高中数学-17 秦九韶 （以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题17秦九韶

（以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的

三边长分别为兄"c,那么三角形的面积+丁2）｝后人称之

为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式

S板=向不二H刁标书（p=；S+）+c）］实质是相同的.若在中，

”=2*=3,c=4,则"C的内切圆半径r的值为（）

A屈n屈「屈V15

A.---D.---C.---nU.---

3456

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据题干的面积公式计算，然后根据等面积法计算可得该三角形的内切圆的半径.

【详解】

1Q

由题可知：a=2,b=3,c=4,p=-（a+b+c）=-

22

又S&KBC=JMP-"）（P-6）（P-C）（P=g（a+b+c））,

g、i。19,9〜9“9八/95313/

所以S/u8c=\/T（T-2）（T-3）（T-4）==A/-X-XTXT=---

V2222722224

19

由S4ABe=~艾ab+c）?r-r,

所以r=姮.

6

故选：D

2.南宋时期，我国著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，

称之为“三斜求积术这个公式能用三角形的三边a、b、c来求三角形的面积S数学课

上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着

S=/C%2_13，请问□里是（）

A.b2+c2-a2B.a2+b2-c2

C.c2+a~-b~D.a'+b~+c

【答案】C

【解析】

【分析】

由面积公式与余弦定理进行推导，得到答案.

【详解】

故选：c

3.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称

宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演

段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉

鉴》.现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉

算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作

的概率是（）

2345

A.7-B.-77-D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】

先求其对立事件的概率，再用1减去其对立事件的概率即为所求

【详解】

解析：所求概率尸=1-岑=5

故选：D

4.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边

长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式5=画（〃-0（p-份（p-c）求得,其中P

为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边

长满足a+b=8,c=6,则此三角形面积的最大值为（)

A.3百B.8C.4>/7D.9G

【答案】A

【解析】

【分析】

求出P=7,利用海伦——秦九韶公式将面积S表示为。的函数，利用。的范围及二次

函数知识可求出结果.

【详解】

依题意可得p=g(“+6+c)=g(8+6)=7,

所以S="(7-a)(7-b)(7-6)="(7-=8一/+8a-T)

=g[-d)2+9],

,\a+c>bfa+6>8—〃一

因为,即,所以

[b+c>a[8-a+6>a

所以当a=4时,S取得最大值3币.

故选：A

5.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积''公式.设

△ABC的三个内角4B,C所对的边分别为a,4c,面积为S,“三斜求积”公式表示为

]「(a2+c2-h2Y

S=-a2c2-\---------.在△ABC中，若/sinC=4sinA(a-c)2=〃-4,则用

FLI2〃

“三斜求积”公式求得△A8C的面积为()

A.V2B.2上C.GD.2>/2

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理边角关系可得ac=4,再结合已知可得〃+C2-Z/=4,代入“三斜求积”公

式即可求面积.

【详解】

由正弦定理可得：八=4a,则呢=4,

-lac+c1=/-4,HPa2+c2-b2=2ac-4=4,

所以S=手(16-4)=旧.

故选：c

6.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中给出了三角形面积的求法：“以小斜幕并

大斜累减中斜累，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜累减上，余四约之，为实.一为从

隅.开平方得积如果把以上这段文字写成公式，就是s=#//_『+；一,根

据此公式，ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若c2sinA=3sinC,且

（。+。）2-从=10,则一ABC的面积为（）

B.(C,也

2

【答案】B

【解析】

【分析】

结合正弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】

依题意＜?sinA=3sinC,由正弦定理得ac?=3c,ac=3,

（a+c）2-b2=10,a2+2ac+c2-b2=10,

a2+6+c2-b2=}0,c2+a2-b2=4,

故选：B

7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种

方法称为“三斜求积”：以斜基并大斜嘉减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜基乘大

斜累减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五

“田域类''里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三

角形田地，三边分别为13,14,15,则该三角形田地的面积是（）

A.84B.168C.79D.63

【答案】A

【解析】

【分析】

根据“三斜求积”可得三角形面积公式为S=；-,代入数值计算

可得；

【详解】

解：依题意设.,A8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c^a>b>c,则三角形

面积公式为S=,,a%2_（/+c2加],又。=]5,。=[4,。=13,所以

S=J15晨132_r+1；-13]=84

故选：A

8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角

形面积的方法“三斜求积术“，即3ABe的面积S=J；7],其中

V2sinB

“力，c分别为；ABC的内角A8,C的对边，若b=l,且tanC=则二ABC的

1-0cos8

面积的最大值为（）

A.在B.72C,3

D.G

22

【答案】A

【解析】

【分析】

夜sin5

先根据tanC=求出关系,代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.

l-V2cosB

【详解】

5/2sinB

因为tanC=所以sinC=/sinCcos8+0cosCsin8，

1-V2cosB

即sinC=>/2sin(C4-B)=y/2sinA；

山正弦定理可得C=04,所以S=

=；/（/一3）+8；

当“增时，S取至撮大值孝.

