解直角三角形及应用-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点06.解直角三角形及应用

【考纲解读】

1.了解：锐角三角函数；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念。

2.理解：特殊角的三角函数值。

3.会：知道什么是正弦、余弦、正切。4.掌握：解直角三角形的应用步骤。

5.能：熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算.审题、画图、解直角三角形。

【命题形式】

1.从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查，属于中低档题，较为

简单，个别省市也以解答题形式考查，属于中档题，难度一般。

2.从考查内容来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；方位角、俯

角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的应用。

3.从考查热点来看，涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；求网格中的三角函数值：解直角三

角形的实际生活应用。

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二

轮复习必刷真题过关训练.

一、单选题

1.（2020・江苏无锡・统考中考真题）下列选项错误的是（）

A.cos60o=ɪB.a2-a3=a5C.^j==~D.2（x—2y）=2x—2y

【答案】D

【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数基的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一

判断即可.

【详解】解：A.cos60o=ɪ,本选项不合题意；

B.a2-a3=a5,本选项不合题意；

C.盍=争，本选项不合题意；

D.2（χ-2y）—2x-4y,故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数暴的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，

熟记相关运算法则是解答本题的关键.

2.（2023秋•河北石家庄•九年级校联考期末）如图，在一块直角三角板4BC中，乙4=30°,则SinA的值是（）

【答案】A

【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】解：；乙4=30。，

.∙.sin4=sin30o=

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3.（2021•江苏连云港•统考中考真题）如图，∆∕1BCΦ,BDLAB,B。、AC相交于点。，4。=±4C,AB=2,

7

44BC=150。，则ADBC的面积是（）

【答案】A

【分析】过点C作CEJ.48的延长线于点E,由等高三角形的面积性质得到SAoBC：SAABC=3:7,再证明△

ADB~^ACE,解得笠=J分别求得AE、CE长，最后根据△ACE的面积公式解题.

AE7

【详解】解：过点C作CE_L48的延长线于点E,

,∙,ΔDBC与AADB是等局J二角形，

43

^LADB'∙S>DBC=A0：DC——ACi-AC=4:3

ΛS&DBC：SAABC=3：7

•・•BD1AB

二△ADBACE

4“

S>ADBADjAC16

SAACEvACjkACj49

AB4

Λ----=一

AE7

VAB=2

7

，•/E=—

73

.・・BE=——2=—

22

V∆ABC=150°,

・・・乙CBE=180°-150°=30°

√3

ʌCE—tan30o∙BE=—

设SUDB=4x,SziDBc=3%

49

λSRACE=

4917√3

・・・・・.—X=-×-×—

4222

√3

ʌX^14

ɔ_3√3

,∙3x―,

14

故选：A.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

4.（2010.江苏南通・中考真题）如图，在菱形ABC。中，DE±AB,cos½=∣,BE=2,则S"NQBE的值是

A.-B.2C.—D.—

225

【答案】B

【分析】在直角三角形ADE中，cos4="与=与詈，求得AD,AE.再求得DE,即可得到tan/DBE.

5ADAD

【详解】设菱形ABCD边长为t.

BE=2,

AE=t-2.

.3AEAB-BE

cosA=-=——=-------

5ADAD

3t-2

—=--

5t

t=5.

AE=5-2=3.

DE=√AD2-AE2=√52-32=4.

DE4

tanZDBE=-=-=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系.

5.（2020.江苏镇江.统考中考真题）如图①，AB=5,射线AM〃BM点C在射线BN上，将AABC沿AC所

在直线翻折，点B的对应点。落在射线8N上，点P,Q分别在射线AM、BN上,PQ//AB.设AP=x,QD

=y.若y关于X的函数图象（如图②）经过点E（9,2）,则cos8的值等于（）

sωISa)

2137

A.-B.-C.-D.-

S2S10

【答案】D

【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得A尸=BQ=X,由图象②可得当x=9时，y=2,此时

点。在点。下方，且BQ=X=9时，y=2,如图①所示，可求8D=7,由折叠的性质可求BC的长，由锐角

三角函数可求解.

