2022-2023学年广东高一年级下册五月阶段性限时训练数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年广东高一下册五月阶段性限时训练数学模拟卷

(含解析)

第一部分选择题(共60分)

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1,已知集合In(XT)<0},8={"N∣N=2T,X5},则人8=()

A.(1,3)B.(1,2]

C.D.(-l,+∞)

【正确答案】B

【分析】根据对数函数的单调性以及指数函数的单调性化简集合，由集合的并运算即可求解.

【详解】由4={x∣ln(x-l)<0}得4={x∣1<x<2},由8={y∈N∣y=2,-l,xe/}得

B={y∈N∣l<y<3}={2},所以4U3=(1,2],

故选：B

2.若X+i=(2+i)(ʃ+yi)(x,yeR),则x+y=()

2

A.3B.2C.0D.-

3

【正确答案】D

【分析】由复数的乘法运算及复数的相等可求解.

【详解】x+i=(2+i)(y+M)=2y-y+(2y+y)i=y+3W,再根据复数的相等，有

X=y12

',C，解得X=V=—，所以x+y=—.

1=5y33

故选：D

3.已知a,为两个不同的平面，加，〃为两条不同的直线，则下列说法正确的是()

A.若a//B,mua,nuβ,则加〃〃

B,若or_L尸,加_La,则”?///?

C.若加_LJ_/,机J_〃，则e_L4

D.若aLβ,ml/a,则m_1_2

【正确答案】C

【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线加是否在平面〃内可得选

项B的正误；选项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线机与平面夕的位

置关系可得正误.

【详解】对于选项A,缺少加,〃共面的条件，因此得不到加〃”，直线机,〃还可以互为异面

直线，故A错误；

对于选项B,直线〃Z还可以在平面夕内，故B错误；

对于选C,由加上0,〃_1民加1•〃得分别为α,4的垂线，两个平面的垂线互相垂直则

这两个平面互相垂直，故C正确：

对于选项D,直线机与平面〃或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.

故选：C.

4.数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共

性与黄金分割相关.黄金分割常数①=避二ɪ也可以表示成2sin18。，则竺生/：=

2cos54°

()

A.2B.ʌ-C.√5-lD.√5+l

【正确答案】A

【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.

［详解］①N4-0)。_2Sinl8。.j4-(2sinl8°)_2sin18o∙2cos180_2sin360_

cos540cos540sin(90o-54o)sin36°

故选：A

5.在如图所示的三棱锥容器S-力BC中，D,E,尸分别为三条侧棱上的小洞，

SD:DA=CF:FS=2:1,BE=SE,若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥

容器体积的（）

5

875

-B-D-

A.999

【正确答案】A

［分析】考虑三棱锥F-DSE和三棱锥C-SAB的体积之比后可得正确的选项.

【详解】若该容器盛水最多，则水面恰好过。,民尸三点，

ς,×SD×SE×sinZ.DSE,

此时"---------------------------=Lt

3

S.SAB-XSAxSBxsinNDSE

2

,,41

设厂到平面ZBS的距离为4，C到平面NBS的距离为人，贝十=W，

a）ɔ

V1Q

故产L=,故最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的2,

vC-SAB99

故选：A.

6.已知A,B,C三点均在球。的表面上，Z6=BC=C/=2,且球心O到平面ZBC的

距离为2,则球。的内接正方体的棱长为（）

2∕38

A.1B.ɪλɪC.2D.-

33

【正确答案】D

【分析】先由球的截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即

可得解.

【详解】由题意，AZ8C的外接圆半径为--------------X——-------

sin60023

,所以r=记

设该球的半径为，可得∕=2?+

3

设该球内接正方体的棱长为。，所以3/=2x券J,所以α=∣.

故选：D.

/、fln(-x),x<0,/、/、

7.已知/(x)=｛：),则函数y=3∕2(χ)一2∕(χ)的零点个数为()

2^∖x≥0

【正确答案】C

【分析】由/(χ)解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数N=O时对应/(χ)值,

应用数形结合法判断零点个数.

【详解】由题设，当x<0时/(x)eR且递减，当X≥0时/(x)e(0,l)且递减，

2

令t=∕(x),则y=3r—2z=0,可得f=0或f=§,如下图示：

y-l∏(-χ)

2

由图知：，=0时有一个零点，Z=一时有两个零点，故共有3个零点.