故选：A.

9.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦

九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜

和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：

42c2_其中“，b,c是［ABC的内角A，B,C的对

边.已知,ABC中，会产-b=2,则一ABC面积的最大值为（）

b2-cosB

A.-B.-C.—D.75

332

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理化进行边角转换可得c=2«,代入面积公式，变形后结合:次函数性质得

最大值.

【详解】

,acosA,sinAcosA......

r11)1—r'；=,2nsinA-sinAcosBD—cosAsinBD,

h2-cosBsinB2-cosB

即2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以勿=c，

a2+4a2-4\920264

\ABC=万小"4/一畀泞一争I+—,

499

所以/=胄,即叫半时，⑹神.）皿=34

=­

3

故选：A.

10.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和

秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中

斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为:

2

1a2+c2-b2"

，其中b,c是-ABC的内角A,B,。的对

a_cosAa-cosA

边.已知,ABC中,,则ABC面积的最大值为（)

h2-cosBcos3

4「6

A.-D.G

32

【答案】A

【解析】

【分析】

a_cosAa-cosA

根据,得到

b2-cos8cos8

2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,即c=2a,再由

acosB+bcosA=ab,利用余弦定理得到b=2,代入

,转化为二次函数求解.

【详解】

“…—一e〃cosA«-cosA

解：「ABC中，因为7=7;---------

b2-cosncos3

bySinAcosAa。一cosA

)力以----=---------,-=--------

sinB2-cosBbcos8

则2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,

即c=2a,

X67cosB+Z;cosA=ah,

.ar2+c--b~bi~2+c~、-a2

则mi----------+----------ab,

2c2c

即c=ab,贝ljb=2,

16

所以SMBC=+一,

79

当/二o微n时，一面积取得最大值为4

故选：A

11.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在.ABC中,

角A,B,。所对的边分别为小b,c,则△ABC的面积

"a2+b2-c2

5=；加)2一根据此公式，若〃cos8+S-夜c)cosA=0,且

[―

b2^-c2-a2=y/2^则AABC的面积为()

A.—B.3C.—D.立

4422

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据正弦定理化简已知，求得cosA=理，再根据余弦定理求儿，最后代入面积公

式求解.

【详解】

由正弦定理边角互化可知acosB+(b-y[2c)cosA=0化简为

sinAcosB+(sinB-V2sinCIcosA=0,

sinAcosB+sinBcosA=y/2sinCcosA

即sin(A4-B)=sinC=5/2sinCcosA

sinCw0,/.cosA=,

2

cosA』+J『二包。叵也,解得：bc=\,

2bc22bc2

根据面积公式可知s=小姐2_户；_。)=1^131=孝.

故选：A

12.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设

ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为

S=a*2c2-"+；~,若/sinC=2sinA,(a+c『=6+〃，则用“三斜求

积”公式求得.ABC的面积为()

A.也B.73C.。D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据因为"sinC=2sinA，(a+c)2=6+h2,利用正弦定理得到/+。2-6,红，代入

体枳公式求解.

【详解】

解：因为/sinC=2sinA，(a+c)--6+b2,

所以ac=2,a2+c2-b2=6-2ac-2,

故选：A

13.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个：ABC的三边长分别为a,b,c,

三角形的面积S可由公式5=Qp(p-G(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一

半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.现

有一个三角形的周长为24,c=6,则当三角形面积最大值时A8边上的高为()

A.8B.6夜C.12D.972

【答案】B

【解析】

【分析】

代入公式S=Jp(p-a)(p叫(p-c),结合基本不等式可得当a=b=9时三角形的面

积取得最大值，再计算AB边上的高即可

【详解】

由题意得，a+b=lS,p=12,则

5:42(12_4)(12_。)(12_6)=6&x^(l2-a)(12-^)

<6V2x12~q+12-Z>=6V2x3=18V2,

2

当且仅当12—4=12—乩且。+。=18,即。=力=9时，等号成立，此时三角形的面积

取得最大值，所以AB边上的高为卜-图=6为

故选：B.

