河北省石家庄市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

河北省石家庄市2022-2023学年

高二下学期期末数学试题

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的K答案［后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的K答案》

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案】标号.

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应

的答题区域的R答案Il一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标

记.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

23

s=r+-

1.某物体做直线运动，其运动规律是f,则它在第4秒末的瞬时速度为（）

12312567

A.16米/秒B.16米/秒C.8米/秒D.4米/秒

K答案HB

S=尸+3S¢=2t—-

K解析H因为/,所以产，

s¢=2?43=8-a=—

令f=4,则421616,

125

即在第4秒末的瞬时速度为16米/秒.

故选：B.

（ι+-）（ι+χ）4

2.IXJ的展开式中,含炉的项的系数为（）

A.4B.6C.10D.12

K答案1c

c"x°+CXI+《/+/+%,

K解析H(l+x)4=

展开式中含/项的系数为C42+C43=IO∙故选C.

_1_

3.函数尸5始一InX的单调递减区间为（）

A.(-1,1]B.(θ,ɪ]C.[1,D.（O,+∞）

R答案HB

,1X2-I

y=-x-Inxy=X——=------

K解析H对函数2求导,得XX（Q0）,

X

y-_XN-]nX

令尤＞°解得XeQ1],因此函数,2的单调减区间为Ql],

故选B.

4.甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时，该队获胜，比

赛结束）.现在的情形是甲胜3局，乙胜2局.若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的

概率为（）

33.

-----21

A.4B.5c.ɜD,2

K答案HA

K解析H甲获得冠军时，只要在未来的2场比赛中至少胜一场即可.

ɪ

由于两人胜每局的概率相同，故甲胜每一场的概率都是5,

甲胜第六场的概率为5,此时就没有必要打第七场了；

111

—X—=—

甲在第六场失败，但在第七场获胜的概率为224,

113

—I—=一

故甲获得冠军的概率为244.

故选：A.

5.曲线y=χJ"在点（1,1）处的切线方程为（）

Ay=2x-lby=l

c.y=∙xD,y=3%-2

K答案HB

K解析#=Xej,则y'=(lτ)ej,y‰=O,

故曲线y=χe∣r在点(LI)处的切线方程为yτ=oχ(χτ),即y=ι,

故选：B.

6.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A,B,C三门德育校本课程,

现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一

位同学参加，则不同的报名方法有()

A.54种B.240种C.150种D.60种

K答案HC

K解析H根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三门德育校本课程，

每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，

①三组人数为1、1、3,此时有A2种；

空C∙∙Aj=90

②三组人数为2、2、I,此时有A2种.

所以共有60+90=150种.

故选：C.

7.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态

随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量

当“充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机

1

P——

变量X的期望和方差与二项随机变量y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了2

的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100

次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为()

(附：若X~N(〃,4)，则2〃-b≤X≤4+b)”0∙6827,

P(χ∕-2σ≤X≤χ∕+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973)

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

K答案HB

K解析H抛掷一枚质地均匀的硬币IOO次,

X~β∣ioo,ɪI

设硬币正面向上次数为X,则I2),

E(X)==100XL=50O(X)=叩(I-P)=IoOx；X[1一4]=25

所以22I

班班v-2(八口4=E(X)=50σ2=D(X)=25

由r+1题意，XN伊,b),且"v,1，，

因为尸(〃一2<τ≤X≤〃+2σ)≈0.9545

所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为

1_f)9545

P(X>60)=P(X>50+2x5)=——:——≈0.0228

2,

故选：B.

_2__ln3

8.三个数e2,⅛=ln√2,3的大小顺序为()

A.a<h<cBo<α<c

Ca<c<bD.b<c<a

K答案HA

IILX…、1—Inx

K解析F设八~X，Jχ2

.∙.x>e时，r(x)<°,∙∙∙∕(x)在(e,+8)上单调递减,

2Ine2,,∕τln2ln4ln3

aF2=-2z-,p=ln√2=——=——c2

又ee24~~Γ,>e>4>3

.∙.∕(e2χ∕(4)<∕(3),∙,a<h<c

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司过去五个月的广告费支出X(万元)与销售额y(万元)之间有下列对应数据：

X24568

y▲40605070

工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y对X呈线性相关关系，且经验回归方程

为9=6.5x+17.5,则下列说法正确的有（）

A.销售额与广告费支出X正相关

B.丢失的数据（表中▲处）为30

C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元

D.若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元

K答案HABD

K解析H由经验回归方程R65x+17.5,可知B=6∙5〉0,

所以销售额＞与支出的广告费X呈正相关，所以A正确；

设丢失的数据为〃?，由表中的数据可得亍=5,

_220+in220+加\

y=-；-（5,---）

5,把5代入经验回归方程，

220+m.___

-----------=6.5×5+l17.5

可得5,解得加=30,所以B正确；

该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；

当x=8时，3=6.5x8+17.5=69.5（万元），所以D正确.

