数学重点题型

年考研数学重点题一、高等数学（微积分）部题型1、求函数未定式的极限x4sin1ex3例1、求lim 年考研数学重点题一、高等数学（微积分）部题型1、求函数未定式的极限x4sin1ex3例1、求lim x0ln(1sinxtanx4sin1ex3x4sin1ex3解：lim lim x0ln(1sinxtan(sinxtanx4sin1ex3x4sin1ex3lim lim (cosx1)tan(1x2)2x4sin2lim x2题型2、已知无穷小比较的结论，求待定参数10评注：Ⅰ“0f f②当 不存在（或非）时，不能推出 (xx0 (xx0 ③当x时，若式子中含有cosx,sinx（或x0时，式子中含有 , ①当极限的式子中含有分母时,进行通分将其化为“”或 ③当极限的式子中既不含有分母又没出现根式时,利用倒代换将其化为“”或 1ax2x0f(xx的三阶无穷小，试确定常数a,b1解：由于x0f(xex1ax为x的三阶无穷小，所以11ax2x0f(xx的三阶无穷小，试确定常数a,b1解：由于x0f(xex1ax为x的三阶无穷小，所以1c（非零常数fex(1bx)(1ax)x3(1bx)ex(1bx)(1而climex(1bbx)1ba limex(12b12b ，11从而b ,a 22题型3、定积分表示函数求导数3f(x连续，且limf(xsin1a(a为常数，又F(x) fx0f(x)sinxaf(0)0解：由于xxf(t)dt,xF(x)02F(x①利用定积分性质或变量代换去掉被积函数中参变量x（注意：利用变量代换去掉被积函数中参变 时，有可能改变函数定义域dn(dx②利用公 f(t)dtf[n(x)]n(x)f[m(x)]m(x)求得F(x)注：常用的几个等价无穷小：设xx0u0，则xx0时，有sinu tanu arcsinu arctanu 1cosu1u2au1una, u1u,n1)u, 1u1uxxf(x) fx0Fx0x0xfF(0)limF(x)F(0)limfxxxf(x) fx0Fx0x0xfF(0)limF(x)F(0)limfxf(x)sinxsinx1(a12x2F(xx0x0F(xx1xf(x) fflimf(x)sinxsinx1(afx0x21 (a1)F(0)2F(xx0x当x0时，因为f(x)连续，所以变上限的积 f(t)dt可微，从而也是连续的，0F(xF(x在(4数形态的研4yf(x具有下列特征f(x)0,xf(0)f(0)0x0时f(x)00,x,1111f(0)1f(x0，所以曲线过(0,1)点，且单调增加，因此（C（D）3f(x0,x0，所以点(0,1)yf(x0,xf(x0,x0，所以点(0,1)yf(x0,x.（A题型5、证明至少存在，使f()M(f(x)5f(x在[0，1]上连续，在（0，1）f(0)f(1)0112(x 221（1）存在(,1)f(2（2）对任意实数，必存在0,，使得f(f(1 f(x在[0，1]12因为limf(x)1f11F1112 12(x 2211)F(0f(2（2）F(xexf(xx，则在[0,F(x满足罗尔定理的条件，因此必存在(0,，使F(0，即得f([f(]14[ab的一个子区间[x1x2F(x1F(x2③对F(x)在区间[x1,x2]上使用罗尔定理，可得到所证结论．f(x1101/2（3）因为112(x 22f(x10，即f(x1f(x在[0，1]1f(x1101/2（3）因为112(x 22f(x10，即f(x1f(x在[0，1]1题型6、定积分的应（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等6f(x在[0,1]上连续，在(0,1)xf(xf(x3ax2（a为常数2yf(xx1,y0S（I）f2f(x)x(ax2yf(xx1,y0S22 f(x)dx axCx)dx1a131122 00f(x)3ax2(4因此C4a23111V(a) (x)dx ax(4a)x]dx a a 2222200V(a(1a1，令V(a0a a5时，V(a0a5时，V(a0a5时，V(a题型7、多元函数求极5①解方程组f(xy)0f(xy ①利用隐函数微分法求偏导 7f(xyx4y4xy)2f(x,y)4x2(7f(xyx4y4xy)2f(x,y)4x2(xy)3令f(x,y)4y2(xy)3xxx，，．