2023年高考第一次模拟考文科数学试卷乙卷（解析版）

2023年高考第一次模拟考试卷（乙卷（文））

数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1.集合A={x|x2_5x+6>0},B|<0j-,则AB=()

A.(0,1)B.(v,l)C.(1,2)D.(2,3)

K答案1A

或x>3},B={x|二y<o:={x[O<x<

K解析》4=卜卜2_5*+6＞（）｝=｛犬|》＜21}

所以4B={X[0<X<1}=(0,1).

故选：A.

2.已知复数4与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则」」=（）

1+i

K答案XD

K解析》复数4与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称,

/.Z]=3+2i,

z,_3+2i(3+2i)(l-i)5-j

T+i-1+i-(l+i)(l-i)

故选：D.

3.已知向量满足何=1,匕=（"0）,|a-0=J7,则“与方的夹角为（）

71C兀c兀C2兀

A.-B.-C.-D.—

6433

K答案XD

K解析》由匕=（3,拒）可得卜卜“拉）2.『=2,

因为,=（〃_/?）=卜《一2〃/+恸=7,解得

_ab_1_1

所以cos<〃,〃〉"丽=一百二一5'

又因为＜a乃＞e[O,n],

所以a与6的夹角为三，

故选：D

4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据（单位：箱）.已知

这两组数据的平均数分别为耳，和，若这两组数据的中位数相等，则（）

A.餐>K乙B./=x乙

C.司，〈和D.%,无的大小关系不确定

K答案UC

K解析?因为这两组数据的中位数相等，

所以x=3,

_74+76+83+91+92…

与=-----------------=83.2,

_70+y+82+83+90+931

x乙=——----------------=83.6+-y,

因为y=0,1,2,9,

所以与<x乙，

故选：C

x+2y>\

5.已知变量x,y满足约束条件,则z=x-3y的最小值为（）

y-1^0

A.2B.-4C.-3D.-2

K答案XB

x+2y>l

K解析》作出不等式组表示的平面区域，

y-1<0

1z1

由z=x-3y,得丫=X-：,作出直线y=§x,向上平移过点A时，目标函数取得最小

值，

fV=1fx=-l

由〈c,,得,，即A（T,1）,

[x+2y=l[y=l

所以z=x-3y的最小值为-l-3xl=T,

故选：B

J',

1|

、____________________g/一3

一

6.已知抛物线C:丁=2PMp>0）的焦点尸到准线的距离为4,点”（王,凶），N（9,%）在

/、，、MF

抛物线C上,若（y「2%）（乂+2%）=48,则十=（）.

/Vr

A.4B.2C.-D-?

4

K答案DA

K解析》抛物线。：丁=20工（夕>0）的焦点尸到准线的距离为4，所以〃=4,C:y2=8x

依题意，犬-4只=48,而犬=8芭，4只=32々，

故8%一32X2=48,即8玉+16=32/+64,则x}+2=4（x2+2）,

MF\_%1+2_

故液1％+2-，

故选：A.

7.执行如图的程序框图，输出的S值是（）

/输出5/

~~，*、

A.0B.1D.-1

K答案》A

K解析11根据题中所给的框图，可知输出的S的值:

cc兀2兀2022兀

5=0+cos—+cos—++COS

333

/兀2兀3兀4兀5兀6兀、

=0+337x(cos—+cos—+cos—+cos-----Fcos—+cos—)

333333

=337x(1-1-1-1+1+1)=0

2222

故选：A

8.已知函数/(x)的部分图像如图，则函数/(x)的K解析』式可能为()

A./(x)=(ex-e-x)sinxB./(x)=(e"+e-r)sinx

C./(x)=(eA-e-v)cosxD./(x)=(e"+eT)cosx

K答案》B

K解析H由于图像关于原点对称，所以/(x)为奇函数,

对于A：由f(x)=(e*-ef)sinx得：

f(-x)=(e-x-e')sin(-x)=(e,-e-v)sinx=f(x),

f(x)为偶函数,故可排除A；

对于D：由/(x)=(e*+e-*)cosx得：

/(-x)=(e11+eAjcos(-x)=(er+er)cosx=f(x),

/(X)为偶函数，故可排除D；

由图知/(x)图象不经过点6,o],

而对于C：/(?=一一/cos]=0,故可排除C；

故选：B

9.已知正方体A8CO-AB£A中，点P、Q、R分别是线段8耳、AB.AC上的动点，观察

直线CP与RQ,CP与得出下列结论:

