4x--=4.…9分当》=,，即x=l（米）时，镜框周长最小.

XVXX

此时四边形为正方形时，周长最小为4米.............10分

3、【答案】证明：（1）;直线PM切。0于点M,；.NPM0=90°......................1分

•.,弦AB是直径，AZACB=90°......................2分NACB=/PM0......................3分

VAC//PM,AZCAB=ZP......................4分.'.△ABC^APOM.......................5分

(2),?AABC^APOM,二也=空•…6分又AB=20A,OA=OM,Z.=—.......................7分

POOMPOOA

：.2OA2=OPO......................8分

4、证明：（1）是。。的直径：.AE±BC..............1分

".'OD//BC：.AELOD..............2分二。是/E的中点3分

（2）如图，延长交于G,则。G〃8C…4分

・・・/AGD=/B

'：/AD8/BAD+NAGD...........5分

又OA=OD：./DAO=/ADO

：.ZDAO^ZB+NB4D..............6分

(3)♦:AO=OC:・SAMD=%MCD

C1Q1

・・。dCEF_・D&CEF_..............7

c7c4

ZACD=ZFCENADC=/FEC=9C

:•△ACDs^FCE.....................8分

•.芒=（穹即:卜受..……9分

：.CF=2..............10分

BC

5、解：（1）.连接。8,0C,过。作OELBC于点E

"：OEYBC,BC=2>[3,

:.BE=EC=8.............1分

在RtZXOBE中，0B=2,VsinZ5OE=—=—,

OB2

AZBO£=60,ZSOC=120,AZB/1C=-Z5OC=60.............4分

2

(2)因为△NBC的边8c的长不变，所以当8c边上的高最大时，△/8C的面积最大，此时点4落在优弧8C

的中点处.............5分

过。作OELBC于E,延长EO交。O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,

^BAE=-ZBAC=30°.

2

在R.t/\ABE中，•:BE=®NBAE=30,

AE=­BE—2^.=3,—x25/3x3=35/3.

tan30°v32

3

答：△/BC面积的最大值是3石.............7分

6、解：（1）在中，Z/）FC=90°,ZO30°,DC=2t,：.DF=t.

又；AE=t,；.AE=DF...........................................................2分

（2）能.理由如下：

,：ABY.BC,DFLBC,：.AE//DF.

又4E=DF,：.四边形AEFD为平行四边形........................................3分

'：AB=BC-tan300=5V3x—=5,.-.AC=2AB=10.：.AAC-DdO2

3

若使口为菱形，则需/£=力。即f=10-2f"=—.

3

即当f=W时，四边形/EED为菱形.........................................5分

3

(3)①NEZ)F=90°时，四边形E2ED为矩形.

在RtZX/ffl?中，NADE=NC=30°,.,.ADuZNE即10-2/=2f,/=-.............7分

2

②NDEF=90°时，由（2）EF//AD,:.NADE=NDEF=90°.

VZA=90a-ZC=60°，：.AD=AE•cos60°.BP10-2/=-Z,/=4..............................9分

2

③/EED=90°时，此种情况不存在.

综上所述，当f=』或4时，ADEF为直角三角形.............................

2

分

六、1、解：⑴、

：y轴和直线1都是。C的切线.,.0A±ADBD1AD

又,:0A10BAZAOB=ZOAD=ZADB=90°二四边形OADB是矩形

C的半径为2AD=OB=4

•••点P在直线1上二点P的坐标为(4,p)

又,••点P也在直线AP上p=4k+3

(2)连接DN

：AD是。C的直径ZAND=90°

ZAND=900-ZDAN,ZABD=90°-ZDANAZAND=ZABD

又ZADN=ZAMNZABD=ZAMN...............4分

VZMAN=ZBAP...........5分.♦.△AMNs/iABP...6分

(3)存在。........7分

理由：把x=0代入产kx+3得y=3,即OA=BD=3AB=AD2+BD2=A/42+32=5

.AD•DB4x312

*/SAABD=—AB•DN=—AD•DB，DN=-------------=-------=—

22AB55

AAN2=AD2-DN2=42-(—)2=

525

.SAAMN，处、2/•SA.