yyy1所以函数的驻点为(1,1)(0,0)(1,1)对于驻点(1,1)，有B2AC2)21010960，A100f(xy点(1,1)f(1,1)2对于驻点(1,1)B2AC(2)21010960A100f(xy对于驻点(0,0)B2AC2)22)2)0yx很小时，f(x,y2x44x20xyx很小时，f(xy2x40f(0,0)0，故(00)f(xy题型8、二重积分的计算6zx(x,y) x x 一般得yy1和yy2F(x,y,z) z z 2 2 2③ (xiyizi)(i1,2)ABCzi(i1,2)是否为极值极大还是极D(xy0x1,0y1，计f(x,y)maxx,8IfD(xy0x1,0y1，计f(x,y)maxx,8If(x,yDIf(x,y)ydxdyf(x,y+f(x,ydxdyxydxdyyyy(yx2)dxdyx(yx2)dxdyx(yx22x(yx2)dy1dxxx(yx2)dy1dx1y(yx2)dy1x 2 题型9、求解二阶线性微分方程7评注：ypyqyf(xy*f(x)P(x)exP(xx的my* y*xkQ(x)em其中Qm(xPm(x0,当不是特征方程的特征根k，当2，当是特征方程的二重特征f(xex[P(xcosxQ(xsinxP(xQ(xxnm 算．Ⅱ被积函数是分段函数的二重积分一般思路：例9、利用变换t x将方程4xd2y x)dy6ye3x化为变量y与t的微分（2）dydt例9、利用变换t x将方程4xd2y x)dy6ye3x化为变量y与t的微分（2）dydt 22d2 dy1d 4xdt4x所以4xd2y x)dy6y= dyd2y1x) dy6x dt22ddy6dt dt （2）方程（*）对应的齐次方程的特征方程为260，所以特征根为2,方程（*）对应的齐次方程的通解为Yce2tce3ty*tae3t是方程（*）的一个特解，代入方程（*）可得a5y*1te3t是方程（*）的一个特解。因此方程（*）5yce2tce3t1125x5yce2xcx12题型10、求幂级数的收敛域与和函数8多项式，则待定特解y*y*xkex[M(x)cosxN(x)sin 其中lmaxmnMl(x)Nl(x)是两个l次多项调节系0,当i不是特征方程特征根k1，当i是特征方程特征根时xnn(n 解：级数 xnxnn(n 解：级数 xn收敛域易求得为(1,1)，令S(x)xn,1xnn[(n1)S(x(n1)xn41xn11x1xnxn0n9评注：Ⅰ幂级数a(xx)n an(xx0(xx01xx0mRxxR时，对应的级数a(R)n 当an没有具体表达式时：1：如果幂级数a(xx)nxx Rx1x02：如果幂级数a(xb)nx0处收敛（或发散x2b处发散（n敛，则收敛半径R (xx na(xx x令S1(x(n，则0S1(x)dx 1x，从xn1S(x),1x1(11令Sx令S1(x(n，则0S1(x)dx 1x，从xn1S(x),1x1(11令S2(x)x1x1x1n11x ，S(x)xS3(xln1n3(x)n3 44ln1x,1x0,0x1所以S(x)(1 1 2题型11、函数展开成幂级数例11、将f(x)xarctanx x21展开成x的幂级数，并f(2016)(0)解：Ⅰ）由于f(x)arctanxx x arctanx1 11 1f(x)(1xx2n f(x)f(0)2n评注：Ⅰ、有理分式函 f(x)展开成幂级数一般思 ⑴将有理分式函数分解 ax cx ⑵利用单位幂级数分别 ax cxf(x的展开式，并注明成立范围。Ⅱ、反三角函数展开成幂级数的一般思路：f(xf(xf(x1 2n由f(0)arctan00，级 f(xx11 2n以f(1 2n由f(0)arctan00，级 f(xx11 2n以f(x) ,(1xnf(x)(1)n (1x1)故(2n1)(2n ](2016)(0)=2016!Ⅱ）由（Ⅰ）可得：(2015)题型12、计算非封闭区面上的第二类曲面积分(x2yz3)dzdx(2xyy2例12、求I，其中为上半球面1(x2y2z2z a2x2y2a0为常数。解：将的方程代入被积表达式得(x2yz3)dzdx(2xyy2I1(x2y2z21xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2a1z0zx2y2内的部分，取下侧。记为1I xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2a11，使1I1PdydzQdxdzRdxdy（注意验证条件I2P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdy ④II1I2xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2a11(z2x2y2)dv1(2xyy2aa11(z2x2y2)dv1xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2a11(z2x2y2)dv1(2xyy2aa11(z2x2y2)dv1aa11a1a dr2r2sindr2ax2y20001aa r2sindr 2 000二、线性代数部题型1、方程组的解1 11a 1,b1,如果是方程AXb的通解AXb的一个解,1 1解：将 代入AXb得到1ac10,ac1 11a13a21111a213a221 10 0 