【详解】解：∙.∙AM"8N,PQ//AB,

二四边形ABQP是平行四边形，

：.AP=BQ^x,

由图②可得当x=9时，y=2,

此时点Q在点。下方，且BQ=x=9时，y=2,如图①所示，

图①

.'.BD=BQ-QD=X-y=l,

：将448C沿AC所在直线翻折，点8的对应点。落在射线BN上,

ΛβC=CD=∣BD=∣,ACA-BD,

7

BC7

...cosnB=—=卫2=一,

AB510

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识.理解函数图象上的点

的具体含义是解题的关键.

6.（2020•江苏扬州•中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以

AB为直径的圆经过点C、D,则SinNADC的值为（）

AwB.逅Crd

13133∙1

【答案】A

【分析】首先根据圆周角定理可知，NABC=ZADC,在RtAACB中，根据锐角三角函数的定义求出NABC

的正弦值.

【详解】：/4DC和NABC所对的弧长都是AC,

,根据圆周角定理知，NABC=乙4DC,

；.在Rt∆ACB中，AB-√ΛC2+BC2=√22+32=√13

根据锐角三角函数的定义知，sin/ABC=笠=备=穿，

ABV1313

/.SinzJ4。C=亚豆，

13

故选A.

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求

44DC的正弦值转化成求/ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题.

7.（2020•江苏无锡♦统考中考真题）如图，等边ZlABC的边长为3,点。在边AC上，4。=|,线段PQ在边BA上

运动，PQ.有下列结论：

①CP与QO可能相等；②ZMQD与ZBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为第；④四边形PCOQ周长

Io

的最小值为3+”.其中，正确结论的序号为（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【分析】①通过分析图形，由线段PQ在边BA上运动，可得出QDVIP≤CP,即可判断出CP与QD不可能相

等；

②假设44Q。与/BCP相似，设AQ=X,利用相似三角形的性质得出AQ=X的值，再与AQ的取值范围进行比

较，即可判断相似是否成立：

③过P作PE_LBC于E,过F作DF_LAB于F,利用函数求四边形PCDQ面积的最大值，设AQ=X,可表示

出PE=曰（3_（_工）,°F=；X苧=M可用函数表不出5心8<;，S11DAQ,再根据SMBC-SAPBC-SAW

依据0≤x≤2.5,即可得到四边形PCOQ面积的最大值；

④作点D关于直线AB的对称点D∣,作DID2〃PQ,连接CD2交AB于点F,在射线FA上取PQ，=PQ,此

时四边形P'CDQ，的周长为：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ,其值最小，再由DQ，=DQ，=D2P',

oo

TlD1=D1D2=AD=γaZAD∣D2=120,ZD2AC=90,可得+以>+PQ的最小值，即可得解.