故选：ABD.

10.下列结论正确的是（）

A.若ι°=∣°,则桃=3

B.（/+*+力’的展开式中丁）’的系数是30

C,在（1+幻2+（1+幻3+~+（1+幻口的展开式中，含产的项的系数是220

D.（X—2）7的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

K答案】BCD

K解析R对于A,由于C*=C*"2,所以加=3〃—2或加+3加―2=10,解的∕w=3或

加=1,故A错误，

对于B,，+X+y)'的展开式通项为C(f+Xr/=CGTXg~炉,O<r≤⅛≤5,r,*∈N.

令4=2,1°-2k-r=5=4=2,r=l,所以TW的系数为。阻=3°,故B正确，

对于c,(i+4+α+4++a+©”的展开式中，

含f的项的系数是G+C+C++Ci=C%=220,故C正确，

对于D,瓮-2)7的展开式中，第4项和第5项的二项式系数为

「30403-04

由组合数的性质可知7，~最大且^7-17,故D正确，

故选：BCD.

11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和4个白球，从中无放回的随机取两次，每次

取1个球，记事件4：第一次取出的是红球；事件&：第一次取出的是白球；事件8取

出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则()

A.事件4,4为互斥事件B.事件B,C为独立事件

3I

P(B)=片P(Cl4)=7

C.7D.2

K答案HACD

K解析D事件AL第一次取出的是红球；事件4：第一次取出的是白球，这两个事件不可

能同时发生，它们是互斥的，A正确；

C；C；+C：C；_3

P(B)

7

事件B发生时，取出的两球同为红色或同为白色，则,故C正确;

P(C)CC：+Ce"CC

事件C发生时，取出的两球一红一白或同为红色，则C；C；

CC=1

P(BC)

事件BC发生时，取出的两球同为红色，则CW7

因为P(B)P(C)≠P(BC),所以事件B,C不是独立事件，故B错误;

4CC2P(ClA)-2AC)-I

c

P(A2)=-P(4C)=m='n∣A)-P(A}--

J

7,j7,则∕(A2)2,D正确.

故选：ACD.

12.已知函数lnr,^(x)=x3-2ex2+fcc(⅛∈R),若函数)—/("Ag(无)有唯

一零点，则下列说法正确的是()

B,函数g(")在(lg(e))处的切线与直线x—ey=。平行

C,函数y=g(*)+2e-在Re]上的最大值为2/+1

y=g(χ)fτχ在

[°，U上单调递减

D.函数

K答案2AD

2

R解析》对于A,由F(X)-g(x)=°,=X-2ex+k(x>0)

化为：X

Inx

Ma)~v(x)=x2—2ex+A:(x>0)

分别令

函数y="χ)r(χ)有唯一零点，等价于函数"χ)与V(X)的图象有唯一交点.

，/∖I-Inx

当O<x<e,〃(x)>。"U)单调递增;

当％〉e,M(X)<0,"(X)单调递减,

/ʌ“(e)=一

可得％二e时，函数成V取得极大值即最大值，e.

V(X)=(X-e)2+"-e-≥A-e-,当且仅当％=e时取等号

：・k—e=—氏=e~+一.

e,即e因此正确.

对于左，

B,g'(x)=3f-4ex+'g(e)=Y+%g(e)=l

因此函数g(x)在(e，g(e))处的切线方程为x-ey=O,因此错误.

对于c,函数y=O=g(χ)+2^=/+”

.∙.f(x)—3%2+k=3%2+e~-∣—>Oɪ/\

e，八刃单调递增，

2

r(e)=e3+e×el=2e3+1

∙∙∙r(x)在[°，e]上的最大值为+

,因此不正确.

对于D,xe［0,l］时,

1IXO3.2

∕z(x)=γ=(g(x)---e2x=x3-2ex2+1e24—∖x------C*^Λ=X'—2CLX"

函数eIe)e

当x∈[θ,l]h(x)=3X2-4er=x(3x-4e)<O

因此函数MX)在[°4]上单调递减，正确.