主元素位置的参数（阶梯形矩阵中每一非零行的第一个非零元素位置处的参数）；何时使111321(a1201112(a202ⅰ）ac23001011121312211110130210110 1 11 0111321(a1201112(a202ⅰ）ac23001011121312211110130210110 1 11 0于是rArA2,基础解系所含解向量个数为4r(A)22x3x4,3xx 令x1,xx3,x1,解向量为:(1,3,1,3421令x30,x4x22,x1(1,2,0,11 1 11200212 ⅱ）ac000111a13a2111101322111 121 1102 121012rArA3,基础解系所含解向量个数为4r(A)1于是x1x41x02421x42令x42,x31,x21,x12令x42,x31,x21,x12,解向量为:(2,1,1,1 1 k 12 题型2、特征值特征向量及矩阵是否可对角化的讨论例2、设1是矩阵A 1的特征向量4b（I）ab的值及特征向量所对应的特征（II）判定A能否相似于对角矩阵，并说明理由。解：（I）A1，即32a 所以ab112b1评注：Ⅰ、A与对角矩阵相似的充分必要条件⑴A有nA的每个特征值，线性无关的特征向量个数恰好等于该特征值的重根数。Ⅱ、相似对角化A为对角矩阵的步骤⑴求出A的特征值1,2,n 再求出对应的线性无关的特征向量1,2,,n⑶构造可逆矩阵P1 n，则PAPⅢ、n阶方阵A(aij)的特征值和特征向量的一般步骤Af(AAE0A⑶0，求出A0EX0的基础解系1,2,,s，则k11k22kss（k1k2,ks为不全为零的任意常数）0的全部特征111111（II）EA11111111（II）EA111111110(3)(3)(3)(10对特征值2，解方程组(2EAX0 1 102EA 10 题型3、二次型的标准型1A23f(xxxXTAXA0，且1,2,1)T 1AX0T（I）用正交变换将二次型f评注：⑵求出A的特征值1,2,,n及相应的线性无关的特征向量⑷把正交的特征向量单位化为1,2⑸构造正交矩阵Q(1,2,,nXQYXTAXy2y21 2 nⅡ、n阶实对称矩阵A正定的方⑴⑵存在n阶实可逆矩阵CA⑶A⑷AXXTAX（II）12A(1,2,1)T1020，从而0是矩A所以0A的二重特征值。A的全部特征向量为12032设3t1t2（II）12A(1,2,1)T1020，从而0是矩A所以0A的二重特征值。A的全部特征向量为12032设3t1t2t3)TA的属于特征值2t12t2t3，则可得t11,t20,t31tt A的属于特征值2T121,1 16261613显然与正交，令)T,, 12000 AQ,Q )，则TT，且3123223XQYf23000（II）由于QTAQ01161312002606 00020000 0QT1013 1221x1,x)0xf(xxx(x2 0例4XQYf2x25y2az24xy4xz8yzu2v2bw2X(xyz)TYuv（I）ab（II）X2 a1rAEu2v2bw2X(xyz)TYuv（I）ab（II）X2 a1rAE1， 200AE0a5a a a22(94)10232225200又由特征值的性质可知11b31(2,1,，(2,TT22(2,1)( T将正交化得：2,1,0)T，(, 1 155 单位化得：e (2,1,0)T，e1(2,4,5)T11253对应特征 10的线性无关的特征向量为2)3，单位化得e1(1,2,2)T33取Q(e1,e2e3XQYx2u2v13 32y u1v 3 32v 3z 3三、概率与数理统计部分题型1、求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数题型1、求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数1、设二维随机变量X,Y在矩形G(xy0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为X和YZ的概率密度f(z)ZXY二维随机变量X,Y1,(x,y)(x,y)0,(x,y)ZF(zPZzz0F(z0z2F(z1当0z2xyz与矩形G的上边界交于点(z,1)F(z)PZz1PXY121dxdy z2zxyx评注：Ⅰ、求分布函数、分布律、布密度中的定常数必用Ⅱ、求边缘分布密度的一般步骤：①将X,Y②Ⅲ、求随机变量ZFX,Y)分布的一般步骤求分布FZ(zPZzPfX,YzFZ(zz(1ln2lnz)0zf(z)2题型2、随机变量的数字特征2X与YN(0,1)ZX2Y2f(zZ。z(1ln2lnz)0zf(z)2题型2、随机变量的数字特征2X与YN(0,1)ZX2Y2f(zZ。x2解：f(x,y) xy20,z0,zFZ(z)PZz XYz f(x,y)dxdy,z0 z1 rdr,z2x2y20,z1 ),z20,zfZ(z21 ,z2