【详解】解：①•；线段PQ在边BA上运动，PQ=I，

.∙.QD<AP≤CP,

.∙.CP与QD不可能相等，

则①错误；

②设AQ=X,

•：PQ=∣,AB=3,

ʌθ<ΛQ≤3-∣=2.5,即O≤xW2.5,

假设4AQ。与ZBCP相似，

VZA=ZB=60o,

从而得到2/-5x+3=0,解得X=1或％=1.5（经检验是原方程的根）,

又O≤x≤2.5,

解得的X=1或X=1.5符合题意,

即AAQD与ABCP可能相似，

则②正确：

③如图，过P作PEj_BC于E,过D作DF_LAB于F,

设ZQ=X,

由PQ=}AB=3,得O≤ZQ≤3彳=2.5,即0≤x≤2.5,

∙*∙PB—3----X>

2

VZB=60o,

ΛPF=y(3-i-x),

'：AD=i,∕A=60°,

2

ΛDF=1×√≡=⅞

224

则SAPBC==BCXPE=：X3X日(3-»x)=竽(|—%),

SADAQ="QXDF=TX无Xr=2Γx,

x

：•四边形PCDQ面积为：5ΔΛBC—SΔPBC—S4DAQ=TX3X誓—苧(|一x)一=瞪+竽羽

又：0≤x≤2.5,

.••当％=2.5时，四边形PCDQ面积最大，最大值为：乎+乎X2.5=喈，

o8Io

即四边形PCDQ面积最大值为警，

16

则③正确；

④如图,作点D关于直线4B的对称点D∣,作DID2〃PQ,连接CD2交AB于点P,在射线P,A上取P,Q,=PQ,

此时四边形P'CDQ，的周长为：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CZ)2+C0+PQ，其值最小，

,,

ΛD∣Q=DQ=D2PTAD1=D1D2=AD=|,

且NADlD2=180°-∕D∣AB=180°-ZDAB=120°,

DLA

o

：.ZD1AD2=ZD2AD1ɪ~=30°,ZD2AC=90,

在4D∣AD?中，NDIAD2=30°,AD1=ɪ,

.".AD=2AD-cos30o=2×i×-,

z211222

在Rt△AD2C中，

222,

由勾股定理可得，CD2=y∕AC+AD2=J32+(y)=V

.∙.四边形P，CDQ，的周长为：

1

CP+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ

√39/1\1

=—+(3^2)+2

=3+丝

2

则④错误，

所以可得②③正确，

故选：D.

【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等

知识.解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解.

8.(2020.江苏苏州.统考中考真题)如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)

在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角NACE=a；(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗

杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为()

A.a+btanaB.a÷bsinaC.aD.a+ɪ-

tanasɪnɑ

【答案】A

【分析】延长CE交AB于F,得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b,FB=CD=a,在直角三角形ACF中,

利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.

【详解】延长CE交AB于F,如图，

.∙.CF=DB=b,FB=CD=a,

在RtAACF中，∕ACF=α,CF=b,

tanZACF=-

CF

...AF=CFtan乙4CF=btanα,

AB=AF+BF=α+btana,

故选：A.

【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学

问题是解答此类题目的关键所在.

二、填空题

9.（2022•江苏南通・统考中考真题）如图，8为地面上一点，测得3到树底部C的距离为Iom,在B处放置

Im高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60。，则树高4C为m（结果保留根号）.

A

【答案】10√3+1##1+1O√3

【分析】在RtAADE中，利用tan乙4。E=翌="=b，求出AE=Io/，再加上Im即为AC的长.

DE10

【详解】解：过点。作。ElAC交于点E,如图：

则四边形8CE。是矩形，

：.BC=DE,BD=CE,

由题意可知：∆ADE=60o,DE=BC=10m,

在Rt∆AnE中，tan∆ADE=—=—=√3,

DE10

：.AE=10√3,

.'.AE+EC=(10√3+l)m,

故答案为：10>∕3+1

【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用一仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角

三角形并解直角三角形.

10.(2022.江苏常州.统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，NA=∆ABC=90o,DB平分乙IDC.若4(=1,

CD=3,贝IJSin乙4BD=.

【答案】⅞

6

【分析】过点。作BC的垂线交于E,证明出四边形ABED为矩形，ABCD为等腰三角形，由勾股定理算出DE=

√5,BD=y[6,即可求解.

【详解】解：过点。作8C的垂线交于E,

•••4DEB=90°

VLA=∆ABC=90°,

・•・四边形48E。为矩形，

・・・DE//AB,AD=BE=1,

ʌZ-ABD—乙BDE,

•・•BO平分〃DC,

：•∆ADB=Z.CDB,

-AD//BE,

・•・∆ADB=∆CBD,

：.ZCDB=ZCBD

∙∙∙CD=CB=3,

∙.∙AD=BE=1,

ʌCE=2,

.∙.DE=√DC2-CE2=√9→=√5,

ʌBD=√DF2+BE2=√5+1=√6

・•・sin∆ABD=—,

6

故答案为：ɪ.