3

故选：C

8.如图，在空间四边形ZBC。中，两条对角线/C,8。互相垂直，且长度分别为4和6,

平行于这两条对角线的平面与边/8,BC,CD,JeU分别相交于点E,F,G,H,

记四边形EFG//的面积为V,设签=x，则()

B.函数y=/(无)的最大值为8

C.函数V=/(x)在(Ot)上单调递减

D.函数＞=/(X)满足

∖SJ

/(x)=∕(1-x)

【正确答案】D

【分析】根据空间四边形的性质证明四边形ErG〃为矩形，然后根据比例关系求出函数

/(χ)的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可.

【详解】解：∙.∙/C//平面EFGH,8。//平面EFGH,

.-.ACHEF.ACHHG,BDHEH.BDHFG,

则四边形EFGH为平行四边形，

•••两条对角线ZC,8。互相垂直，

.∙.EHVEF，

则四边形EFG〃为矩形，

BE

,.∙—=X,

AB

4EHAEAB-BE,BE,

.∙.由——=——=-------=1-------=l-x，

BDABABAB

即E∕7=(I-X)BQ=6(l-x),

LEEFBE

同理就二茄=X'

则EF=x∙AC=4x,

则四边形EEG〃的面积为N=E"∙E尸=4x∙6(l-x)=24(x-χ2)=-24(x-^)2+6,

VX∈(0,1),

・•・当X=L时，函数取得最大值6,故A,B错误.

2

因为函数的对称轴为X=；,则函数在(0,g)上单调递增，故C错误.

函数的对称轴为X=-,

2

，函数y=f(χ)满足/(χ)=/(l-χ),故D正确,

故选：D.

二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，未选或有选错

的得0分)

9.448C是边长为2的等边三角形，已知向量7刃满足羽=2%，~AC=-hι+b>则下

列结论正确的是()

A.［是单位向量B.^BC∕∕b

C.a-b^∖D.5C1(4a+⅛)

【正确答案】ABD

【分析】A.根据是边长为2的等边三角形和荏=2)判断；B.根据羽=22，

AC=2a+b.利用平面向量的减法运算得到工判断；C.根据£=4益,3=与忑，利用

2

数量积运算判断；D.根据B=就，a∙b=-l'利用数量积运算判断.

【详解】A.因为“8C是边长为2的等边三角形，所以MM=2,又刀=22,所以々是

单位向量，故正确；

B.因为而=23,AC=2a+b-所以前=就—刘=E’所以反俑，故正确：

—∙I.—•.—♦—∙I..I

C.因为a=—4β,b=8C,所以。出=—Z8∙8C=-x2x2XCoSI200=—1,故错误；

222

D.因为6=8C，a∙b=—1>所以'«4〃+B)=b«4。+坂)=4n∙b+坂=—4+4=0,

所以前_L(4Z+根故正确•

故选：ABD

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.

10.下列命题为真命题的是（)

A.若一2<α<3,1<6<2,则一4<〃一b<2

B.若QC2>bcλ，则4>力

/77777

C.若b<α<0,掰<0,则一>一

ab

D.若a>b,c>d,则αc>bd

【正确答案】ABC

【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；

对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明：

对于D：取特殊值a=2,b=1;C=-2,d=-3即可否定结论.

【详解】对于A：因为1<6<2,所以-2<-6<-l.

因为一2<4<3,利用同向不等式相加，则有一4<4一6<2.故A正确；

对于B：因为"2>hc2,所以02#0,所以4>o,对4°2〉b02两边同乘以，■,则有α>b.

cc

故B正确；

对于C：因为b<α<0,所以L<L<O.

ab

因为加<0,所以一机〉0.

11—〃2—mnιnι

对一<7两边同乘以一加，有---<---->所以一>一.故C正确；

ababab

对于D：取Q=2,6=l;c=-2,d=-3,满足a>b,c>d,但是αc=∙-4,bd=-3,所以

ac>bd不成立.故D错误.

故选：ABC

II.如图，正方体/8CD—4囱GOi中，P,。分别为棱8C和CG的中点，则下列说法正

A.∕ι“平面AQP

B.BCi〃平面尸

C.异面直线4C与尸。所成角为90。

D.平面/Q尸截正方体所得截面为等腰梯形

【正确答案】BCD

【分析】对于A,假设4。，平面/。尸，则4OL4P,而4。〃耳尸，不垂直于/P,

推出矛盾，由此可判断；对于B,由已知得8C∣∕∕PQ,根据线面平行的判定定理可判断；对

于c,由线面垂直的判定定理可得尸。上平面44C,继而由线面垂直的性质可得尸Qj-4。,

由此可判断；对于D,连接4)”DxQ,则4Z√∕P0,且/A=gp0,APDxQ,由此

可判断.