①对于任意给定的点。，存在点尸，使得CP_LAQ；

②对于任意给定的点?，存在点Q,使得2Q，CP；

③对于任意给定的点尺，存在点尸，使得CP_LQR；

④对于任意给定的点?，存在点R,使得RR，CP；

其中正确的结论是（）

A.①@B.②③C.①④D.②④

K答案1A

K解析》对于①，当点尸与四重合时，CP_LAB,CP_LA。，且A8ADt=A,

.♦.CP_L平面A8。一

•・•对于任意给定的点Q,都有AQu平面ABR,

所以对于任意给定的点Q,存在点尸，使得CP1RQ,故①正确.

对于②，只有RQ1平面BCC4,即RQJ_平面AORA时，才能满足对于任意给定的点

p,存在点Q,使得R2，CP,；过。点与平面ACRA垂直的直线只有一条RG，而

D£〃AB,故②错误.

对于③，只有CP垂直于RR在平面8CGB中的射影时，RR1CP,故③正确.

对于④，只有CPL平面ACR时，④才正确，因为过C点的平面ACR的垂线与B片无交

点，故④错误.

综上，正确的结论是①③，

故选：A.

10.已知数列｛凡｝满足对任意的〃£N"总存在WEN”,使得S〃=品，则。“可能等于

()

2022

A.2022"B.2022/1C.2022/D.------

n

K答案》B

K解析D对于选项A：当为=2022"时，则｛4｝是等比数列，因为S“=%

所以2022(2022.一］)=2022%当〃=2时，2022"i=2023,机不存在，A错误；

2021

对于选项B：当q=2022〃时，｛a,,｝是等差数列，因为S“=a,"，则

v

Sn=2022x'=101In(n+1)=2022m,取川=-\'即可，B正确；

对于选项C：当a“=2022"时，Sn=am,则

222+2/;+22

Sn=2022X(1+2+--+W)=2022x1)(0=2022/n,当〃=2时，m=5,机不

存在，C错误；

对于选项D：当q,=些时，5„=a,„,则2022(1+：+!+…+，］=型2，当”=2时，

nV23nJm

1+!=_L,不存在，D错误.

2m

故选:B.

11.已知函数〃x)=cos(0xj[0>0)在K上单调递增，且当xe时,

〃x)NO恒成立，则。的取值范围为()

K答案XB

K解析H由已知，函数〃x)=cos[8-宾(O>0)在上单调递增，

所以24兀一兀4的一二<2%兀(&eZ),解得：^-―<%<^+—()1.eZ),

3v'co3<yco'

兀〉2Z］兀27i

兀兀2Z1兀2兀2km兀

——+—(占eZ),所以.6co3co

6,4「,解得:

3coco36y71,2klltn

-V---------1-------

、4co3G

4

12匕-4<3<8匕+§（占eZ）①

又因为函数/（X）=COS（0X-］）（0>O）在X€py上f（x）zo恒成立，

所以2k,兀一5«3X——<2,k->ii+—GZ）,解得：

迎」X玛卡生伏,“），

①6Gco6G~

71〉2内兀兀

4。6G

it2k.n5兀

—<——+——

36966y

25

8攵2co<6k2+］（《£Z）②

69>0

解得0€(0t

又因为口>0,当仁=%2=。时，由①②可知:

a)>0

28-17

当勺=%2=1时，由①②可知：,84045，解得8,y

所以。的取值范围为[(。4，§&了17

故选：B.

