河北省唐山市财会职业中学2023-2024学年高三数学理月考试卷含解析

河北省唐山市财会职业中学2023年高三数学理月考试

卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.命题乙若则同+国>1是卜+">1的充分不必要条件；命题9：函数

尸=而丁的定义域是(-8,0]U[2.+8),则()

A.“P或9”为真B.“r且1”为真c.「真g假D.假g假

参考答案：

A

2.设S〃一是等差数列｛丽｝的前九项和，S5=3(a2+a8),则的值为()

112

A.6B.3C.5

5

D.6

参考答案：

D

22

xy]

3.“双曲线C的方程为ab”(a>0,b>0)”是“双曲线C的渐近线方程为

,b

-r—V

y=一ax”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

参考答案：

A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质.

【分析】判断充分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线c的渐

,b

十---X

近线方程为一a的双曲线是不唯一的，从而进行求解.

x2y21

~27-1

【解答】解：：双曲线C的方程为a"（a>0,b>0）”

+A

根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=一ax；

22

xy]

...双曲线C的方程为a'b”（a>0,b>0）?“双曲线C的渐近线方程为

+_b2b

若双曲线C的渐近线方程为y=-7X=±2lx；

22

x一+—-口

双曲线C的方程还可以为：（4a）2（4b）2,

ux2y21

+-^~~2~T2=1

“双曲线C的渐近线方程为丫=一ax”推不出双曲线C的方程为ab"；

x2y21

=1

双曲线C的方程为~a2b2”（a>0,b>0）”是“双曲线C的渐近线方程为

y=一ax”的充分不必要条件;

故选A.

【点评】此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是

高考中经常考的.

4.已知4ABD是等边三角形，且熊咖工I而，那么四边形ABCD的面积为

)

A.~2B.C.373D.

参考答案:

B

考点：向量在几何中的应用.

专题：计算题；数形结合.

分析：先设AD的中点为E,以AE,AB为邻边作平行四边形AECB,画出对应图象，利用E

为中点，得到BCDE为平行四边形，进而求得BE=CD=«,AE=1,AB=2,再把四边形ABCD

3

的面积转化为/SA血即可求解.

解答：解：设AD的中点为E,以AE,AB为邻边作平行四边形AECB,对应图象如图

因为AECB为平行四边形，所以有AE=BC,

又因为标=而，

故瓦二而，即BCDE为平行四边形，所以有BE=CD=近，AE=1,AB=2.

331373

故SABCD-SABD+SABCD:2SAABD_2x2x2乂匹亍

故选B.

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及计算能力和数形结合思想，是对基础知识的

考查，属于基础题.

5.已知集合/={W),A={*，若"，{2},则/118为(

)

A.B.D.

>

I2J

参考答案:

D

6.在区间［0,开］上随机取一个数x,则事件“2”发生的概率为

121!

A.4B.3C.2D.3

参考答案：

D

7.设f(x)与g(x)是定义在同一区间［a,b］上的两个函数，若函数y=f(x)-g(x)

在xd［a,b］上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在［a,b］上是“关联函数”，区

间［a,b］称为“关联区间”.若f(x)=x?-3x+4与g(x)=2x+m在［0,3］上是“关联函

数”，则m的取值范围为()

A.(-4,-2］B.［-1,0］C.(-8,-2］D.(-4,+8)

参考答案：

A

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在［0,3］上有两个不同的零

'h(0)>0

h(3)>0

h(—)<0

点，故有,由此求得m的取值范围.

【解答】解：(x)=x?-3x+4与g(x)=2x+m在［0,3］上是“关联函数”，

故函数y二h(x)=f(x)-g(x)=x?-5x+4-m在［0,3］上有两个不同的零点，

'h(0)》0

h(3)>0-2F30

2525+

h(f)<0mV0-y

故有即~T2，解得-4VmW-2,

故选A.