14.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公

式，设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,“三斜求积”公

式表示为S=、；q2c2_("+；.在一ABC中，若/sinC=6sinA，

(a+c)2=16+〃，则用“三斜求积”公式求得/8C的面积为()

A.且B.百C.2夜D.4夜

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据若i?sinC=6sinA,(c+c)--16+i)2,得至I]ac和片+/一从，代入

C122(a2+c2-b2Y.

S=l-a2c2------------求解即可.

【详解】

解：因为a2sinC=6sinA,

所以a2c=6a»即QC=6,

又(a+c)~=16+尸，

22

所以〃2+c-h=4，

所以S=J；[36-4]=2夜，

故选：C

15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即"C的三个内角AB,C

所对的边分别为则3ABe的面积sR己知在二.c

中，accosB=6,6=2拒，贝hABC面积的最大值为（）

A.>/33B.2月C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由条件accosB=6,8=2&得=20,由基本不等式得如W10,再由

可求解.

【详解】

..„a2+c2-b2a2+c2-b2,..r-,21ch2”

.accosB=ac>---------------=----------------=6.又7.b=2V2，ar+<?=12+厅=20.

lac2

22

.••acW里上=10（当且仅当a=c=加时取等号）.

2

」ABC面积的最大值为4.

故选：D

16.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容

为：“以小斜事并大斜罂减中斜累，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜幕减上，余四

约之，为实.一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即

S=j；a2c2-].（其中S为面积，a,b,c•为"8C三个内角A,B,C

所对的边）.若bcosC+ccosB=4,c=2下，且o=c（cos3+&cosC）,则利用“三

斜求积”公式可得△AHC的面积S=（）

A.2aB.2币C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

将6cosC+ccosB=4利用余弦定理化角为边，求得。，利用正弦定理将

“=以8$8+拒8$0化边为角，求得6,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】

解：因为0cosc+ccos8=4,

“I2）22”

I人.».mzpq—cQ+C—h

由余弦定T理可r得〃----------+c---------------=4,

2ablac

所以〃=4,

又因为。=c(cos8+&cosC),

山正弦定理可得sinA=sinCcosB+41sinCcosC),

即sin(B+C)=sinCeosB+V2sinCeosC),

所以sin8cosC=&sinCcosC，

TT

因为”>c,所以A>C,所以C<],

所以sin8=0sinC，

所以Z?=&c=4，

代入S=6-2_产+；-6[=J/16X8")=2"

故选：B.

17.已知三角形的三边长为〃、b.c,则三角形的面积为（海伦一秦九韶公式）

：,若钻。，则

s=Jp(p_a)(p_b)(p_c)p="++cAC=8,BC+BA=\2,

ABC面积的最大值为（）

A.8A/5B.8GC.16D.4Vm

【答案】A

【解析】

【分析】

根据海伦一秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：在.ABC中，由AC=8,3C+84=12,

则b=8,a+c=12,则a+/?+c=20,

匚匚I、Ia+b+c

所以p=---=11A0,

所以SABC=J10(10—a)(10_8)(10-c)

=2>/5-7(10-a)(10-c)

42》J0i+10-c

2

=8石，

当且仅当10-a=10-c,即a=c=6时，取等号,

所以A3C面积的最大值为86.

故选：A.

18.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形

面积的方法：“以小斜累并大斜累减中斜累，余半之，自乘于上以小斜累乘大斜幕减

上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积如果把以上这段文字写成公式就是

<22»2、

S=a+c-",其中a,h,c是ABC的内角A,B,C的对边，若

12）

sinC=2sinAcos且。2+/=4,则ABC面积S的最大值为（）

A75n2后「3不c

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理和余弦定理得到a=b,代入面积公式并根据基本不等式可求出结果.

【详解】

=2叵，当且仅当02=§,时，等号成立

555

故选：B

19.数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在

其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的

海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小

斜寨并大斜基减中斜基，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜塞减上，余四约之，为实.