12.直线机1.平面"，垂足是。，正四面体ABC。的棱长为4,点C在平面”上运动，点

B在直线〃?上运动，则点。到直线的距离的取值范围是（）

4a-54夜+5

B.[272-2,272+2]

3-2夜3+2万

D.[3^-2,372+2]

~2­~2

（答案DB

K解析》在正四面体4BCD中，分别取BC,A。的中点M,N,连接

则AM_LBC,MO_L8C,又=4Wu平面AMD,MDu平面AW

则8C/平面40Z）,又MNu平面AW,则仞V23C

RtAftW中，AM=yjAB2-BM2=>/42-22=273

等腰一AMD中，MN±AD,MN=yjAM2-AN2=^2^-22=272

若固定正四面体ABC。的位置，则点。在以BC为直径的球上运动，球半径为2,

则点。到直线AD的距离的最小值为球心到直线AO的距离减去半径即2忘-2,

最大值为球心到直线AD的距离加上半径即2夜+2

则点。到直线AO的距离的取值范围是［2亚-2,2夜+2］

13.已知数列］生三是公差为1的等差数列，且出=10,则%=.

R答案Xn2+n+2"

K解析11由数列［与差］是公差为1的等差数列，且生=10可得

上二=上二+（〃_2”1=〃+1,

n2

所以勺=〃2+〃+2".

故K答案》为：n2+n+2"-

14.某汽车4s店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲

车型被选到的概率为.

K答案Wj

R解析U随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果

为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，

T）,（丙，戊），（丁，戊），共含10个基本事件，其中随机事件甲车型被选到包含基本事

件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以随机事件甲车型被选到的概率

二,

105

2

故K答案U为：

15.己知实数x,y满足：（x+2）2+（y-l）2=l,则|1-2x+y|的取值范围是.

K答案』[6->/5,6+x/5]

K解析11解法一：因为（x+2/+（y-l）?=1,所以令x+2=cos。，y-l=sin。,

则x=-2+cos。，y=l+sin。，

sin0-^-^-cos^j|=|6+V5sin(0-^?)|,

故|l—2x+y|=|6+sin。-2cos6|=|6+其中

cos«?=.y,sins=平，因为-石4石sin(e-e)46，

所以6-石46+氐皿。-夕）46+右,

所以6-行46+3皿。-9)36+氐

故|1-2x+y|的取值范围为［6-括,6+百］.

1-4-1-11

解法二:因为圆心（一2,1）至IJ直线2x-y-1=0的距离d=河

所以圆心上的点到直线2x-y-l=0的距离的取值范围为175-1,|V5+1,

又因为|2x-y-l|=石•⑵・片一”,

所以|2x-y-l|的取值范围是［6-0,6+百］.

故K答案U为：［6-石,6+0］.

16.己知y=/(x)是R上的偶函数，对于任意的xeR,均有"x)=/(2-x),当xe［O,l］

时，/(x)=(x-l)2,则函数g(x)=/(x)-log2022k—1|的所有零点之和为;

K答案D4042

R解析》图像关于y轴对称的偶函数y=log2022M向右平移一个单位得到函数

y=log20221X-11.因为函数/(X)是偶函数，所以/(x)=/(2一X)=〃—x),

令x替换-x,则有〃x)=〃x+2),

所以函数Ax)的周期为2,且函数关于直线x=l对称，

又当xe［0,l］吐/(x)=(x-l)2,当xw(l,2］时，2-xe［0,l),

/U)=/(2-X)=(2-X-1)2=(X-1)\

当xe(2,3］时，x-2e(0,l］,/(%)=/(x-2)=(x-2-1)2=(x-3)2

依次类推，可以求出，当xe［2022,2024］时，/(x)=(x-2023)2

由此可在同一平面直角坐标系下作出函数y=/(x)与旷=1。82必|》-1|的部分图象.

函数g(x)的零点，即为函数V=与y=log畋2k-l|的交点横坐标，

当x>2023时,y=log2022|x-l|>log202212023Tl=1,两函数图像无交点，又两函数在［0,2023］

上有2021个交点，由对称性知它们在［-2023,0)上也有2021个交点，且它们关于直线x=l对

称，则对称两零点和为2,所以函数g(x)的所有零点之和为4042.故［答案》为：4042.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.在AABC中,内角A,8,C的对边分别为4,6,c,且满足6cosA(ccos8+0cosC)=asinA.

(1)求A;

(2)已知。为BC边上一点，AD平分NA,ZkAB。的面积是△相>(7的面积的2倍，若

BD=2,求AO.