VAAMN^AABP即SAAMN=(-^)*S^BP8分

----------=(------)1

S△、AMNAPAPAP

当点P在B点上方时，

VAP2=AD2+PD2=AD2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k2+l)

或AP2=AD2+PD2=AD2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k2+l)

SAABP=—PB•AD=—(4k+3)X4=2(4k+3)

22

"・SA物256x2(41+3)32(44+3)32

八AMN

AP125xl6(/+l)25(1+1)25

2

整理得k-4k-2=0解得ki=2+V6k2=2-几

当点P在B点下方时，

AP2=AD2+PD2=42+(3-4k-3)2=16(1?+1)

_AN2•SM8P_一256x2(4>+3)_32

SAABP=—PB•AD=—[-(4k+3)]X4=・2(4k+3)

22AP2-25x16(42+1)-25

化简，得1?+1=-(4k+3)解得k=-2

综合以上所得，当k=2土石或k=-2时，Z\AMN的面积等于丝...10分

25

2、解：(1)-,16；.......2分(2)—8cx<0或x>4；...........4分

2

(3)由(1)知，yx=—x4-2,J^2=—.

2x

.••加=4,点。的坐标是(0,2)点4的坐标是(4,4).：.CO=2,AD=OD=4............5分

22

.S梯形Od1r:s口「3:1,・・S口「]XS梯形0/%c=]X12=4........................

即1。。・。£=4,.•.£)£=2....点£的坐标为(4,2).

2

又点E在直线0尸上，...直线OP的解析式是y=‘X.

2

...直线OP与为=3的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4后,2，5).

X

3、解：(1)把点4—1,0)的坐标代入抛物线的解析式丁=»/+加-2,整理后解得6=-1,

11

所以抛物线的解析式为y=-x2--;x-2..............2分顶点.....3分

22

(2)AB=5.AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,:.AC2+BC2=AB2.

.,.△/5C是直角三角形..............................................6分

(3)作出点C关于x轴的对称点C,则C'(0,2),OC=2.连接C'。交x轴于点M,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+A/O的值最小.

设抛物线的对称轴交x轴于点£./\COM^/XDEM.

OMOCm224

/.----=----./.------=---./.m=—..........................................10分

EMED32541

---m—

2---------8

I3b

4、解：(1)由y——x4-工得工-—-3-"<1分|1M

422a

：.D(3,0)..............2分

13，9、

(2)*/y=--广4—x・•・顶点坐标3,一

4214；

设抛物线向上平移〃个单位,则得到C(0,〃)，顶点坐标”

、“’.一行十白

129国14~

・・・平移后的抛物线：y=--(x-3)+-+I7..............................4分1-1

4、74

1,9

当y=0时，---(x-3)H—+力=0,得x1=3—44h+9芭=3+，助+S

474

4(3—。46+9,0)8(3+。4〃+9,0)•............................5分

4C8=90°：.△/OCs△COB

：.OC2=OA•OB.............................6分

62=(J40+9—3)(A/4/7+9+3)得/?!=4也=0(舍去).......7分

191/425八

・・・平移后的抛物线：y=—(x-3Y21=(X-3)+——............8分

4744v/4

(3)如图3,由抛物线的解析式可得

2

A(-2,0),5(8,0),C(4,0),M(3,--)..............9分

作直线CM,过。作OE_LCM于E,过"作MH垂直y轴于H,则MH=3,

DM//OC：.ZMCH=/EMD

：.Rt/\CMHsRt/\DME...............10分

.DEMD

得DE=511分

''MH~CM

由⑵知N8=10的半径为5

直线CM与。。相切.......12分

5^解(1)设此抛物线的解析式为：y=«(%-%,)(%-%2)

•••抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，，7=“。一1)(丫+3)

又•••抛物线与y轴交于点C(0,3)a(0-1)(0+3)=3,Aa=-3

'y=-(x-1)(x+3)即y=-x2-2x+3....................3分

(2)•.,点A(1,0),点C(0,3).*.OA=1,OC=3,

VDC1AC,OC_Lx轴.♦.△QOCsaCOAZ.—=—,即空=?.,.OQ=9,.................................4分

OCOA31

又：点Q在x轴的负半轴上，...Q(-9,0)

设直线DC的解析式为：y=mx+n，则

1

n=3m=­

解之得：3・•・直线DC的解析式为：y=-x-^-3...............5分

-9m+〃=0[〃=33

x=

y=­1X+3々i--