故选：AD.

第∏卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某射手射击所得环数4的分布列如下:

78910

PX0.1y0.4

已知J的数学期望£化)=&9,则y=

K答案H0.3

x÷0.1+y+0.4=l

K解析》由题意可得：［7x+8χ0.1+9y+10χ0.4=8.9

x+y=0.5∫x=0.2

即tx+9y=4.1解得：［y=0.3,所以y=0.3,

故工答案1为：°∙3.

14.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率

均为5%；加工出来的零件混放在一起,且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,

30%,45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为,取

到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为.

3

K答案H0.05257

K解析H设B="任取一个零件为次品"，4="零件为第i台车床加工”(i=l,2,3),

则Q=AlUA2UA3,Aι,A2,A3两两互斥.

根据题意得P(4)=0.25,P(A2)=O.3,P(A3)=O45,P(BHD=O.06,P(β∣A2)=P(β∣A3)=0.05.

由全概率公式，

得P(B)=P(AI)P(BlAI)+P(A2)尸(即2)+P(A3)P(BlA3)

=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.

“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=l,2,3)台车床加工的概率”，

就是计算在B发生的条件下，事件4发生的概率.

P(AB)P(4)P(B∣A,)0.45x0.053

A?D)—-----3--------------------------_

P(B)=P(B)=0.0525=7.

3

故K答案H为：0.0525；7.

15.中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过

科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其

中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出

了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务nE必须排在一起，则这七项任务的安

排方案共有种(用数字作答)

K答案》624

K解析】把A排在第一位，任务。、E相邻的位置有5个，两者的顺序有2种情况，剩下

的4个任务全排列，有8=24种，共有5X2X4：=240种方案；

把A排在第二位，任务E相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任

务全排列，有用=24种，共有4x2xA：=192种方案：

把A排在第三位，任务。、E相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任

务全排列，有用=24种，共有4x2xA：=192种方案；

总共有240+192+192=624种方案

故K答案Ii为：624.

ev,x>0

χ

f()=∖11n

16.已知函数122,,若方程/(X)=2办有三个不同的实数根，则”的取

值范围是.

ff'+c°]

K答案U12)

/⑼T此时/⑼=一%"°

K解析H当X=O时,

所以尤=。不是方程/(x)=2依的根.

2α=八

当XH0时，方程/(x)=αx可化为：X

MX)=ZH=

X

设

方程/(X)=2内有三个不同的实数根，即直线y=2α与函数MX)的图象有3个交点.

,zλ111

C%(x)=5一丁Ux∖Λ(-r)>-

当x<0时，22无，此时〃⑴单调递增，且''2,

MX)=厘[X)=(I)e"

当x>0时，X,贝IJ无一

当O<x<l时，〃(力<0,当%>1时，"(x)>0,

所以函数”(*)在(Ql)上单调递减，在O收)上单调递减，且ZZ(X)min=〃⑴=e,

作出“(H的图象如图，

直线产2〃与函数MX）的图象有3个交点,

e

一,+8

所以方程也有三个不同的实数根时，实数”的取值范围为2

e

—,+∞

2

故R答案》为:

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2x+

17.已知展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)求”的值;

(2)求展开式中的常数项;

(3)求展开式中各项系数的和.

H(Π-1)

解：⑴由题意知尸+C+*1+〃+-22

2,即〃2+〃-42=0,

解得：〃=6或〃=一7（舍），：.n=6

6

2x+

(2)由(1)知：I

（X）=26，*6.3

.=G∙26∏•2

则其展开式通项为17XJ

令2r-°,解得：r=4,.•・展开式中的常数项为2?xC：=4x15=60

（3）令X=1,则展开式各项系数和为（2+1）=36=729

132

f(x)=-x—X—3x+m

18.已知函数3有极小值-ð.

(1)求/(χ)的单调区间；

(2)求/(X)在13,4］上的最大值和最小值.

解・(1)/'(，)=--2'-3=(x-3)('+1),

令/'(x)〉°,解得X<T或x>3,令/'(x)<°,解得一1<X<3,

所以/3单调递减区间为(T,3),单调递增区间为(一8，一1),(3，+8).

/(3)='χ33-32—3x3+/?!=—6

(2)由(1)知，/⑴的极小值为3,解得加=3.