解：(1)•近cosA(ccos3+bcosC)=asinA,

>/3cos?i(sinCcosB+sinBcosC)=sin2A,

即百cosAsinA=sin。A,0<A<^,6cosA=sinA,tanA=y/3>A=y,

7T7T

(2)平分/A,A=—，ZBAD=ACAD=-,

36

,/AABD的面积是AADC的面积的2倍，设^ABC底边BC上的高为h,

S1BDh1AB-AD-sin/BAD

则渭迹-----=2------------------=2,:.BD=2CD,AB=2AC,

S4AIX±CDh-AC-ADsinZCAD

22

又,：BD=2,：.CD=1,在AASC中，cosA=AB+9_8。=52：9」,解得

2ABAC4AC22

AC=GAB=2y/3,/.AB2=AC2+BC2,C=—,7.AD=>/3+l=2.

18.（12分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全

校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名

学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如下频率分布直方图，且第五组中

3

高三学生占

（1）求抽取的200名学生的平均成绩最（同一组数据用该组区间的中点值代替）;

（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取

2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

（3）若比赛成绩x>；+sC为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的

1500名学生成绩优秀的人数.

参考公式：S=也士_；）2工，（工是第i组的频率），参考数据：730^5.5

解：（1）依题意，得

x=（55x0.011+65x0.02+75x0.034+85x0.028+95x0.007）x10=75,

所以抽取的200名学生的平均成绩嚏=75.

（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占二3,所以抽到的高三学生应该有7x^3=3

人，设7人中，高三学生三人是a、b、c,,其余非高三学生标记为数字123,4.则抽取2人

共有以下21种组合

la,lb,lc,2a,2b,2c,3a,3b,3c,4a,4b,4c,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34.

其中都是高三学生的共有以下3种组合:ab,ac,bc.

3__］_

所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为217.

（3）依题意，得

22222

s=^（55-75）x0.11+（65-75）x0.2+（75-75）x0.34+（85-75）x0.28+（95-75）x0.07

=A/44+20+0+28+28=^/i20=2A/30«11,

所以优秀的比赛成绩应该x>x+s=75+11=86，

而比赛成绩在［86,100］的频率为：（90-86）x0.028+0.007x10=0.182,

而1500x0.182=273,故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为273人.

19.如图，在四棱锥中，PAA.PD,PA=PD,侧面上4DJL底面ABC。，底面

为矩形，E为AB上的动点（与A,8两点不重合）.

P

AEB

(1)判断平面E4E与平面PDE是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明

理由；

(2)若4)=4,AB=4无，当E为的中点时，求点C到平面POE的距离.

解：(1)平面R4E与平面尸DE垂直.证明如下：

因为底面为矩形，所以43J_AD.

又侧面PADJ_底面ABC。，且平面皿)c平面A3C£)=AD,ABu平面ABC。

所以A82平面PAO.

又PDu平面PAD,所以ABLPD.

又PDLPA,且PAAB=A,E4,A8u平面所以P£>_L平面RIB.

又P£>u平面尸DE,所以平面P£)EJ_平面BAB,

即平面PAE_L平面PDE.

(2)当E为AB的中点时，取A£>的中点0,连接OP.

因为24=叨，所以PO_LAD.

因为侧面PAD_L底面ABC。，且平面必记门平面438=4),POu平面小

所以PO工底面A8C。.

因为PAJ.PD,4)=4,所以PA=PO=2夜，PO=2.

在RtPAE中，AE=；AB=2近,24=20，所以PE=4.

由(1)知P£>J_平面又PEu平面以8,所以P£)_LPE.

所以S△叨.尸E=：x2近X4=4拒・

因为SA8E」8.AO=gx4四x4=8近，

所以匕,=-S-P0=-x8x/2x2=.

/-CMC3A33

设点C到平面PDE的距离为h,

则由VJPDE=-S4PDE，h—Vp«DE,9

得』x4同="也，解得〃=4.

33

所以点C到平面PDE的距离为4.

20.已知函数/(*)=€*+£%2(机€口).

(1)若存在x>0,使得f(x)<0成立，求机的取值范围；

(2)若函数尸(x)=xe'+e2-有三个不同的零点，求”的取值范围.