【详解】解：对于A,若/平面工。尸，则小Z)J_/P,取88∣的中点连接必j,AM,

设正方体488—48IGA的棱长为2,则AP=瓜MP=6,AM=#,不满足勾股定

理，所以M尸不垂直于力产，

而4∣D∕∕MP,所以《。不垂直于ZP,所以小。工平面NQ尸不成立，故A不正确；

对于B,因为P,Q分别为棱BC和CG的中点，所以BGllPQ,又BC0平面APQ,PQU

平面ZPQ,所以BG〃平面/P。，故B正确;

对于C,连接5C,则SC_LP。，又4片，平面8CC∣4,P。U平面BCGg,所以

AB1-LPQ,

因为4与080=鸟，所以尸。人平面4，c,又4Cu平面4第7,所以PQ^4C,所

以异面直线4C与P。所成角为90。，故C正确；

对于D,连接N。，DI°,则且/2=gp。，AP=D1Q,所以平面40尸截

正方体所得截面为等腰梯形，故D正确，

故选：BCD.

12.已知函数/(x)=Sin(S:+划口〉o,∣d≤',》=一(为函数/(》)零点，直线％=(

为函数/(χ)的对称轴，且/(χ)在(方,葛)上单调,

则。不可能等于()

A.11B.9C.8D.6

【正确答案】ACD

【分析】根据X=-（为函数/（X）零点及直线X=?为函数/'（X）的对称轴，则

I兀I

ω×∖--∖-^-φ=kπ9后∈Z,ω×--∖-φ=nπ+"∈Z,化简得到①=2（〃-

再由/（X）在］上单调，则一X--≥-----—,即69≤12,再逐项验证.

v7<1836J2ω3618

【详解】因为工=-（为函数/（x）零点,

所以0XΛ∈Z,

又因为直线X=（为函数/（x）的对称轴,

LLtl乃兀_

所以①χ.+e=〃4+,,∕?∈z,

所以①=2（〃一左）+1,

又〃X）在低，金上单调，

y1O30,

rr.12TT57ΓK

贝IJ—X—≥------，即69≤12,

】ω3618

1∖ττ

当①=11时，———hφ—ATT,左∈Z,

∙∙∙∣^ι<f>

π

..φ

^4

-TT54）

此时/（χ）在上不单调，不满足题意;

1836）

9万

当8=9时,-----∖~(p=kττ，《∈Z,

4

∙∙∙∣^∣≤j1

.π

・∙(P=，

4

π5π

此时/（χ）在上单调，满足题意;

,

k1836

故。的最大值为9,

则切不可能等于11,6,8,

故选：ACD

Jl

方法点睛：(1)研究/(x)=ZSin(S:+8)3≠0)的对称轴，只需令①x+勿=5+kπ(k£Z)即可;

(2)研究,/(%)=ZSin(5∙+9)(G≠O)的对称中心的横坐标，只需令①x+s=E(左SZ)即可.

(3)研究y(x)=4sin(oλx+0)(GrO)的单调性，只需把s+g看作一个整体代入y=sinx的相

应单调区间内即可，对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数G的范围的问题，首先，

明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而

利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

第二部分非选择题(共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量Q=(加1)，6=(3—加〉0,/?>0,若G”b，则----1—的最小值为

3

【正确答案】一##1.5

2

ɪ21(12、

【分析】由向量平行坐标表示可得〃根据---(〃?+〃)，利用

+=3,/tΛΛ1---tΛ=~Λ.I--7----FM—J'/

基本不等式可求得结果.

【详解】YG∕∕B,∙∖m=3-n,即〃2+“=3,又加>0,〃>0,

12

——+—

2mn32mn312

n2/71

且仅当——二——，即〃=2加=2时取等号),

2mn

123

・二---1—的最小值为一.

2mn2

3

故答案为.一

2

14.已知定义域为［-2,2］的函数/(x)在卜2,0］上单调递增，且/(x)+/(—x)=0,若

/(-1)=，则不等式/(2x—1)≤ɪ的解集为.

【正确答案】一g,l

【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数/(X)在［-2,2］上单调递增，再利用单调

性的定义求解.

【详解】解：因为定义域为卜2,2］的函数/(x)在12,0］上单调递增，且/(x)+/(—x)=O,

所以函数/(x)在［-2,2］上为奇函数，且在［-2,2］上单调递增，

又/(τ)=-g,所以/(1)=；，

又不等式/(2x-l)≤g等价于/(2x-l)≤∕(l),

所以—2≤2x-1≤1,解得—L≤x<l,

2

所以不等式/.(2x-l)≤L的解集为—.