8.已知变量工了满足约束条件曰则目标函数z=&-。的最小值为

()

A.32B.4C.8

D.2

参考答案：

B

9.设X«,且则()

A,B,9<a<b<lc.

l<A<aD,l<a<^

参考答案：

B

二2-i

10.若z^T,贝()|z|=()

A.5B.1C.5D.25

参考答案：

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、共甄复数的定义、模的计算公式即可得出.

_2-i(2-i)234il(l}2,(J_y2

【解答】解：Z-2+i=(2+i)(2-i)=55,则|z1=W1万，=1.

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、共朝复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力

与计算能力，属于基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如图，第)个图形是由正同+2边形，，扩展，，而来，则第"个图形中共

有个顶点.

参考答案：

+5»+6

12.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子

中摸出2个球,其中白球的个数为6,则,的数学期望是一£；

参考答案：

4

5

略

s

13.(*W*+x—的p)展开式的常数项是.

参考答案：

5

14.设a2是两条不同的直线，aF是两个不同的平面,则下列四个命题中

⑴若a_La,au4则a,尸；

⑵若则a_L£；

⑶若■户。，邑则a〃a；

⑷若a_La,b_La,则a/彷.

其中所有真命题的序号是.

参考答案：

(1)(4)

略

‘y》x

,y^2x

15.设m>l,当实数x,y满足不等式组x+y<l,目标函数z=x+my的最大值等于3,则

m的值是.

参考答案：

4

【考点】简单线性规划.

【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式,

即可得出答案.

1Z

【解答】解：由Z=x+my得y=-mx+m,

Vm>l,・••目标函数的斜率-m£(-1,0),

作出不等式组对应的平面区域如图：

1z

由平移可知当直线y二-irix+m,

经过点A时，目标函数取得最大值，此时z=x+my=3,

产X_2_1_2

由lx+尸1,解得I。，即A(瓦W),

同时，A也在直线x+my=3上，

12

代入得3+3m=3,解得m=4,

故答案为：4.

16.已知向量。=（祗1）3=（O.D.c=质.若a+2曲港直.则上=

参考答案：

-3

17.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请

了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.

如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学

是.

参考答案：

乙

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

[10'

18.已知矩阵AU2」，若直线J=h在矩阵、对应的变换作用下得到的直线过点

中，5）,求实数*:的值.

参考答案：

iXs!•

wy-M代入直线y=公用八

将/AL5）代入19A・2.

fit1**亦可将点AL5）d班薛A的《明陆hHjTWft点的挈幄代入。线＞=区.从而氽出*的

依•）

_1

19.已知函数f(x)=3x3+ax2-x+b,其中a,b为常数.

1

(1)当a=-l时，若函数f(x)在［0,1］上的最小值为百，求b的值；

(2)讨论函数f(x)在区间(a,+8)上的单调性；

(3)若曲线y=f(x)上存在一点P,使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线

互相垂直，求a的取值范围.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】导数的综合应用.

【分析】(1)当a=-l时，求出函数的导数，利用函数f(x)在［0,1］上单调递减，推

出b的关系式，求解b即可.(2)利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=

-a,求出极值点两个不等实根x「=-a±①当方程尹(x)=0在区间(a,

+8)上无实根时，②当方程/(x)=0在区间(-8,a］与(a,+8)上各有一个实根

时，③当方程f'(x)=0在区间(a,+8)上有两个实根时，分别求解a的范围即可.

(3)设P(xi,f(xD),则P点处的切线斜率皿=x/+2ax「1,推出Q点处的切线方

222

程，化简,得xi+2xz=-3a,通过两条切线相互垂直，得到(4x2+8ax2+3a-1)(x2+2ax2

-1)=-1.求解X2'+2ax2-12-(a2+l),然后推出a的范围即可.

