高中数学选修1-2：3.1.2同步练习

PAGEPAGE3高中数学人教A版选修1-2同步练习1.在复平面内，复数z＝i－2对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B.∵z＝i－2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．2.若两个不相等的复数a＋bi和c＋di表示的点在复平面上关于虚轴对称(a，b，c，d∈R)，则a，b，c，d之间的关系为()A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d解析：选A.两点关于虚轴对称，则这两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．3.若eq\f(3,2)＜m＜2，则复数z＝(2m－2)＋(3m－7)i在复平面上对应的点位于第________象限．解析：∵eq\f(3,2)<m<2，∴2m－2>0，3∴复数z＝(2m－2)＋(3m答案：四4.复数z＝sineq\f(π,3)－icoseq\f(π,6)，则|z|＝________．解析：∵z＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)i，∴|z|＝eq\r(（\f(\r(3),2)）2＋（－\f(\r(3),2)）2)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)[A级基础达标]1.复数2－3i对应的点在直线()A．y＝x上 B．y＝－x上C．3x＋2y＝0上 D．2x＋3y＝0上解析：选C.将点(2，－3)代入检验．2.设O是坐标原点，向量OA、OB分别对应向量2－3i和－3＋2i，则向量BA对应的复数是()A．5－5i B．5＋5iC．－5－5i D．－5＋5i解析：选A.由向量的减法知OA－OB＝BA，BA＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)．∴向量BA对应的复数为5－5i.故选A.3.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i(t∈R)，则下列结论正确的是()A．z对应点在第一象限 B．z一定不是纯虚数C．z对应点在实轴下方 D．z一定不是实数解析：选D.∵t2＋2t＋2＞0恒成立，而2t2＋5t－3可正可负可为零．故A、B、C均不正确．故选D.4.复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数为________．解析：由题意可知A(2，3)，B(3，2)，C(－2，－3)，设D(x，y)，则AD＝BC，即(x－2，y－3)＝(－5，－5)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2.))故D点对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i5.设z＝(k2－k)＋(k2－1)i，k∈R，且z对应的复平面上的点在第三象限，则k的取值范围是________．解析：复数z在复平面内对应的点为(k2－k，k2－1)，此点在第三象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－k＜0，,k2－1＜0，))解得0＜k＜1.答案：(0，1)6.设z＝log2(1＋m)＋ilogeq\s\do9(\f(1,2))(3－m)(m∈R)．(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．解：(1)因为z是虚数，所以logeq\s\do9(\f(1,2))(3－m)≠0，1＋m＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m＞0，,3－m≠1，,1＋m＞0.))所以－1＜m＜2或2＜m＜3.(2)由题设知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1＋m）＜0,log\s\do9(\f(1,2))（3－m）＜0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋m＞0,1＋m＜1,3－m＞1))⇒－1＜m＜0.[B级能力提升]7.(2012·厦门高二质检)复数z＝1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为()A．2coseq\f(α,2)B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2)D．－2sineq\f(α,2)解析：选B.z＝1＋cosα＋isinα，∴|z|＝eq\r(（1＋cosα）2＋（sinα）2)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(4cos2\f(α,2)).∵π＜α＜2π，∴eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜π，∴|z|＝－2coseq\f(α,2).eq\a\vs4\al(8.)已知z＝coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4)，i为虚数单位，那么平面内到点C(1，2)的距离等于|z|的点的轨迹是()A．圆B．以点C为圆心，半径等于1的圆C．满足方程x2＋y2＝1的曲线D．满足(x－1)2＋(y－2)2＝eq\f(1,2)的曲线解析：选B.设所求动点为(x，y)，又|z|＝eq\r(cos2\f(π,4)＋sin2\f(π,4))＝1，所以eq\r(（x－1）2＋（y－2）2)＝1，即(x－1)2＋(y－2)2＝1.故选B.eq\a\vs4\al(9.)(2012·三门峡高二期中)设z∈C，则满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积为________．解析：满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合是以原点为圆心，以2和4为半径的圆所夹的圆环．其面积S＝π·42－π·22＝12π.答案：12πeq\a\vs4\al(10.)当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)?解：(1)要使点位于第四象限，须eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0,m2＋3m－28<0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<3或m>5,－7<m<4))，∴－7<m<3.(2)要使点位于x轴负半轴上，须eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0,m2＋3m－28＝0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3<m<5,m＝－7或m＝4))，∴m＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥解得m≥4或m≤－7.eq\a\vs4\al(11.)(创新题)如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于eq\f(1,2)，那么复数z的对应点组成的平面图形的面积是多少？解：∵|z|≤1，∴z对应的点组成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的圆面(包括边界)，又∵虚部的绝对值不小于eq\f(1,2)，∴所求复数对应点组成的图形如图所示(阴影部分)．∵∠AOB＝eq\f(2,3)π，∴S扇形AOB＝eq\f(