一为从隔，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即

S=,其中b、C分别为内角A、B、C的对边.若

—产-----=-----，b=2,则ABC面积S的最大值为()

V3sinBtanC

A.百B.75C.2D.72

【答案】A

【解析】

【分析】

将已知等式结合tanC=•进行化简，得到sinC=6(sin8cosc+cos8sinC)=

cosC

^sin(B+C)=x^sinA,并利用正弦定理可得c=瓦，代入“三斜求积”公式

S=Rqd/+丁2］并将/看成整体并利用二次函数性质得解

VLI2川

【详解】

1-Vicos8_1

5/3sinBtanC

\tanC=.g智

1-V3cosB

sinC

又tanC=

cosC

百sin8_sinC

所以

1-5/3cosBcosC

所以GsinBcosC=sinC(l-^3cosB),

所以百sin8cosC=sinC-V3sinCcosB

所以sinC=>/3(sinBcosC+cos5sinC)=>/3sin(B+C)=V3sinA,

山正弦定理得c=s/3a,

Qb=2,

oABC的面积S=Ja*2c2-3a4-（2a2-2）2,

=g（"+8笳-4）,

将a?看成整体并利用二次函数性质得，当/=4即。=2时，ABC的面积S有最

大值为6

故选：A.

二、多选题

20.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小

斜幕，并大斜幕，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，减上，余四约

之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即

S=l-c2a2-（C2+a2~b2}（S为三角形的面积，a,6、c为三角形的三边）.现有

△ABC满足sinA:sin8:sinC=2:3:J7,且△ABC的面积工入阮=6石，则下列结论正

确的是（）

A.△ABC的最短边长为4B.△ABC的三个内角满足A+B=2C

C.△48C的外接圆半径为生旦D.△A8C的中线C£>的长为34

【答案】AB

【解析】

【分析】

结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：

CD=^（CA+CB）.

【详解】

因为sinA:sin8:sinC=2:3:J7，所以由正弦定理可得〃：Z?:c=2:3:J7,设。=2f,

b=3t,c=77r（z>0）,因为5c=66，所以

6百=L7/*4/-，产+4/―9产,解得f=2,则。=4,b=6,c=2>/7,4正

所以C=工，A+B=^--=—=2C,故

2x4x62333

B正确;

因为C=W，所以sinC=3，由正弦定理得2R=_£_=生巨T0错

32sinC3

误;

|UUU|21/Utruur,2\(\\

CD=；(C4+CB),所以卬|=-(CA+CB)=-xl36+16+2x4x6x-1-19,故

CD=y/19，D错误.

故选：AB.

21.《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问

题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中

在卷五“三斜求积’'中提出了已知三角形三边“，b,c求面积的公式，这与古希腊的海

伦公式完全等价，其求法是：“以小斜基，并大斜恭，减中斜靠，余半之，自乘于上;

以小斜嘉乘大斜累，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积若把以上这段

文字写成公式，即S=一从）,现有周长为5+近的ABC满足

a:6:c=2:3:夕.判定下列命题正确的有（）

A.在ABC中角C=30。B.ABC的面积为述

2

C.ABC的外接圆半径为竺D.ABC的内切圆半径为56一历

36

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出边长“，b,c,再利用正余定理、面积定理逐项分析、计算判断

作答.

【详解】

因3ABe的周长为5+五，且三边长满足a/:c=2:3:",于是得

a=2,b=3,c=y/l,

由余弦定理得：cosC="一+"I=2+3--（近）-=，,而0<c<i80，则C=60,

2ah2x2x32

A不正确；

由选项A知，.ABC的面积S=LAsinC='x2x3xsin60=土叵，B正确；

222

由选项A及正弦定理知，aABC的外接圆半径R有2/?=—L==2叵，解得

sinCsin603

/?=—,c正确；

3

设“IBC的内切圆半径为r,则。枷的面积S=4（a+〃+==迪，解得

222

5V3-V21cp总

r=———--，DilJiif].

6

故选：BCD

22.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积

的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜暴减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜累减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,

c2+a2-b2Y

即$=匕.现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:J7,且

s6ABe=66，请判断下列命题正确的是（)

A.△ABC周长为5+4B.c=-

3

△中线的长为巫

C.△ABC的外接圆半径为迥D.ABCCQ

32

【答案】BC

【解析】

【分析】

由题设及正弦定理得a:A:c=2:3:小，再结合已知条件求心从c判断A的正误；应

用余弦定理求角C,正弦定理求外接圆的半径，作OELAC应用勾股定理求CO.