∙.∙/(χ)在(一3,-1)单调递增，在(T，3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，

/(X)的极小值为/©)=-6,

Ia,14

〃、/(-D=τ×(-D3-(-D2-3×(-D+3=-

F(X)的极大值为33

/(-3)=→(-3)3-(-3产-3X(-3)+3--6

又3,

1.-11

/(4)=-×(4)3-42-3×4+3=——

33,

14

所以/(X)在［-3,4］上的最大值为3,最小值为-6.

19.北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶.某电视台为了解我国电视

观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了IOO名观众进行调查，图是根据调查结果制作的

观众日均收看冬奥会时间的频率分布表：

收看时间(分钟)[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

频率0.150.150.20.250.150.1

如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”.

(1)根据已知条件请完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性

别有关？

非冬奥迷冬奥迷合计

女30

男10

总计100

(2)将上述调查的IOO人所得"冬奥迷''的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率.现在从

该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3

名观众中的“冬奥迷”人数为X，且每次抽取的结果是相互独立的.求抽到“冬奥迷”的概率，

并求随机变量X的期望和方差.

，n(ad-bc)'

χ=----------------

附(α+0)(c+d)(α+c)(0+d),其中〃=a+Z?+c+d

2

a=P(^χ≥k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的IOO人中，有“冬奥迷”25人,

故2χ2列联表如下：

非冬奥迷冬奥迷合计

女301545

男451055

总计7525100

把2x2列联表中的数据代入公式计算得：

,n(ad-bc)2100(30×10-45×15)2100CCCC

χ~=----------------=---------------------------------=------≈3.030

(α+ZO(c+d)(α+c)S+d)75×25×45×5533

因为3.030<3.841,

所以没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关；

(2)由频率分布直方图可知抽到“冬奥迷”的频率为0.25,将频率视为概率,

1

P=~7

则从观众中抽到一名“冬奥迷”的概率4,

X~B∖3ɪjE(X)=np=3×-=~

由题意得，I4人故44,

I3Q

D(X)=np(l-p)=3×-×~=-

综上，没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关，

39

E(X)=-D(X)=-

4,16.

20.3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动

是“数学知识竞赛”，初赛采用"两轮制''方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组

都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高二(A)班派出甲、

33

乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是W,5,通过第二

42

轮比赛的概率分别是二，3,且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

(1)若高二(A)班获得决赛资格的小组个数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得

10分，答错一题扣10分，三轮后总分高的获胜.假设两组在决赛中对每个问题回答正确的

ɪ

概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是3,

2

ɜ,假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在第一题中乙己得10分的情况下最终甲获胜

的概率.

解：(I)设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件A,4,

…、343…、322

P(A)=—x—=—P(A)=-X-=-

则455,-535.

由题意可得，X的取值有0,1,2,

P(X=O)=(I—3)x(l_2)=9P(X=D=(I令浜XT)4

5525,555525,

P(X=2)=3χ2=9

5525

X012

6136

P

252525

…、C6,13C6,

E(X)=OX-----F1×F2X——1

所以252525

131224

P(A)=-X二=—P(B0)=-X-=-

(2)依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为355,^3515,

乙己得10分，甲若想获胜情况有：

111

-X——___

①甲得20分：其概率为5525

234

X-X-=——

②甲得10分，乙再得一io分，其概率为3525.

4

③甲得0分，乙再得一20分，其概率为25.

故乙己在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为25252525.

21.近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市新春县大力发展大健康产业，粉艾产业化

种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知粉艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的

温度x(单位：℃)有关，现收集了新艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

_c+d_t_]_

现根据散点图利用＞=α+"4或一X建立y关于X的回归方程，令s=«,X

得到如下数据：

XyST

10.15109.943.04

13

Σ^x∙-i3^∙y∑∕,√,.-13F∙y∑∙V->3^∑r->3∕2∑X2-13∕

/=1i=l⅛=1Z=I/=1

13.94-2.111.670.2121.22

且(叽%)与d，%)(i=l,2,3,…，13)的相关系数分别为4,I且＞=-0.9953.

(I)用相关系数说明哪种模型建立y与工的回归方程更合适;

(2)根据(1)的结果及表中数据，建立y关于X的回归方程;

z=20y--x

(3)已知新艾的利润Z与x、y的关系为.2,当X为何值时，z的预报值最大.

参考数据和公式：0.21x21.22=4.4562,11.67×21.22=247,6374,√247∙6374=15.7365,对于

一组数据(％,匕)(i=l,2,3,…，n),其回归直线方程v=α+6"的斜率和截距的最小二

EUM-nu^vZuivi-nu∙V

β=M-------------