22

15.一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与4B的位置关系为

(填平行、相交、异面).

M

【正确答案】异面

【分析】把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断.

【详解】如图，是展开图还原后的正方体，

由于MNU平面MVW,Ne平面NMN,AiMN,平面ZMN,

所以直线AB与MN是异面直线.

故异面.

N

16.已知长方体力3。＞一44£。，AB=BC=I,4]=2,在上取一点M,在8。

上取一点N,使得直线MN//平面AλACCλ,则线段MN的最小值为.

【正确答案】；2

【分析】以为χ,y,z轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面

Z4G。的法向量，由向量而与平面Z4G。的法向量垂直可得关系式，从而表示出砺

的模，然后可求得最小值.

【详解】如图，以D4。A为X，％Z轴建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D(0,0,0),40,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2),

JC=(-1,1,0),五彳=(0,0,2),设平面ZCG4的一个法向量为万=(χ,y,z),

Fp∙AC=-x+y=0,C_

则——，取x=l,则V=Lz=O,即P=(1,1,0),

Ip.力4=2Z=O

又丽=(0,1,-2),=(-1,0,-2),丽=(0,1,0),

设4用=几43,B∖N=>ιB∖C,则M7V=M4I+48|+gN=(—〃,l—4,2；l_2〃),

∣W∣2=(—〃)2+(1-2)2+(2Λ-2〃)2=522+5√-8/1〃-22+1

_,.4〃+1、2944

=5(2----)+—(〃——)2+-,

5599

"四=04=』

5,即，9I----∣242

当《4时，阿取得最小值即MN的长度的最小值啊.

4

μ—=0μ=-

99

本题考查用向量法研究直线与平面平行，考查向量模的坐标表示.解题关键是建立空间直角

坐标系，把线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，把向量的模用坐标表示后

求得最小值.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

j1%2÷X2—7

17.(1)已知以;丫/一？，计算----------i-----Γ;

Λ"rΛ-Ji———

x+X^+X2+X2

2

(2)(lg5)+Ig2×Ig5+Ig20+Iog225×log,4×Iog59.

【正确答案】4,10

【分析】(1)根据指数基的运算平方即可求解，

(2)根据对数的运算性质即可化简求解.

,,(i_iV

21

【详解】(I)由AiA一-D［可得x>0,将其平方得/+χ2=3=>X+X^=7,将

\7

22

X+x^_747-7

x+χ-'=7平方可得Y+χ-2=47,所以---------7~~-=工y=4,

x+x^,+x^+x3

(2)

2222

(Ig5)+lg2×lg5+Ig20+Iog225XIog34XIog59=Ig5(Ig2+Ig5)+Ig20+Iog25XIog32XIog53

=Ig5+lg20+2×2×2Iog25XIog32XIog53=IgIOO+8Iog25XIog53XIog32=2+8=10

18.已知复数Z[=加+(4-加2)，z2=2cos^+(2+3sin^)i(2,6*,m∈7?).

(1)当”,=T时，Zl是关于X的方程2/+外+4=0的一个根，求实数P,4的值;

(2)若Zl=求；I的取值范围.

^9'

【正确答案】(1)p=4,q=20；(2)Λ∈-7,—.

【分析】(1)求出Zl以及zj,然后将根代入方程，化简后由复数相等的定义，列式求解即

可；

(2)利用4=或，得到关于；I的关系式，由正弦函数的有界性，求解即可.

【详解】解：(1)当附=-1时，z1=-l+3i,

则z：=(—i+3iy=—8-6i,

由题意可知，2zj+pz∣+q=0,

即2(—8—6i)÷p[~1+3i)+g=0,

整理得g-pT6+(3pT2)i=0,

所以q—p—16=°,3/?-12=0,

解得p=4,q=20

(2)因为Z1=Z2，

所以加+(4-加2)i=2cos6-(4+3sin8)i,

m=2cos。

所以《,消去加，

4-∕w2=-4-3sin0

整理得4=-4sin2。一3sin6，

Xsin∈[-1,1],

八「9"

所以4∈-7,—.

19.如图，一条河两岸平行，河的宽度ZC=√ikm，一艘船从河边的/点出发到达对岸的

8点，船只在河内行驶的路程/3=2km,行驶时间为0.2h.已知船在静水中的速度W的大

小为Ml,水流的速度匕的大小为同=2km∕h.求：

⑴同；

(2)船在静水中速度K与水流速度为夹角的余弦值.

