高二数学人教A版选修1-2作业3-2-2复数代数形式的乘除运算

第三章3.2请同学们认真完成练案[10]A级基础巩固一、选择题1．复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为(B)A．1－i B．1＋iC．－1＋i D．－1－i[解析]z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(i1＋i,i2)＝eq\f(i－1,－1)＝1－i．2．已知复数z＝eq\f(a,2＋i)＋eq\f(2＋i,5)的实部与虚部的和为1，则实数a的值为(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为z＝eq\f(a,2＋i)＋eq\f(2＋i,5)＝eq\f(a2－i,2＋i2－i)＋eq\f(2＋i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(1－a,5)i，所以eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(1－a,5)＝1，解得a＝2，故选C．3．若a为实数，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝(D)A．－4 B．－3C．3 D．4[解析]∵eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，选D．4．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(A)A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i[解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．5．(2020·全国卷Ⅰ理，1)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(D)A．0 B．1C．eq\r(2) D．2[解析]∵z＝1＋i，∴z2＝(1＋i)2＝2i，∴z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2．6．若z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝6，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝10，则z＝(B)A．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－i[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝6,a2＋b2＝10))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝±1))，即z＝3±i．二、填空题7．计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__．[解析](1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i2＋1＋4i＋4i2＝1＋1＋1＋4i－4＝－1＋4i．8．复数z满足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__．[解析](1＋2i)·eq\x\to(z)＝4＋3i，eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i，∴z＝2＋i．三、解答题9．计算：(1)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(2－i)(3＋i)；(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i24＋5i,5－4i1－i)．[解析](1)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(2－i)(3＋i)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(7－i)＝eq\f(\r(3)－7,2)＋eq\f(7\r(3)＋1,2)i．(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i24＋5i,5－4i1－i)＝eq\f(4i4＋5i,5－4－9i)＝eq\f(－20＋16i,1－9i)＝eq\f(－45－4i1＋9i,82)＝eq\f(－441＋41i,82)＝－2－2i．B级素养提升一、选择题1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，则点P(a，b)在(A)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵eq\f(z,1＋i)＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．2．(2018·浙江，4)复数eq\f(2,1－i)(i为虚数单位)的共轭复数是(B)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i[解析]eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i2)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，∴共轭复数为1－i.故选B．3．(多选题)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝2，则n的值不可能为(BCD)A．4 B．5C．6 D．7[解析]∵eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴in＋(－i)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝4k,0n＝4k＋1,－2n＝4k＋2,0n＝4k＋3))k∈N＋，∴n的值不可能为5,6,7，故选BCD．4．(多选题)z的共轭复数为eq\x\to(z)，若z－eq\x\to(z)＝6i，z·eq\x\to(z)＝25，则eq\f(5\x\to(z),z)＝(AD)A．eq\f(7,5)＋eq\f(24,5)i B．eq\f(7,25)－eq\f(24,25)iC．eq\f(7,25)＋eq\f(24,25)i D．eq\f(7,5)－eq\f(24,5)i[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\x\to(z)＝x－yi，由z－eq\x\to(z)＝6i，z·eq\x\to(z)＝25得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝6,x2＋y2＝25))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝3))．当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝3))时z＝4＋3i，此时，eq\f(5\x\to(z),z)＝eq\f(54－3i,4＋3i)＝eq\f(54－3i2,25)＝eq\f(1,5)(7－24i)＝eq\f(7,5)－eq\f(24,5)i．当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝3))时z＝－4＋3i，此时eq\f(5\x\to(z),z)＝eq\f(5－4－3i,－4＋3i)＝eq\f(5－4－3i2,25)＝eq\f(1,5)(7＋24i)＝eq\f(7,5)＋eq\f(24,5)i．故选AD．二、填空题5．(2019·浙江卷，11)复数z＝eq\f(1,1＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝__eq\f(\r(2),2)__．[解析]z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－i,1－i2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，易得|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)．6．z1＝2＋5i，z2＝3－7i，则|z1＋eq\x\to(z)2|＝__13__．[解析]z1＋eq\x\to(z)2＝(2＋5i)＋(3＋7i)＝5＋12i，∴|z1＋eq\x\to(z)2|＝eq\r(52＋122)＝13．三、解答题7．已知复数z1＝(a－4)＋i，z2＝a－ai(a为实数，i为虚数单位)，且z1＋z2是纯虚数．(1)求复数z1，z2；(2)求eq\f(z1,z2)的共轭复数．[解析](1)z1＋z2＝2a－4＋(1－a)i，∵z1＋z2为纯虚数，∴2a－4＝0，a＝2．∴z1＝－2＋i，z2＝2－2i．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2＋i,2－2i)＝eq\f(－2＋i1＋i,21－i1＋i)＝eq\f(－2－1－i,4)＝－eq\f(3,4)－eq\f(1,4)i，∴eq\f(z1,z2)的共轭复数为－eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)i．8．已知z∈C，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，若z·eq\o(z,\s\up6(－))－3ieq\o(z,\s\up6(－))＝1＋3i，求z．[解析]设z＝a＋bi(a、b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－3b＝1,－3a＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝3))，所以z＝－1或z＝－1＋3i．9．已知z为虚数，z＋eq\f(9,z－2)为实数．(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；(2)求|z－4|的取值范围．[解析](1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋eq\f(9,z－2)＝2＋yi＋eq\f(9,yi)＝2＋(y－eq\f(9,y))i∈R，得y－eq\f(9,y)＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i．(2)因为z＋eq\