【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造

直角三角形求解.

11.（2022・江苏扬州•统考中考真题）在AABC中，“=0）0。，。、b、C分别为乙4、乙B、NC的对边，若炉=QC,

则SinA的值为__________.

【答案】二岁

【详解】解：如图所示：

B

K

Ca

在RtAZBC中，由勾股定理可知：a2+b2=c2,

2

Vac=bf

・•・α2+αc=c2,

Vα>0,b>0,c>0,

•••号4即：（?FT

求%=二#或£=二声（舍去），

在RtBC中：SinA=-=

C2

故答案为：二步.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在

.,∙乙4的对边.右4的邻边.._乙4的对边

Rdt△a44BdzC中i+1，smAyl=———,CosA=———,tan/

斜边斜边二一的邻边•

12.（2022•江苏连云港•统考中考真题）如图，在6x6正方形网格中，AzlBC的顶点4、B、C都在网格线上,

且都是小正方形边的中点，则SinA=

【答案】捌0.8

【分析】如图所示，过点C作CEj于E,先求出CE,AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此

求解即可.

【详解】解：如图所示，过点C作CELA8于E,

由题意得CE=4,AE=3,

：.AC=y∕AE2+CE2=5,

二Sinn

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

13.（2021•江苏镇江・统考中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,COSNABC=!,点尸在

边AC上运动（可与点A,C重合），将线段8P绕点P逆时针旋转120。，得到线段。P,连接80，则8。长

的最大值为

A

【答案】9√3

【分析】由旋转知ABP。是顶角为120。的等腰三角形，可求得BO=√58P,当8P最大时，BC取最大值,

即点P与点A重合时，BP=BA最大,求出AB的长即可解决问题.

【详解】解：•••将线段BP绕点P逆时针旋转120。，得到线段QP,

：.BP=PD,

.∙.ABPD是等腰三角形，

.∖ZPBD=30o,

过点P作PHLBD于点、H,

.".BH=DH,

,：cos30°=-=~,

BP2

：.BH=-BP,

2

.,.BD^y∕3BP,

当BP最大时，8。取最大值，即点尸与点A重合时，BP=BA最大,

过点A作AGLBC于点G,

'：AB=AC,AGLBC,

；.BG=（BC=3,

"：cosAABC=-,

3

・BG1

•∙-—,

AB3

.∙.A8=9,

.∙.8力最大值为：√3BP=9√3.

故答案为：9√3.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出8。=百5尸是解题的关键.

14.（2021•江苏常州•统考中考真题）如图，在RtAaBC中，∆ACB=90o,∆CBA=30°,AC=1,。是4B上

一点（点。与点A不重合）.若在RtAABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的

三个顶点，则/W长的取值范围是.

B

C'-------------------iA

【答案W<ADV2

【分析】以为直径，作。。与8C相切于点M,连接。M,求出此时AD的长；以AD为直径，作。0,

当点。与点B重合时，求出AD的长，进入即可得到答案.

【详解】解：以A。为直径，作。。与BC相切于点例，连接0例，则OMJ_BC,此时，在Rt△?!BC的直角

边上存在3个不同的点分别和点A、。成为直角三角形，如图，

B

.•在RtMBC中，∆ACB=90o,∆CBA=30°,AC=1,

∖AB=2,

JOMLBC,

∙.sin300=器，

设OM=x,则Ao=X,

⅛=Γ解得：一彳

24

∙∙AC=2X"

以A。为直径，作O。，当点。与点8重合时，如图，此时40=48=2,

在Rt△?!BC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的三个顶点，则力。长的取值范

围是：l<AD<2.

【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论,

是解题的关键.