【正确答案】(I)Fl=2&T

(2)叵

14

【分析】⑴先求出船只沿/8方向的速度为H=IOkm∕h,(ζ,^=60o,利用向量的数

量积运算求出同；(2)利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度M与水流速度为夹角.

【小问1详解】

因为船只在河内行驶的路程AB=2km,行驶时间为0.2h，

所以船只沿48方向的速度为H=言=10km∕h.

由4C=J5km,AB=2km,根据勾股定理可得：BC=正-3=lkm,所以NBAC=30°，

即(ER)=60。

v

由^=匕+玲，得：ι=V2-V,

2222

所以IWI=J(U2i)=∖v2-2v2∙V+V=y∣2-2×2×10cos60°+10=2y∣2Λ

【小问2详解】

-∙∙—>—∙2/■,—∖2

因为口=巧+匕，所以U=Iv1+v21，

即100=0"［『+2'20?又2（：05,1+22,解得.CoS（F,E）=答

/Tf

即船在静水中速度vl与水流速度V2夹角的余弦值为M.

20.如图，在四棱锥8-/CDE中，正方形48E所在的平面与正三角形/8C所在的平面垂

直，点Λ/,N分别为8C,AE的中点，点尸在棱Cz）上.

（2）若/8=2,点M到《尸的距离为乂理，求C尸的长.

5

【正确答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】（1）证得MN〃EG,然后根据线面平行的判定定理即可证得结论；

（2）作出辅助线，结合MK=叵可求得/K的长度，进而求出C77,然后在4/C尸中利

5

用等面积法即可求出结果.

（1）证明：取BD的中点G,连接EG,MG,

∙.∙Λ∕为棱8C的中点，

.∖MG∕∕CD,且MG=S

又N为棱NE的中点，四边形/8E为正方形，

：.EN//CD,且EN=CD.

从而EN〃MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形，

则MN//EG.

:MN<Z平面BDE,EGU平面8DE,

；.MN〃平面BDE.

(2)解：过M作M/_L/C于/,

：平面/C0£_L平面48C,面ZCDE,

过/作于K,连接胸，则MKL4F.

•：AB=2,：.MI=2x6×L=好,：,MK=MI2+IK2=J-+IK2=—，

222V45

.∙.∕K=£S,过C作CHLZ尸于H,易知三=WL=3,则CZZ=Wixa=RS,

10CHAC41035

AC×CFICF

,,「口=---------=—,--

•AF√CF2+4,

；.CF=1.

21.已知一圆形纸片的圆心为。，直径4B=2,圆周上有C、。两点.如图，OCLAB,

兀——

Z400=一,点尸是上的动点.沿ZB将纸片折为直二面角，并连结尸。，PD,PC,

6

CD.

(1)当/8//平面PCo时，求PO的长；

(2)当三棱锥P-COO的体积最大时，求二面角0-尸。-C的余弦值.

【正确答案】（1）√3；

(2)T-

【分析】（1）利用线面平行可得Z8//尸。，进而求出等腰△尸。。的底角即可计算作答.

（2）由已知证明OC_L平面P。。，再由体积最大可得。尸，。。，然后作出二面角

。的平面角，借助直角三角形求解作答.

【小问1详解】

因Z6//平面PCD,Z6u平面PoD内，平面PC0Γ∣平面POD=PD,则有ABHPD,

因此，NPDO=ZAOD=工，而0。=。尸=1,则尸。=2。。CoSZPDO=2CoS工=√3，

66

所以尸。的长是JL

【小问2详解】

因OCj.48,平面ZBCl平面P。。，平面ZBCC平面POO=∕3,OCU平面/8C,

则OC，平面P。。，

三棱锥尸-C。。的体积

%COD=2。。OC=^D-OPSinZPODOC=UinZPOO，

因此，三棱锥P—C。。的体积最大，当且仅当SinNPOO=I,即。尸_L。。，

取尸。中点M,连接。W,CM,由OO=OP=I,OCJOCLO尸可得CD=CP,

如图，

于是得OM1PD,CMLPD,即ZCMO是二面角0—PD—C的平面角,

而OAZ=受，在RtACMO中，OC=I,则CM=NOM?+g=直,

22

Com6

cosZCMO=------=——，

CM3

所以二面角O-PD-C的余弦值是①.

3

22.已知∕∙(x)=与%是定义在实数集R上的函数，把方程/(x)=L称为函数/(χ)的

特征方程，特征方程的两个实根α,称为函数/(χ)的特征根.

(1)讨论函数/(χ)的奇偶性，并说明理由；

(2)求/(夕)一/(。)的表达式；

(3)把函