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文档简介
湖北省仙桃、天门、潜江三市2024届高考数学必刷试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),则"a=b"是"logA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()A. B.4 C.2 D.4.已知,,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()A. B. C. D.6.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.7.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.8.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240 B.264 C.274 D.2829.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.1210.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.11.年初,湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延,各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应,全国人心抗击疫情.下图表示月日至月日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数,则下列中表述错误的是()A.月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B.随着全国医疗救治力度逐渐加大,月下旬单日治愈人数超过确诊人数C.月日至月日新增确诊人数波动最大D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值12.设复数,则=()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在的零点个数为_________.14.已知复数对应的点位于第二象限,则实数的范围为______.15.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.16.的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设都是正数,且,.求证:.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F分别是棱AB,PC的中点.求证:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.19.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.20.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;(2)证明:数列是等比数列;(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.21.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)对任意,都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切,都有成立.22.(10分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.2、A【解析】
根据题意得到充分性,验证a=2,b=1【详解】a,b∈0,1∪1,+∞,当"a=b当logab=log故选:A.【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.3、D【解析】
由复数的综合运算求出,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.【详解】,.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.4、A【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性,借助特殊值即可比较大小.【详解】因为,所以.因为,所以,因为,为增函数,所以所以,故选:A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性,利用单调性比较大小,属于中档题.5、D【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.6、B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.7、B【解析】
,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.8、B【解析】
将三视图还原成几何体,然后分别求出各个面的面积,得到答案.【详解】由三视图可得,该几何体的直观图如图所示,延长交于点,其中,,,所以表面积.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体,求组合体的表面积,属于中档题9、A【解析】
由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.10、D【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.11、D【解析】
根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误;根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误;根据月日至月日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误;根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项,由图象可知,月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势,A选项正确;对于B选项,由图象可知,随着全国医疗救治力度逐渐加大,月下旬单日治愈人数超过确诊人数,B选项正确;对于C选项,由图象可知,月日至月日新增确诊人数波动最大,C选项正确;对于D选项,在月日及以前,我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数,我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在月日左右达到峰值,D选项错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表的应用,考查数据处理能力,属于基础题.12、A【解析】
根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题,在同一直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】问题函数在的零点个数,可以转化为曲线交点个数问题.在同一直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:由图象可知:当时,两个函数只有一个交点.故答案为:1【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题,考查了转化思想和数形结合思想.14、【解析】
由复数对应的点,在第二象限,得,且,从而求出实数的范围.【详解】解:∵复数对应的点位于第二象限,∴,且,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系,解不等式,且是解题的关键,属于基础题.15、【解析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、、依次成等比数列,则,即,,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.16、5670【解析】
根据二项式展开的通项,可得二项式系数的最大项,可求得其系数.【详解】二项展开式一共有项,所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项,系数为.故答案为:5670【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,由通项公式求二项式系数,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】
利用比较法进行证明:把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,,所以,∴成立,又都是正数,∴,①同理,∴.【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。18、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)取的中点构造平行四边形,得到,从而证出平面;(2)先证平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【详解】证明:(1)如图,取的中点,连接,,是棱的中点,底面是矩形,,且,又,分别是棱,的中点,,且,,且,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;(2),点是棱的中点,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【点睛】本题主要考查线面平行的判定,面面垂直的判定,首选判定定理,是中档题.19、(1)(2)直线过定点【解析】
(1),再由,解方程组即可;(2)设,,由,得,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:,又,且解得,,∴椭圆方程为,(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,设,,由,得.则,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直线过点当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,,,其中,∴,由,得,所以∴当直线的斜率不存在时,直线也过定点综上所述,直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题,在处理直线与椭圆的位置关系的大题时,一般要利用根与系数的关系来求解,本题是一道中档题.20、见解析【解析】
(1)由题可得的所有可能取值为,,,,且,,,,所以的分布列为所以的数学期望.(2)由题可得,所以,又,,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可得.21、(1)(2)((3)见证明【解析】
(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性,最后根据函数单调性确定最小值取法;(2)先分离不等式,转化为对应函数最值问题,利用导数求对应函数最值即得结果;(3)构造两个函数,再利用两函数最值关系进行证明.【详解】(1)当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数f(x)的最小值为f()=;(2)因为所以问题等价于在上恒成立,记则,因为,令函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;即,即实数a的取值范围为(.(3)问题等价于证明由(1)知道,令函数在(0,1)上单调递增;函数在(1,+)上单调递减;所以{,因此,因为两个等号不能同时取得,所以即对一切,都有成立.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的
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