【详解】

由题设及正弦定理知：a:b:c=2:3：y/l,令a=2x,6=3x,c=，x且x>0,

S=&[28/-（石2+4；.9/）\二手/=6y/3,可得x=2,

所以a=4/=6,c=2S\则^ABC周长为10+26，A错误；

cosC="~+方"I又0<。<t，则C=f,B正确；

2ab23

△ABC的外接圆半径为/?=」一=2叵，C正确；

2sinC3

如下图，过。作DELAC,由题设知：Swc=3K=；x6-OE,则£>E=退,

又AD=3=币，可得AE=2»故CE=4,

所以CD=>JDE2+CE2=，用.D错误.

c

B

故选：BC

三、双空题

23.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小

斜基，并大斜塞，减中斜靠，余半之，自乘于上；以小斜嘉乘大斜塞，减上，余四约

之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即

S上士艺为(其中S为三角形面积，a,b,。为三角形的三边).在非直

角.ABC中，“，b,。为内角A,B,C所对应的三边，若。=3且

a=c(cos8+6cosC),则ABC面积的最大值是,此时。=.

【答案】还3

4

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化

简，结合二次函数的性质可求.

【详解】

解：因为〃=c(cos3+GcosC),

由正弦定理得sinA=sinC(cosB+\^cosC)=sin(B+C),

P)F以sinCcos3+sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，

即6sinCcosC=sin8cosc,

因为ABC不是直角三角形，所以cosCwO,

所以75sinC=sin3,

由正弦定理得b=

由题意可得S=X9-(9-3c-2LJ-4(d-9)2+243,

V424V

当，2=9即c=3时，43c的面积最大，此时Sm"=券.

故答案为：唯，3.

4

24.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民

族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一''.他独立推出了“三斜求

积”公式，求法是：“以小斜累并大斜幕减中斜累，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜累减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成从三条边

长求三角形面积的公式，就是S=c2a2-（C'+a~~b'}.现有A8C满足sinA:

rLI2川

sinB:sinC=2:3:>/7,且，ABC的面积是66,则一/lBC的周长为,边中

线C力的长为

【答案】10+25##25+10M

【解析】

【分析】

由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用%s=地即可

求出中线CD的长.

【详解】

因为5抽4:$山8411。=2:3:近，由正弦定理可得a:6:c=2:3:J7,

'设a=2k,b=3k,c=Jik,

则由题可得s=2.正—［匕口>6G解得％=2,

则的周长为a+8+c=（5+J7）%=10+2j7,

因为C。为中线，中，AC=6,AD=S，设C£>=x,

1（4672\

则5.8=-36x7--x-=3百，解得x=M或啊.

V4I2J

又在三角形中，BD+BC>CD,所以CO=M.

故答案为：10+24；M.

四、填空题

25.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为

a,b,c,则三角形的面积S可由公式5=J/?(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中P为三

角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足

a=4,h+c=6,则此三角形面积的最大值为.

【答案】2石

【解析】

【分析】

结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值.

【详解】

a+b+c4+6.

p=——5,

22

所以.:角形的面积S=j5x(5-4)x(5-3)x(5-c)

=^5x（5-/?）x（5-c）<

当且仅当b=c=3时等号成立.

故答案为：2小

26.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在A3C中，

角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,则的面积

S=.根据此公式，若acosB+(6—2c)cosA=0,且

〃+。2_/=4,贝ijA8C的面积为.

【答案】6

【解析】

【分析】

首先根据正弦定理化简已知，求得cos4=g,再根据余弦定理求儿，最后代入面积公

式求解.

【详解】

解：由正弦定理边角互化可知«cosB+(b-2c)cosA=0化简为

sinAcosB+(sinB-2sinC)cosA=0,

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA

即sin(A+3)=sinC=2sinCcosA

b1+C1-a

根据面枳公式可知S=L=—V16—4=5/3

22

故答案为：G

27.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幕，并大斜

累，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜哥，减上，余四约之，为实；一

为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S=J；+『2)(其中s

为三角形的面积，“，b,c为三角形的三边).在斜.A8C中，。，4c分别为内角4,8,C所

对的边，若〃=c(cos8+bcosC),且〃sinC=>AsinB.则此43C面积的最大值为

【答案】典

4

【解析】

【分析】

由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得

sin5=6sinC,再由正弦定理得b=6c,代入面积公式得面积S为c的函数，结合

二次函数性质得最大值.

【详解】

解：*.*a=c(cosB+cosC),sinA=sinC(cosB+\/3cosc),

BPsinCcosB+>AsinCcosC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

BP6sinCeosC=sinBcosC,

7T

又CE(OZ)且则cosCwO,

2

•0-sinB=6sinC,•••b-Ge,

又asinC=Gsin8，所以解得。=3,

c2+a2-b2

c=3时，S

故答案为：

4

【点睛】

思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦

定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面

积，从而可得最大值及边长.

28.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求

积术”，即在，/WC中，角所对的边分别