15.（2021•江苏常州•统考中考真题）如图，在△?!BC中，AC=3,BC=4,点。、E分别在C4、CB上，点F

在△4BC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形，贝IJSinNFBA=

【答案】（

【分析】连接AF,CF,过点F作&WLAB,由SMBC=SAACF+SABCF+S-BF，可得&W=1，再根据锐角

三角函数的定义，即可求解.

【详解】解：连接4月CF,过点F作FM

Y四边形CDFE是边长为1的正方形，

...∕C=90°,

ΛAB=√32+42=5,

•SAABC=SbACF+S&BCF+SAABF,

Illl

：.-×3×4=i×3×l+i×4×l+i×5×FM,

2222

.∖FΛ∕=1,

VBF=√（4-1）2÷12=√10,

∙*∙S∖Y∖Z.FBA=-J==~^.

√Ioio

故答案是：噂.

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键.

16.（2022•江苏南通・统考中考真题）如图，点。是正方形ABCD的中心，AB=3√2.RtABEF中，ABEF=

90。,EF过点。，BE,BF分另IJ交4。,CO于点G,M,连接OE,OM,EM.^BG=DF,tan∆ABG=则△OEM的

【答案】3+3√5

【分析】连接2D，则8。过正方形48CD的中心点0,作FH_LCD于点H,解直角三角形可得BG=2√⅞,

AG=∣AB,然后证明AABG丝AHFQ(AAS),可得。"=AG=；A8=：CQ,BC=HF,进而可证ABCM也ZkFMW

(AAS),得到例H=例C=Tcτ>,BM=FM,然后根据等腰三角形三线合一求出OF=BW,则BG=OF=FM

=BM=2瓜再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出0M、EM和OE即可解决问

题.

【详解】解：如图，连接8力，则B力过正方形4BC。的中心点0,作尸”，CD于点”，

"JAB=3√2,tan∆ABG=1,

∙'∙tsnZ-ABG=—=—

AB3

ΛAG=∣Λβ=√2,

.∙.8G=√4G2+4/=2√5,

VZBEF=90o,ZADC=90°,

/.ZEGD+NEQG=90。，ZEDG+ZHDF=90o,

：,/EGD=/HDF

•：NAGB=NEGD,

：.AAGB=ΛHDF,

∆A=乙DHF=90°

在和AKTO中,∆AGB=乙HDF

BG=DF

ABG"HFD(AAS),

：.AG=DH,AB=HF,

∙.∙在正方形48CD中，AB=BC=CD=AD,NC=90。,

11

ΛDH=AG=-AB=-CD,BC=HF

33f

(∆C=乙FHM=90o

在ABCM和A∕77M中，j乙BMC=乙FMH，

(BC=FH

"BCMAFHM(AAS),

：・MH=MC=*D,BM=FM,

3

：•DH=MH,

•：FHtCD,

,DF=FM,

：・BG=DF=FM=BM=2瓜

ΛBF=4√5,

TM是B尸中点，。是BO中点，ABEF是直角三角形,

：,OM=LDF=炳,EM=-BF=2√5,

22

•：BD=近AB=6,ABEO是直角三角形，

：.EO=LBD=3,

2

二△OEM的周长=EO+OΛ∕+EM=3+√^+2√^=3+3√5,

故答案为：3+3西.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助

线，构造出全等三角形是解题的关键.

三、解答题

17.（2022•江苏淮安•统考中考真题）（1）计算：∣-5∣+（3-√Σ）°-2tan45:

(2)化简：⅛÷(l+⅛)∙

【答案】(1)4；⑵ɪ

α+3

【分析】(1)根据绝对值，零指数基和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可;

(2)根据分式的混合计算法则求解即可.

【详解】解：(1)原式=5+l-2xl

5+1-2

(ɑ+3)(α—3)

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幕，绝对值等等，熟知相关计算法

则是解题的关键.