解：(1)若存在x>0,使得〃x)=e'+£x2<。成立，

Ie*1(

则一/«<-一^在》>0时成立，故彳加<--r，

22(年人

令g(x)=-二，x>0,则g，(x)=，

当0vx<2时，g'(x)>0,g(x)函数单调递增，当x>2时，g3<o,g(x)函数单调递

减，

故g(x)3=g(2)=-1,所以机<彳『，

故用的取值范围为(y，-；/)；

(2)尸(x)=xe'+e2-f(x)=xe*+e2-e'-g/n/=0有3个不同实数解，所以

■Lm=(xT)：'+e2有三个不同的实数解,

2x

令h(x)=Df+l,则鱼幻=(『-2x+?e'2e2,

XX

令p(x)=(x2-2x+2)er-2e2,则p\x)=x2ex>0,

因为p(2)=0,所以当xvO或x>2时，〃(x)>0,〃⑴单调递增，当0vx<2时，

"(x)vO,以x)单调递减，

当％.0时'/i(x)—>-Ko,h(i)=^e2,

由题意得”>；e2,

故〃?的取值范围为(；e2,yo).

22

21.设月，尸2分别是椭圆。：=r+与=1(。>10)的左、右焦点，过尸2作倾斜角为7rW的直线交

a~b~3

椭圆。于A,8两点，匕到直线A6的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为

4.

(1)求椭圆。的方程;

(2)已知点例(-1,0),设E是椭圆。上的一点，过两点的直线/交y轴于点C,若

CE=XEM-求/I的取值范围；

(3)作直线4与椭圆。交于不同的两点P,。，其中尸点的坐标为(-2,0),若点N(0")是线

段PQ垂直平分线上一点，且满足NP-NQ=4,求实数，的值.

解：⑴设耳，心的坐标分别为(-c,O),(c,O),其中c>0；

由题意得AB的方程为y=瓜x-c).

因为£到直线A8的距离为3,

|-y/3c—y/3c\

所以7m=3,解得c=>/3所以af=3①

因为连接椭圆。的四个顶点得到的菱形面积为4,所以Jx2ax2b=4,即妨=2②

联立①②解得：a=2,b=\,

所求椭圆。的方程为工+丫2=1.

4

(2)由(1)知椭圆的方程为三+丁=1,设E(x“x),C(O,〃?)，

4.

因为CE=/IEM，所以=

所以王=-白，y=74,代入椭圆的方程(―147厂+,加、27，

1+Z1+X----7----+~-)-1

41+2

福I”2(32+2)(2+2)初2殂八2

所以"I=-------------N。，解得—二■或2W—2.

43

(3)由尸(-2,0),设。(4乂)根据题意可知直线人的斜率存在，可设直线斜率为3则直线

4的方程为>=%"+2),

把它代入椭圆。的方程，消去y整理得：(1+4严)/+1去%+(1622-4)=0

由韦达定理得-2+芭=-德,则V溺，厅小+4=高;

所以线段PQ的中点坐标为(-卫二,3下).

1+4k21+4%2

(i)当&=0时，则Q(2,0),线段PQ垂直平分线为丫轴,

于是NP=(-2,-f),NQ=(2,-f),由NP•NQ=-4+产=4,解得t=±272.

（ii）当AwO时，则线段PQ垂直平分线的方程为y--次七=-'。+①下）.

1+4Z~k1+4H

由点N（O,f）是线段PQ垂直平分线的一点，令x=0,得/=—送送；

于是NP=(-2,-t),NQ=(xl,yl-t)

-4+16芯6k(10%]4(16/4+15左2一I)

由NP-NQ=-2xl-t(yl-t)=1+以2+1+4h1+4公)

(1+4」)2

解得『半，所以-备=±噜.

综上可得实数t的值为±2&,土斐.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

0+cos0K、|八年

在直角坐标系中，曲线〃的参数方程为f，x=sm、.！旨为圆6若以该直角

y=smIff

坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为:

psm夕-2=在。（其中，为常数）

I”2

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求r的取值范围；

（2）当/=-2时•，求曲线〃上的点与曲线N上点的最小距离

解：对于曲线〃，消去参数，得普通方程为,3=,/同三6.曲线〃是抛物线的一部

分；对于曲线N,化