【解答】解：(1)当a=-1时，f'(x)=x2-2x-1,所以函数f(x)在［0,1］上单调

递减，…

111

由f(1)=3,即3-l-l+b=3,解得b=2.…

(2)f(x)=x，2ax-1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=-a,

因为△=4/+4>0,f'(x)=0有两个不等实根xi,2=-a±7a2+l,…

①当方程尹(X)=0在区间(a,+8)上无实根时，有

-a<Ca

f'(a)解得

②当方程f'(x)=0在区间(-8,a］与(a,+8)上各有一个实根时，

有：*(a)<0,或&(a)=0,解得W…

'-a>a

③当方程f'(x)=0在区间(a,+8)上有两个实根时，有(a)>0,

a0近

解得3.

f(x)在区间(a,+8)上是单调增函数;

时，f(x)在区间(a,-a+7a2+l)上是单调减函数，在区间

当

-a+Va2+l,+8)上是单调增函数

当a<一3时，f(x)在区间(a,-a-Va2+l),(-^a2+l,+-)上是单调增

函数，在区间(一&-"+1,"aWa2+l)上是单调减函数.…(10)

(3)设P(xi,f(xi)),贝UP点处的切线斜率mi=x『+2ax「1,

又设过P点的切线与曲线y=f(x)相切于点Q(x2,f(x2)),xiWx2,则Q点处的切线

方程为

2

y-f(x2)=(x2+2ax2-1)(x-x2),

2

所以f(xi)-f(x2)=(x2+2ax2-1)(xi-x2),

化简，得Xi+2x2=-3a.

因为两条切线相互垂直，所以(x「+2axi-1)(x2-+2ax2-1)=-1»

z22

即(4x2+8ax2+3a-1)(x2+2ax2-1)=-1.

令t=X2?+2ax2-12-(a+1),则关于t的方程t(4t+3a2+3)=-1在tG[-(a~+l),

0)上有解，…

11

所以3a+3=-4t-124(当且仅当t=-工时取等号)，

1

解得a2^3,

-8,-争U再，+8)

故a的取值范围是OO

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的

应用，考查转化思想以及计算能力.

20.已知函数f(x)=m-|x-1|-2|x+l|.

(I)当m=5时，求不等式f(x)>2的解集；

(II)若二次函数y=x?+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.

参考答案：

【考点】绝对值不等式的解法；二次函数的性质.

【分析】(I)当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每

个不等式组的解集，再取并集，即得所求.

(II)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1取得最小值2,f(x)在x=-1处取得

最大值m-2,故有m-222,由此求得m的范围.

3x+6,x<-1

f(x)=--x+2,

【解答】解：(I)当m=5时，4-3x,x>l，由f(x)>2可得

'x<-1[X>1

3x+6>2①，或1-x+2>2②，或["3x>2③.

解①求得-写解②求得-IWxCO,解③求得xd?,

xF(-40)

易得不等式即4-3x>2解集为3'.

(2)由二次函数y=x?+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1取得最小值2,

3x+l+m,x<C_1

f(x)=--x-3+in,

因为-3x+m-l,x>l在x=-l处取得最大值m-2,

所以要使二次函数y=x?+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点，只需m-222,

求得m24..

2i.已知抛物线c顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线c上一点°(42)到焦点的距离为

3,线段4r的两端点/(玉・鼻)，A(巧•力)在抛物线c上.

(1)求抛物线c的方程；

(2)在抛物线c上存在点满足巧<5<巧，若A9是以角Z为直角的等

腰直角三角形，求儿讨小面积的最小值.

参考答案：

5r例=3=20

(1)设抛物线的方程为抛物线的焦点为尸，则II2,所以

，二］，则抛物线°的方程为3=4尸.

(2)如图所示,

阊,'同,“巧”彳)，根据抛物线关于,轴对称，取A°,记

设

k.=A,U=,

则有“一4,〜一4,所以马=蜚-不，巧=强-不，fT,

又因为A声是以/为顶点的等腰直角三角形，所以四

即3+E-|xJ-xil=如耳K一鼻1,将巧.巧代入得：

______41?-4

4+4’*—-1=如*5'%-乂I化简求出5,得："*■»•入，

则7」叫邛常抉*)，可以先求网的最小值即可，

9

⑷小诃削厂标产=舞

与♦/，令rr,

-(?♦职2TO(2M1)(?♦1)»

八1------------7^5----------------------------

则(尸山

I