18.(2022•江苏淮安•统考中考真题)如图，湖边4、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算4、

B两点之间的距离，经测量得：ZBAC=37。，NABC=58。，AC=80米，求A、B两点之间的距离.(参考

数据：sin37o≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75,sin58o≈0.85,cos58°≈0.53,tan58o≈1.60)

【答案】4、B两点之间的距离约为94米

【分析】过点C作CD1AB,垂足为点0,分别解RtA4C0,Rt∆BCD,求得4D,BD的长，进而根据48=AD+

BD即可求解.

【详解】如图，过点C作CDlAB,垂足为点。，

在Rt△4CD中，

:4DAC=37o,AC=80米，

.".SinZ-DAC=—,COSZ.DAC=―,

ACAC

ΛCD=AC-sin37o≈80×0.60=48（米）,

AD=AC-cos37°≈80×0.80=64（米），

在Rt△BCD中，

TNCBD=58°,CD=48米,

AtanzCBD=—,

.,.AB=∕1D+BD=64+30=94（米）.

答：4、B两点之间的距离约为94米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键.

19.（2022.江苏徐州.统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,坡

角NQeN=30。.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，

小明测得直立于地面长60Cm的木杆的影长为90Cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

N

B

【答案】（l70+60®m

【分析】延长AO交BN于点E,过点Q作OFJ_8N于点凡根据直角三角形的性质求出。尸，根据余弦的

定义求出CP,根据题意求出EF,再根据题意列出比例式，计算即可.

【详解】解：延长AD交BN于点E.过点D作DFLBN于点、F,

在Rt△(?£>F中，ZCFD=90°,NDeF=30°,

则DF=∣CD=90(cm),CF=CD∙cosZDCF=180×y=90√3(cm),

由题意得:畔嗯

解得：EF=135,

BE=BC+CF+EF=120+9()√3+l35=(255+90aCm,

(ji∣ι__丝—二竺

'255+90√390

解得：AB=170+60√3,

答：立柱AB的高度为（170+60g）cm.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确

作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算.

20.（2022•江苏南通・统考中考真题）如图，矩形力BCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCO上运动，将AE绕

点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于NBaC,连接CF.

(1)当点E在BC上时，作FMIAC,垂足为M,求证AM=48；

(2)当4E=3√Σ时，求C尸的长;

(3)连接DF,点E从点3运动到点。的过程中，试探究DF的最小值.

【答案】(1)见详解

⑵百或√∏

【分析】(1)证明△4BEmAZMF即可得证.

(2)分情况讨论，当点E在BC上时，借助AABEWZiAM/，在RtZkCMF中求解；当点E在C。上时，过

点E作EG,AB于点G,H7,AC于点，，借助AAGEBAAHF并利用勾股定理求解即可.

(3)分别讨论当点E在BC和CO上时，点尸所在位置不同，O尸的最小值也不同，综合比较取最小即可.

(1)

如图所示，

由题意可知，44MF=NB=90。，/LBAC=Z.EAF,

ʌ∆BAE=∆MAF,

由旋转性质知：AE=AF,

在AABE和AZMF中，

乙B=∆AMF

{∆BAE=4MAG

AE=AF

・•.△ABE=△AMF,

^AM=AB.

(2)

当点E在BC上时，

在RtAABE中，AB=4,AE=3√2,

则BE=>JAE2-AB2=√2,

在RtZMBC中，AB=4,BC=3,

则AC=∖∕AB2+BC2=5,

由（1）可得，MF=BE=√2,

在RtACM尸中，MF=√2,CM=AC-AM=5-4=1,

则CF=√MF2+CM2=√3,

当点E在Co上时，如图，

过点E作EGLAB于点G,FWLAC于点H,

同(1)∏TW∆AGE≡Δ,AHF,

：.FH=EG=BC=3lAH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=√32+22=√13;

故CF的长为g或√∏.

(3)

如图1所示，当点E在8C边上时，过点£＞作。HJ.FM于点H,

由(1)知，/.AMF=90°,

故点尸在射线M尸上运动，且点产与点H重合时，£＞，的值最小.

在^CMJ与ACD4中，

乙CMJ=∆ADC

^-∆MCJ=∆ACD,

：.Rt△CMJ~Rt△CDAt

.CM_MJ_CJ

•・记一布一族，

即.•一=生=旦，

435

DJ=CD-CJ=4-^=B

在ACMJ与ADHJ中,

乙CMJ=乙DHJ

nCJM=4DJH'

・•・RtACMJ〜RtADHJ,

CM_CJ

•*-=—，

DHDJ

ap⅛=⅛

4

DH=γ,

故DF的最小值号;

图1

如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段43绕点4顺时针旋转乙BaC的度数，得到线段AR,连接尸R,

过点。作。Q_LAR,DK1FR,

由题意可知，∆DAE=∆RAF,

在ZMRF与A4DE中，

AD=AR

{∆DAE=/.RAF,

AE=AF

ADE=△ARFt

・・・URF=乙ADE=90°,

故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，CF的值最小；

由于DQIAR,DK1FR,NARF=90。，

故四边形。。RK是矩形；

.∙.DK=QR,

412

ΛAQ=AD-cos∆BAC=3×∣=γ,

VAR=AD=3,

123

：.DK=QR=AR-AQ=3=

故此时OF的最小值为去

由于1<£，故力尸的最小值为：

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角

三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.

21∙（2022∙江苏盐城•统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功

发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，。力是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，

OA=lm,AB=5m,BC=2m,∆ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m.

（1）求4、C两点之间的距离；

（2）求OO长.

（结果精确到0.1处参考数据：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan370≈0.75,√5≈2.24）

【答案】（l）6.7m

(2)4.5m

【分析】（1）连接AC,过点4作AH_LBC,交CB的延长线于H,根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决

问题.

（2）过点4作4G_LDC,垂足为G,根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题.

【详解】（1）解：如图2,连接4C,过点A作4H1BC,交CB的延长线于H.

图2

在Rt△4BH中，∆ABH=180o-∆ABC=37°,

sin37o=—,所以AH=AB∙sin37°B3m,

AB

cos37o=―,所以BH=4B∙cos37o*4m,

AB

在Rt△4CH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m,

根据勾股定理得4C=>∕CH2+AH2=3√5≈6.7m,

答：4、C两点之间的距离约6.7m.

(2)如图2,过点4作AGJ.DC,垂足为G,

图2

则四边形AGD。为矩形，GC=AO=lm,AG=OD,

所以CG=CD-GD=Sm,

在Rt△4CG中，AG=3V5m,CG=5m.

根据勾股定理得4G=y∕AC2-CG2=2√5≈4.5m.

.∙.OD=AG=4.5m.

答:。。的长为4.5m.

【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三

角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解

22.（2022•江苏无锡♦统考中考真题）如图，已知四边形ABCQ为矩形4B=2√Σ,BC=4,点E在BC上，

CE=AE,将AABC沿AC翻折至IJAAFC,连接EF.

⑴求EF的长；

⑵求SinNCEF的值.

【答案】（1）√I7

（2浩向

【分析】（1）先由RtAABE可求得AE的长度，再由角度关系可得NFAE=90。，即可求得EF的长；

（2）过尸作FM_LCETM,利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.

【详解】（1）设BE=X,则EC=4—x,

∙∙AE=EC=4—%,

在RtΔ4BE中，AB2+BE2=AE2,

：.（2√2）2+X2=（4-X）2,

/.X=1,

：・BE=1,AE=CE=3,

9JAE=EC,

Λzl=Z2,

Vz4BC=90o,

ΛzCΛF=90o-z2,

.∖∆CAB=90o-Zl,

由折叠可知AFACMABAC,

；・乙FAC=乙CAB=90o-Zl,AF=AB=2√2,

ΛzFi4C÷zl=90°,

:,(FAE=90°,

=√Γ7.

(2)过尸作尸MJ_8C于

JNFME=∕FMC=900,

设EM=凡则EC=3-小

在AtZkFME中，FM2=FE2-EM2,

222

在Rt△FMC中，FM=FC-MCi

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

J(√17)2-α2=42-(3-α)2,

・5

..a=一,

.∙.EM∕

：.FM=J(√17)2-(∣)2=

I也

∙.,「口口FM§88/ʒ-r

..SinzCFF=—=ɪ==­√34.

EF√1751

【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关

键.

23.（2022•江苏苏州•统考中考真题）（1）如图1,在AABC中，/.ACB=2∆B,CZ）平分44CB,交AB于点

D,DEHAC,交BC于点、E.

图1

①若OE=1,BD=|,求BC的长；

②试探究竟-差是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

ADDE

（2）如图2,4CBG和Z∙BC尸是△A8C的2个外角，乙BCF=2乙CBG,C。平分4BCF,交AB的延长线于点

D,DEIIAC,交CB的延长线于点E.记^ACD的面积为S「△CDE的面积为S2,△BDE的面积为S3.若Si∙S3=

-Sl，求CoSNCBZ）的值.

16”

图2

【答案】⑴①BC=：；②*一案是定值，定值为1；⑵CoS“BD=:

4ADDE8

【分析】(1)①证明ACE。SACOB,根据相似三角形的性质求解即可；

②由CEllAC,可得W=络由①同理可得CE=Z)E,计算器—器=L

ADDEADDE

⑵根据平行线的性质、相似三角形的性质可得3=W=能又第=络则警=骼可得器=ɪ,设BC=

S2DEBES2CESSCECE16

9x,则CE=16x.证明△CDBCED,可得CD=12x,过点。作DH1BC于H.分别求得BD,BH,进

而根据余弦的定义即可求解.

【详解】(1)①平分NaCB,

/.ZTlCD=乙DCB=-∆ACB.

2

9Cz-ACB=2(B,

ΛZ.ACD=Z.DCB—乙B.

3

ΛCD=BD=-.

2

DEWACt

：.∆ACD=乙EDC.

Λ∆EDC=∆DCB=Z.B.

：.CE=OE=L

∙*∙ΔCEDCDB.

.CE_CD

••—•

CDCB

9

：.BC=-.

4

②:DEIIAC,

・ABBC

••-=----.

ADCE

由①可得CE=DE,

.ABBC

••-=----.

ADDE

...-A-B-----B-E-=-B-C-----B-E--=—CE=1Y.

ADDEDEDEDE

•潦一黄是定值，定值为1∙

(2),：DEWAC,

•••△BDES匕BAC

BC_AB_AC

''~BE~~BD~~DE

.S1_AC_BC

**S2~DE~BE・

♦・S3_BE

S2CE

.S]∙SsBC

Sl~~CE'

又∙.∙S1∙S3=Q2

.≤C__9_

**CE-16,

设BC=9x,则CE=16x.

TC。平分NBCF,

1

."ECD=乙FCD=-Z-BCF.

2

♦:(BCF=2乙CBG,

."ECD=乙FCD=乙CBD.

：.BD=CD.

VDEIMC,

:•乙EDC=∆FCD.

：.Z.EDC=Z-CBD=∆ECD.

：.CE=DE.

ZDCB=(ECD,

△CDB〜&CED.

•・•—CD=—CB.

CECD

：.CD2=CBCE=144X2.

ΛCD=12x.

如图，过点力作。H■!BC于H.

C

9：BD=CD=12x,

19

:・BH=iBC=-x.

22

.,.cos∆CBD=—=ɪ=-.

BD12X8

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

24.（2022.江苏镇江.统考中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm,

高为42.9cm∙它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆.小明画出了它的主视图，是由上、下

底面圆的直径AB、CD以及新、距组成的轴对称图形，直线，为对称轴，点M、N分别是前、的的中点，如

图2,他又画出了他所在的扇形并度量出扇形的圆心角4AEC=66。，发现并证明了点E在MN上.请你继续

完成MN